七年級數學一元一次方程方程應用題歸類分析
列方程解應用題,是初中數學的重要內容之一.許多實際問題都歸結為解一種方程或方程組,所以列出方程或方程組解應用題是數學聯絡實際,解決實際問題的一個重要方面;下面老師就從以下幾個方面分門別類的對常見的數學問題加以闡述,希望對同學們有所幫助.
1. 和、差、倍、分問題：
***1***倍數關係：通過關鍵詞語“是幾倍,增加幾倍,增加到幾倍,增加百分之幾,增長率……”來體現.
***2***多少關係：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩餘……”來體現.
例1.根據2001年3月28日新華社公佈的第五次人口普查統計資料,截止到2000年11月1日0時,全國每10萬人中具有小學文化程度的人口為35701人,比1990年7月1日減少了3.66%,1990年6月底每10萬人中約有多少人具有小學文化程度?
分析：等量關係為：
設1990年6月底每10萬人中約有x人具有小學文化程度
答：略.
2. 等積變形問題：
“等積變形”是以形狀改變而體積不變為前提.常用等量關係為：
①形狀面積變了,周長沒變;
②原料體積=成品體積.
例2. 用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯***已裝滿水***向一個由底面積為 內高為81mm的長方體鐵盒倒水時,玻璃杯中的水的高度下降多少mm?***結果保留整數 ***
分析：等量關係為：圓柱形玻璃杯體積=長方體鐵盒的體積
下降的高度就是倒出水的高度
設玻璃杯中的水高下降xmm
答：略.
3. 勞力調配問題：
這類問題要搞清人數的變化,常見題型有：
***1***既有調入又有調出;
***2***只有調入沒有調出,調入部分變化,其餘不變;
***3***只有調出沒有調入,調出部分變化,其餘不變.
例3. 機械廠加工車間有85名工人,平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個,已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套,問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪,才能使每天加工的大小齒輪剛好配套?
分析：列表法.
每人每天 人數 數量
大齒輪 16個 x人 16x
小齒輪 10個 人
等量關係：小齒輪數量的2倍=大齒輪數量的3倍
設分別安排x名、 名工人加工大、小齒輪
答：略.
4. 比例分配問題：
這類問題的一般思路為：設其中一份為x,利用已知的比,寫出相應的代數式.
常用等量關係：各部分之和=總量.
例4. 三個正整數的比為1：2：4,它們的和是84,那麼這三個數中最大的數是幾?
設一份為x,則三個數分別為x,2x,4x
分析：等量關係：三個數的和是84
答：略.
5. 數字問題
***1***要搞清楚數的表示方法：一個三位數的百位數字為a,十位數字是b,個位數字為c***其中a、b、c均為整數,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9***則這個三位數表示為：100a+10b+c.
***2***數字問題中一些表示：兩個連續整數之間的關係,較大的比較小的大1;偶數用2N表示,連續的偶數用2n+2或2n—2表示;奇數用2n+1或2n—1表示.
例5. 一個兩位數,個位上的數是十位上的數的2倍,如果把十位與個位上的數對調,那麼所得的兩位數比原兩位數大36,求原來的兩位數
等量關係：原兩位數+36=對調後新兩位數
設十位上的數字X,則個位上的數是2x,
10×2x+x=***10x+2x***+36解得x=4,2x=8.
答：略.
6. 工程問題：
工程問題中的三個量及其關係為：工作總量=工作效率×工作時間
經常在題目中未給出工作總量時,設工作總量為單位1.
例6. 一件工程,甲獨做需15天完成,乙獨做需12天完成,現先由甲、乙合作3天后,甲有其他任務,剩下工程由乙單獨完成,問乙還要幾天才能完成全部工程?
分析設工程總量為單位1,等量關係為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量.
設乙還需x天完成全部工程,設工作總量為單位1,由題意得,***115+112***×3+x12=1, 解這個方程,15+14+x12=1
12+15+5x=60 5x=33 ∴ x=335=635
答：略.
7. 行程問題：
***1***行程問題中的三個基本量及其關係： 路程=速度×時間.
***2***基本型別有
① 相遇問題;② 追及問題;常見的還有：相背而行;行船問題;環形跑道問題.
***3***解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關係或所走的路程關係,一般情況下問題就能迎刃而解.並且還常常藉助畫草圖來分析,理解行程問題.
例7. 甲、乙兩站相距480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行90公里,一列快車從乙站開出,每小時行140公里.
***1***慢車先開出1小時,快車再開.兩車相向而行.問快車開出多少小時後兩車相遇?
***2***兩車同時開出,相背而行多少小時後兩車相距600公里?
***3***兩車同時開出,慢車在快車後面同向而行,多少小時後快車與慢車相距600公里?
***4***兩車同時開出同向而行,快車在慢車的後面,多少小時後快車追上慢車?
***5***慢車開出1小時後兩車同向而行,快車在慢車後面,快車開出後多少小時追上慢車?
此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義,弄清行駛過程.故可結合圖形分析.
***1***分析：相遇問題,畫圖表示為：
等量關係是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里.
設快車開出x小時後兩車相遇,由題意得,140x+90***x+1***=480
解這個方程,230x=390
∴ x=11623
答：略.
分析：相背而行,畫圖表示為：
等量關係是：兩車所走的路程和+480公里=600公里.
設x小時後兩車相距600公里,
由題意得,***140+90***x+480=600解這個方程,230x=120
∴ x=1223
答：略.
***3***分析：等量關係為：快車所走路程-慢車所走路程+480公里=600公里.
設x小時後兩車相距600公里,由題意得,***140-90***x+480=600 50x=120
∴ x=2.4
答：略.
分析：追及問題,畫圖表示為：
等量關係為：快車的路程=慢車走的路程+480公里.
設x小時後快車追上慢車.
由題意得,140x=90x+480
解這個方程,50x=480 ∴ x=9.6
答：略.
分析：追及問題,等量關係為：快車的路程=慢車走的路程+480公里.
設快車開出x小時後追上慢車.由題意得,140x=90***x+1***+480
50x=570 解得, x=11.4
答：略. 8. 利潤贏虧問題
***1***銷售問題中常出現的量有：進價、售價、標價、利潤等
***2***有關關係式：
商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價
商品利潤率=商品利潤/商品進價
商品售價=商品標價×折扣率
例8. 一家商店將某種服裝按進價提高40%後標價,又以8折優惠賣出,結果每件仍獲利15元,這種服裝每件的進價是多少?
分析：探究題目中隱含的條件是關鍵,可直接設出成本為X元
進價 折扣率 標價 優惠價 利潤
x元 8折 ***1+40%***x元 80%***1+40%***x 15元
等量關係：***利潤=折扣後價格—進價***折扣後價格-進價=15
設進價為X元,80%X***1+40%***—X=15,X=125
答：略.
9. 儲蓄問題
⑴ 顧客存入銀行的錢叫做本金,銀行付給顧客的酬金叫利息,本金和利息合稱本息和,存入銀行的時間叫做期數,利息與本金的比叫做利率.利息的20%付利息稅
⑵ 利息=本金×利率×期數
本息和=本金+利息
利息稅=利息×稅率***20%***
例9. 某同學把250元錢存入銀行,整存整取,存期為半年.半年後共得本息和252.7元,求銀行半年期的年利率是多少?***不計利息稅***
分析：等量關係：本息和=本金×***1+利率***
設半年期的實際利率為x,
250***1+x***=252.7,
x=0.0108
所以年利率為0.0108×2=0.0216