高一上冊數學指數與指數冪的運算教案

　　政治教案主要是課時計劃和教學計劃的書面呈現。為了讓大家有進一步的瞭解，下面小編整理了人教版以供大家閱讀。

　　人教版

　　教學分析

　　我們在初中的學習過程中，已瞭解了整數指數冪的概念和運算性質.從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數.進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，並將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪.

　　教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函式的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題.前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函式模型，並且還有思想教育價值.後一個問題讓學生體會其中的函式模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與慾望，為新知識的學習作了鋪墊.

　　本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想***指數冪運算律的推廣***、類比的思想、逼近的思想***有理數指數冪逼近無理數指數冪***、數形結合的思想***用指數函式的圖象研究指數函式的性質***等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值.

　　根據本節內容的特點，教學中要注意發揮資訊科技的力量，儘量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支援.

　　教學目標

　　1.通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質.掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質.培養學生觀察分析、抽象類比的能力.

　　2.掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想.通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不苟的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務於生活的哲理.

　　3.能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.

　　4.通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質.展示函式圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函式的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美.

　　重點難點

　　教學重點

　　***1***分數指數冪和根式概念的理解.

　　***2***掌握並運用分數指數冪的運算性質.

　　***3***運用有理指數冪的性質進行化簡、求值.

　　教學難點

　　***1***分數指數冪及根式概念的理解.

　　***2***有理指數冪性質的靈活應用.

　　課時安排：3課時

　　教學過程：第1課時

　　作者：路致芳

　　匯入新課

　　思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代?***考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚***考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的.教師板書本節課題：指數函式——指數與指數冪的運算.

　　思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那麼有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函式——指數與指數冪的運算.

　　推進新課

　　新知探究

　　提出問題

　　***1***什麼是平方根?什麼是立方根?一個數的平方根有幾個，立方根呢?

　　***2***如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什麼呢?

　　***3***根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎?

　　***4***可否用一個式子表達呢?

　　活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題***2***的結論進行引申、推廣，相互交流討論後回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維.

　　討論結果：***1***若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.

　　***2***類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等於a，則這個數叫a的四次方根.一個數的五次方等於a，則這個數叫a的五次方根.一個數的六次方等於a，則這個數叫a的六次方根.

　　***3***類比***2***得到一個數的n次方等於a，則這個數叫a的n次方根.

　　***4***用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根.

　　教師板書n次方根的意義：

　　一般地，如果xn=a，那麼x叫做a的n次方根***n th root***，其中n>1且n∈N*.

　　可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

　　提出問題

　　***1***你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎?***多媒體顯示以下題目***.

　　①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根.

　　***2***平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什麼數，有什麼特點?4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什麼性質的數，有什麼特點?

　　***3***問題***2***中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢?

　　***4***任何一個數a的偶次方根是否存在呢?

　　活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等於a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題***2***中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路.

　　討論結果：***1***因為±2的平方等於4，±2的立方等於±8，±2的4次方等於16,2的5次方等於32，-2的5次方等於-32,0的7次方等於0，a2的立方等於a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.

　　***2***方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數.總的來看，這些數包括正數，負數和零.

　　***3***一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數.0的任何次方根都是0.

　　***4***任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數.

　　類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：

　　①當n為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合併寫成±na***a>0***.

　　②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示.

　　③負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是零.

　　上面的文字語言可用下面的式子表示：

　　a為正數：n為奇數，　a的n次方根有一個為na，n為偶數，　a的n次方根有兩個為±na.

　　a為負數：n為奇數，　a的n次方根只有一個為na，n為偶數，　a的n次方根不存在.

　　零的n次方根為零，記為n0=0.

　　可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例.

　　思考

　　根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況?

　　活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題.

　　解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等.其中5-27也表示方根，它類似於na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式.

　　根式的概念：

　　式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數.

　　如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數.

　　思考

　　nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎?如果不一定成立，那麼nan等於什麼?

　　活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉例項，分組討論.教師點撥，注意歸納整理.

　　〔如3***-3***3=3-27=-3，4***-8***4=|-8|=8〕.

　　解答：根據n次方根的意義，可得：***na***n=a.

　　通過探究得到：n為奇數，nan=a.

　　n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.

　　因此我們得到n次方根的運算性質：

　　①***na***n=a.先開方，再乘方***同次***，結果為被開方數.

　　②n為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方***同次***，結果為被開方數.

　　n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方***同次***，結果為被開方數的絕對值.

　　應用示例

　　思路1

　　例求下列各式的值：

　　***1***3***-8***3;***2******-10***2;***3***4***3-π***4;***4******a-b***2***a>b***.

　　活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什麼，明確題目的要求是什麼，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之後，再針對每一個題目仔細分析.觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題並對症下藥.求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然後看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數.

　　解：***1***3***-8***3=-8;

　　***2******-10***2=10;

　　***3***4***3-π***4=π-3;

　　***4******a-b***2=a-b***a>b***.

　　點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用.

　　變式訓練

　　求出下列各式的值：

　　***1***7***-2***7;

　　***2***3***3a-3***3***a≤1***;

　　***3***4***3a-3***4.

　　解：***1***7***-2***7=-2，

　　***2***3***3a-3***3***a≤1***=3a-3，

　　***3***4***3a-3***4=

　　點評：本題易錯的是第***3***題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解.

　　思路2

　　例1 下列各式中正確的是***　　***

　　A.4a4=a

　　B.6***-2***2=3-2

　　C.a0=1

　　D.10***2-1***5=2-1

　　活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答.

　　解析：***1***4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯.

　　***2***6***-2***2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6***-2***2=32，故B項錯.

　　***3***a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯.

　　***4***D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確.所以答案選D.

　　答案：D

　　點評：本題由於考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心.

　　例2 3+22+3-22=__________.

　　活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這裡是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手?需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式.正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路.

　　解析：因為3+22=1+22+***2***2=***1+2***2=2+1，

　　3-22=***2***2-22+1=***2-1***2=2-1，

　　所以3+22+3-22=22.

　　答案：22

　　點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式.

　　思考

　　上面的例2還有別的解法嗎?

　　活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮並交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號後，相加正好抵消.同時藉助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法.

　　另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，

　　兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2***3+22******3-22***=6+232-***22***2=6+2=8，所以x=22.

　　點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解.

　　變式訓練