直線的傾斜角和斜率教學設計
直線的傾斜角和斜率是人教版數學必修第一節直線的傾斜角與斜率的第一課時，也是高中解析幾何內容的開始。以下是小編為你整理的，希望能幫到你。
《直線的傾斜角和斜率》教學設計
一、設計說明
“直線的傾斜角和斜率”一節是解析幾何的入門課，學生對幾何的認識僅僅停留在初中所學的直觀圖形的感性階段，因此從學生最熟悉的直線入手，去研究刻劃直線性質的量—傾斜角與斜率，通過對這一問題的探索去揭示解析幾何的本質是：用代數方法研究圖形的幾何性質.學生通過這一節的學習，初步感受複雜問題簡單化、數形緊密結合的思想.
二、教學內容分析
直線的傾斜角是這一章所有概念的基礎，而這一章的概念核心是斜率，理解二者之間的關係將是學此章的關鍵;過兩點的直線的斜率公式要講透兩點，其一是斜率的表象是一種的比值，要讓學生理解這種表示式，為兩條直線垂直時斜率有何關係、導數的概念作好鋪墊;其二是斜率的本質是與所取的點無關.
三、教學目標
1.知識與技能：使學生理解傾斜角與斜率的概念，瞭解二者之間的關係，會求過已知兩點的直線的斜率;
2.過程與方法：通過對傾斜角與斜率的探討，培養學生轉化的思想，提高解決問題的能力;
3.情感、態度與價值觀：在探索傾斜角與斜率的關係過程中，明確傾斜角的變化對斜率的影響，並在其中體驗嚴謹的治學態度.
四、教學重點與難點
重點：傾斜角、斜率、過兩點的直線的斜率公式;
難點：斜率;
對難點的處理：先從簡單的過原點的直線入手，再分傾斜角為銳角、鈍角的情況去分析.
五、教學策略
對於“傾斜角與斜率”的教學，教師創設問題情境，學生在問題的激勵下主動探究，教學方法採用師生互動式;而“過兩點的直線的斜率公式”的教學則採用“學生探索、教師適時講解”的方法.
六、教學過程
***一***新知的引入：
在平面直角座標系內，畫出幾條不同直線，誘導學生思考，有何不同?
從而進一步設計決定直線的位置有哪些條件呢?
***設計意圖：學生在教師“問題串”的引導下去思考，得出本章重要知識點***
***二***概念的講解：通過討論我們已經知道，決定直線的位置的條件是一個點與方向.那麼如何刻劃直線的方向呢?學生肯定會想到角，也會想到用縱座標的變化量與橫座標的變化量的比值.這時就需要教師的適時點播—引出刻劃直線的方向的兩個量---直線的傾斜角和斜率.
一、直線的傾斜角與斜率
1. 傾斜角***
***1***傾斜角的定義：在平面直角座標系中，直線與軸相交時，軸正向與直線向上方向之間所成的角;注：強調當直線與座標軸軸平行時的傾斜角。
提問：傾斜角的範圍是什麼?***讓學生自己去解決***
***2***傾斜角的範圍：.
日常生活中，我們用坡度來刻劃道路的“傾斜程度”，坡度即坡面的鉛直高度和水平長度的比;為了用座標的方法刻劃直線的傾斜角，引入直線的斜率概念***也可以從一次函式的解析式引入，其中的K就是斜率.***
2.斜率讓學生任畫一條直線，類比坡度的方法，用座標的方法刻劃“直線的坡度”-斜率;
***強調若直線傾斜角相等，則斜率也相等***
教師定義:當橫座標從增加到時，縱座標從增加到稱為直線的斜率;
提問：由此定義，你能發現斜率的其他形式的定義嗎?
再問：若傾斜角為銳角，求斜率的取值範圍;若傾斜角在銳角內變化，斜率如何變化?
***三***例題的講解***7分鐘***
例1：求下列直線的斜率：
***1*** y=x ***2***y=1 ***3***x=0.
***四***課堂練習
***五***本節課小結
八、設計反思
在平面解析幾何《直線與方程》的教學中，教師應幫助學生經歷如下的過程：首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關係，進而將幾何問題轉化為代數問題;處理代數問題;分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿《直線與方程》一章教學的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。
《直線的傾斜角和斜率》說課稿
我說的課是高中第二冊***上***第七章直線和圓的方程第一大節直線的傾斜角和斜率的第一節課。
一、關於教學目標的確定
1、 教材的地位及作用
直線和圓的方程屬於解析幾何學的基礎知識，直線的方程是研究兩條直線位置關係的基礎，同時也是討論圓的方程及其它圓錐曲線方程的基礎。為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念。而作為直線方程的一個簡單應用，介紹了簡單的線性規劃問題。故本節課是學好這一章內容的關鍵。
2、 教學目的的認識
依據教學大綱的目的和要求規定及新課程標準要求，並結合學生的認知基礎，我認為本節課的教學目標：
***1***知識目標：瞭解“直線的方程”和“方程的直線”的概念;理解直線的傾斜角和斜率的定義;掌握斜率公式，並會求直線的傾斜角和斜率。
***2***能力目標：通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關係的揭示，以提高學生分析、比較、概括、化歸的數學能力,使學生初步瞭解用代數方程研究幾何問題的思路，培養學生綜合運用知識解決問題的能力。
***3***情感目標：幫助學生進一步瞭解分類思想、數形結合思想，在教學中充分揭示“數”與“形”的內在聯絡，體現數、形的統一美，激發學生學習數學的興趣，對學生進行對立統一的辯證唯物主義觀點的教育，培養學生勇於探索、勇於創新的精神。
二、重點、難點分析
1、本節的重點是直線的傾斜角和斜率概念，及斜率公式.直線的斜率是後繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關係，以及討論直線與二次曲線的位置關係，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵。
2、本節的難點是對“直線的方程”和“方程的直線”的概念以及對斜率概念的理解.學生對於用直線的傾斜角來刻畫直線的方向並不難接受，但是，為什麼要定義直線的斜率，為什麼把斜率定義為傾斜角的正切這兩個問題卻並不容易接受。
三、教法、學法指導
1、學法輔導：
***1***學情介紹：
本課的教學物件是高二年學生，考慮到我校學生的數學基礎較好，思維較為活躍，並針對本節課的教學任務，在教學中我通過創設問題情境。
***2***本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義?為什麼斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立?相應的教學過程也有三個階段：
①在教學中首先是創設問題情境，然後通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢?學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。
②本節的難點是對斜率概念的理解與過兩點的直線的斜率公式的建立。學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣。學生還會認為用弧度製表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎?再有，為什麼要用傾斜角的正切定義斜率?要解決這些問題，可引導學生聯想工程問題中的“坡度”問題，以及三角函式的定義。
***3***學生在學習過程中，要學會展開思維，教師的啟發、激勵，有利於思維的進行;問題情景的創設有利於思維的活躍。但教學是雙邊的活動，教師要注意觀察學生是否動起來，予以情緒調控，使學生有意識地開動腦筋，主動投入。
2、教法方法：
斯托利亞爾指出“數學教學是教學活動***思維活動***的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學”。本節內容在教學中宜採用啟發式，設計為啟發、引導、探究、歸納、總結的教學模式。傾斜角如何定義?為什麼斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立?這三項教學任務都是在討論、交流、歸納中完成的。在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展。教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，歸納總結。把教學內容以問題的形式呈現給學生，以便引起學生進行反思，從而形成必要的認知衝突，最終達到建構新的認知結構。
四、教學手段
本節課，除使用常規的教學手段外，我還使用多媒體課件輔助教學。把教學設計的步驟及內容製成課件，利於突破重點、難點，還能節省時間，擴大教學內容，加快教學節奏，體現教改的新理念。
五、關於教學程式的設計
***一***知識匯入階段
利用多媒體展示ssbezier變形曲線及笛卡兒簡介，目的是讓學生了解數學的發展史，及座標法對數學發展起了巨大作用。
***二***知識探索階段
***創設問題情景，展現概念形成過程***
1、直線的方程與方程的直線的定義
【問題1】有了“一次函式的圖象”，為什麼還要講“方程的直線”?
一次函式的圖象是一條直線，它能表示平面上的所有的直線?不能，因為一次函式的圖象，與座標平面上的直線的對應，是一種不完美的對應。座標平面上，有些直線不能用一次函式表示。***如x=2***那麼該怎樣修補?
***方程的解 座標 直線的點，直線 方程***
定義：以一個方程的解為座標的點都是某條直線上的點,反過來,這條直線上點的座標都是這個方程的解,這時,這個方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個方程的直線。
2、直線傾斜角定義
【問題2】如何確定一條直線?
兩點確定一條直線.還有其他方法嗎?或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什麼條件?
學生：思考，回憶，回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度。
***動畫演示***展示直線的傾斜度的變化情況。
【問題3】在座標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢?
討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的。
學生：展開討論，學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導。
通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函式的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這裡只需一個角即可***開始時可能有學生認為有四個角或兩個角***，當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念。
定義：在平面直角座標系中，對於一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為 ，那麼 就叫做直線 的傾斜角。
特別地，當 與x軸平行或重合時，規定傾斜角為0°。
由此定義，角的範圍如何? 0°≤α<180°或0≤α<π
***教師強調三點：***1***直線的方向向上***2*** 軸的正方向，***3***最小正角***
3、 直線斜率的定義
用傾斜角刻畫直線的方向，乃是幾何問題，如何把直線方向量化?
【問題4】為什麼要用傾斜角的正切定義斜率?而不用正弦、餘弦或餘切哪?
可聯想到工程問題中的“坡度”，及三角函式的定義。
定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。記作 ，即 。
***動畫演示揭示直線傾斜角與斜率的對應關係***強調 定義域與值域的對應關係，及函式的單調性。
4、 直線過兩點斜率公式的推導
【問題5】如果給定直線的傾斜角 ，我們當然可以根據斜率的定義 =tanα求出直線的斜率;如果給定直線上兩點座標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，那麼又怎麼求出直線的斜率呢?
即已知兩點P1***x1，y1***、P2***x2，y2***，求直線P1P2的斜率。
思路分析：首先由學生提出思路，教師啟發、引導，運用正切定義，解決問題。
; x1= x2?
說明：***1***公式適用範圍：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸。因此當直線P1P2不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的座標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角。
***2***公式與P1 和P2的順序無關，但要注意下標的對應關係。
***三***知識應用階段
我設計了二道例題例1是道斜率與傾斜角概念的辨析題，而例2是課本的例題已知直線的傾斜角求斜率，還設計兩道變式題，目的是培養學生的發散思維能力，討論傾斜角變化：銳角—鈍角—抽象角，對斜率的影響，加深同學對斜率與傾斜角對應關係的理解。
例1：關於直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法是正確的： ***1***任一條直線都有傾斜角，也都有斜率 *** *** ***2***直線的傾斜角越大，它的斜率就越大; *** *** ***3***平行於x軸的直線的傾斜角是 ; *** *** ***4***兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等; *** *** ***5***直線斜率的範圍是***-∞，+∞*** ; *** *** ***6***直線的斜率為tan ,則直線的傾斜角為 ; *** *** 說明：①當直線和x軸平行或重合時，我們規定直線的傾斜角為0°;②直線傾斜角的取值範圍是[ ;③傾斜角是90°的直線沒有斜率.。④座標平面內，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。 例2： 如圖，直線 的傾斜角 =30°，直線 ⊥ ，求 、 的斜率。 分析：對於直線 的斜率，可通過計算 直接獲得，而直線 的斜率則需要先求出傾斜角 ，而根據平面幾何知識， ，然後再求 即可。
解： 的斜率 =tan=tan30°= ，
∵ 的傾斜角 =90°+30°=120°，
∴ 的斜率 =tan120°=tan***180°-60°***
=-tan60°= 。
評述：此題要求學生掌握已知直線的傾斜角求斜率，其中涉及到三角函式的誘導公式及特殊角正切值的確定。
【變式1】直線 的傾斜角 =150°，直線 ⊥ ，求 的斜率。
【變式2】已知直線 的傾斜角 ，直線 ⊥ ，求 的斜率及傾斜角。
***四***在學習小結階段：帶領學生對所學的知識和方法進行梳理，本節須掌握三個概念：直線方程、傾斜角和斜率;兩個關係：直線的方程與方程的直線、斜率與傾斜角;兩個問題：求傾斜角問題，求斜率問題。
***五***知識延伸拓展階段：
在知識延伸拓展階段，編制了三道思考題，在於拓寬學生的視野，斜率是聯結數與形的紐帶。體現了分層教學的思想，達到因材施教的目的。