高一上冊數學集合知識點總結及例題講解

　　學習數學需要講究方法和技巧，更要學會對知識點進行歸納整理。下面是小編為大家整理的高一數學集合知識點，希望對大家有所幫助!

　　高一數學集合知識點總結

　　一.知識歸納：

　　1.集合的有關概念。

　　1***集合***集***：某些指定的物件集在一起就成為一個集合***集***.其中每一個物件叫元素

　　注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

　　②集合中的元素具有確定性***a?A和a?A，二者必居其一***、互異性***若a?A，b?A，則a≠b***和無序性***{a,b}與{b,a}表示同一個集合***。

　　③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的物件都是它的元素;只要是它的元素就必須符號條件

　　2***集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

　　3***集合的分類：有限集，無限集，空集。

　　4***常用數集：N，Z，Q，R，N*

　　2.子集、交集、並集、補集、空集、全集等概念。

　　1***子集：若對x∈A都有x∈B，則A B***或A B***;

　　2***真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;記為A B***或 ，且 ***

　　3***交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}

　　4***並集：A∪B={x| x∈A或x∈B}

　　5***補集：CUA={x| x A但x∈U}

　　注意：①? A，若A≠?，則? A ;

　　②若 ， ，則 ;

　　③若 且 ，則A=B***等集***

　　3.弄清集合與元素、集合與集合的關係，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：***1*** 與 、?的區別;***2*** 與 的區別;***3*** 與 的區別。

　　4.有關子集的幾個等價關係

　　①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

　　④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

　　5.交、並集運算的性質

　　①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A;

　　③Cu ***A∪B***= CuA∩CuB，Cu ***A∩B***= CuA∪CuB;

　　6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

　　二.例題講解：

　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關係

　　A*** M=N P B*** M N=P C*** M N P D*** N P M

　　分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

　　解答一：對於集合M：{x|x= ,m∈Z};對於集合N：{x|x= ,n∈Z}

　　對於集合P：{x|x= ,p∈Z}，由於3***n-1***+1和3p+1都表示被3除餘1的數，而6m+1表示被6除餘1的數，所以M N=P，故選B。

　　分析二：簡單列舉集合中的元素。

　　解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時不要急於判斷三個集合間的關係，應分析各集合中不同的元素。

　　= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，

　　= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。

　　點評：由於思路二隻是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　變式：設集合 ， ，則*** B ***

　　A.M=N B.M N C.N M D.

　　解：

　　當 時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B

　　【例2】定義集合A*B={x|x∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數為

　　A***1 B***2 C***3 D***4

　　分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然後再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

　　解答：∵A*B={x|x∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

　　變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那麼集合M的個數為

　　A***5個 B***6個 C***7個 D***8個

　　變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　評析 本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共有 個 .

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A

　　∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

　　∴ ∴

　　變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴

　　又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-***2+2***=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|***x-1******x+1******x+2***>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化簡集合A，然後由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些元素屬於B，哪些元素不屬於B。

　　解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B，而***-∞,-2***∩B=ф。

　　綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。***答案：a=-2，b=0***

　　點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方法，作出數軸來解之。

　　變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。

　　解答：M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M

　　①當 時，ax-1=0無解，∴a=0 ②

　　綜①②得：所求集合為{-1，0， }

　　【例5】已知集合 ，函式y=log2***ax2-2x+2***的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數a的取值範圍。

　　分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用引數分離求解。

　　解答：***1***若 ， 在 內有有解

　　令 當 時，

　　所以a>-4,所以a的取值範圍是

　　變式：若關於x的方程 有實根,求實數a的取值範圍。

　　解答：

　　點評：解決含引數問題的題目，一般要進行分類討論，但並不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

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