高一上冊數學單調性與最大小值教案

　　數學教師要上好課並取得良好的效果,最關鍵的步驟就是備好課,其中備好課就是做好教案!為此，下面小編整理了人教版案以供大家閱讀。

　　人教版

　　教學目標

　　1.使學生從形與數兩方面理解函式單調性的概念，初步掌握利用函式圖象和單調性定義判斷、證明函式單調性的方法.

　　2.通過對函式單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函式單調性的證明，提高學生的推理論證能力.

　　3.通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.

　　重點難點

　　教學重點：函式單調性的概念、判斷及證明.

　　教學難點：歸納抽象函式單調性的定義以及根據定義證明函式的單調性.

　　教學方法

　　教師啟發講授，學生 探究學習.

　　教學手段

　　計算機、投影儀.

　　教學過程

　　創設情境，引入課題

　　課前佈置任務：

　　***1***由於某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.

　　***2***通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.

　　課上通過交流，可以瞭解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜舉辦大型國際體育賽事.

　　下圖是北京市某年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.

　　圖1

　　引導學生識圖，捕捉資訊，啟發學生思考.

　　問題：觀察圖形，能得到什麼資訊?

　　預案：***1***當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到;

　　***2***在某時刻的溫度;

　　***3***某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.

　　在生活中，我們關心很多資料的變化規律，瞭解這些資料的變化規律，對我們的生活是很有幫助的.

　　問題：還能舉出生活中其他的資料變化情況嗎?

　　預案：水位高低、燃油價格、股票價格等.

　　歸納：用函式觀點看，其實就是隨著自變數的變化，函式值是變大還是變小.

　　【設計意圖】由生活情境引入新課，激發興趣.

　　歸納探索，形成概念

　　對於自變數變化時，函式值是變大還是變小，初中時同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函式單調性的嚴格定義.

　　1.藉助圖象，直觀感知

　　問題1：分別作出函式y=x+2，y=-x+2，y=x2，y=1x的圖象，並且觀察自變數變化時，函式值有什麼變化規律?

　　圖2

　　預案 ：***1***函式y=x+2在整個定義域內y隨x的增大而增大;函式y=-x+2在整個定義域內y隨x的增大而減小.

　　***2 ***函式y=x2在[0，+∞***上y隨x的增大而增大，在***-∞，0***上y隨x的增大而減小.

　　***3***函式y=1x在***0，+∞***上y隨x的增大而減小，在***-∞，0***上y隨x的增大而減小.

　　引導學生進行分類描述***增函式、減函式***，同時明確函式的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函式的區域性性質.

　　問題2：能不能根據自己的理解說說什麼是增函式、減函式?

　　預案：如果函式f***x***在某個區間上隨自變數x的增大，y也越來越大，我們說函式f***x***在該區間上為增函式;如果函式f***x***在某個區間上隨自變數x的增大，y越來越小，我們說函式f***x***在該區間上為減函式.

　　教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函式單調性的直觀認識.

　　【設計意圖】從圖象直觀感知函式單調性，完成對函式單調性的第一次認識.

　　2.探究規律，理性認識

　　問題1：下圖是函式y=x+2x***x>0***的圖象，能說出這個函式分別在哪個區間為增函式和減函式嗎?

　　圖3

　　學生的困難是難以確定分界點的確切位置.

　　通過討論，使學生感受到用函式圖象判斷函式單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.

　　【設計意圖】使學生體會到用數量大小關係嚴格表述函式單調性的必要性.

　　問題2：如何從解析式的角度說明f***x***=x2在[0，+∞***為增函式?

　　預案：***1***在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為12<22，所以f***x***=x2在[0，+∞***為增函式.

　　***2***仿***1***，取很多組驗證均滿足，所以f***x***=x2在[0，+∞***為增函式.

　　***3***任取x1，x2∈[0，+∞***，且x1<0，即x12< p="">

　　所以f***x***=x2在[0，+∞***為增函式.

　　對於學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在於自變數不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變數x1，x2.

　　【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性的高度，完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好了鋪墊.

　　3.抽象思維，形成概念

　　問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函式的定義嗎?

　　師生共同探究，得出增函式嚴格的定義，然後學生類比得出減函式的定義.

　　***1***板書定義

　　***2***鞏固概念

　　判斷題：

　　①已知f***x***=1x，因為f***-1***< p="">

　　②若函式f***x***滿足f***2***< p="">

　　③若函式f***x***在區間***1,2]和***2,3***上均為增函式，則函式f***x***在區間***1,3***上為增函式.

　　④因為函式f***x***=1x在區間***-∞，0***和***0，+∞***上都是減函式，所以f***x***=1x在***-∞，0***∪***0，+∞***上是減函式.

　　通過判斷題，強調三點：

　　①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性.

　　②對於某個具體函式的單調區間，可以是整個定義域***如一次函式***，可以是定義域內某個區間***如二次函式***，也可以根本不單調***如常函式***.

　　③函式在定義域 內的兩個區間A，B上都是增***或減***函式，一般不能認為函式在A∪B上是增***或減***函式.

　　思考：如何說明一個函式在某個區間上不是單調函式?

　　【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.

　　掌握證法，適當延展

　　【例】證明函式f***x***=x+2x在***2，+∞***上是增函式.

　　1.分析解決問題

　　針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.

　　證明：任取x1，x2∈***2，+∞***，且x1< p="">

　　f***x1***-f***x2***=x1+2x1-x2+2x2求差

　　=***x1-x2***+2x1-2x2

　　=***x1-x2***+2***x2-x1***x1x2=***x1-x2***1-2x1x2=***x1-x2***x1x2-2x1x2，變形

　　∵2< p="">

　　∴x1-x2<0，x1x2>2，∴f***x1***-f***x2***<0，即f***x1***< p="">

　　∴函式f***x***=x+2x在***2，+∞***上是增函式.定論

　　2.歸納解題步驟

　　引導學生歸納證明函式單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

　　練習：證明函式f***x***=x在[0，+∞***上是增函式.

　　問題：要證明函式f***x***在區間***a，b***上是增函式，除了用定義來證，如果可以證得對任意的x1，x2∈***a，b***，且x1≠x2有f***x2***-f***x1***x2-x1>0可以嗎?

　　引導學生分析這種敘述與定義的等價性，讓學生嘗試用這種等價形式證明函式f***x***=x在[0，+∞***上是增函式.

　　【設計意圖】初步掌握根據定義證明函式單調性的方法和步驟.等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函式單調性埋下伏筆.

　　歸納小結，提高認識

　　學生交流在本節課學習中的體會、收穫，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結.

　　1.小結

　　***1***概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.

　　***2***證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.

　　***3***數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等.

　　2.作業

　　書面作業：課本習題1.3　A組第1,2,3題.

　　課後探究：

　　***1***證明：函式f***x***在區間***a，b***上是增函式當且僅當對任意的x，x+h∈***a，b***，且h≠0有f***x+h***-f***x***h>0.

　　***2***研究函式y=x+1x***x>0***的單調性，並結合描點法畫出函式的草圖.

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