七年級數學下段考試卷及答案
面對七年級數學下段考試要有堅韌的精神，撐過去就是康莊大道啊。願你七年級數學考出好結果，以下是小編為你整理的七年級數學下段考試卷，希望對大家有幫助!
七年級數學下段考試卷
一、選擇題***每小題3分，共30分***
1.下列長度的各組線段，能組成直角三角形的是*** ***
A.12，15，18 B.12，35，36 C.0.3，0.4，0.5 D.2，3，4
2.下列實數 ，﹣ ，0. ， ， ，*** ﹣1***0，﹣ ，0.1010010001中，其中無理數共有*** ***
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
3.如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右無滑動地滾動一週，原點滾到了點A，下列說法正確的*** ***
A.點A所表示的是π
B.OA上只有一個無理數π
C.數軸上無理數和有理數一樣多
D.數軸上的有理數比無理數要多一些
4.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB於點E、O、F，則圖中全等三角形的對數是*** ***
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是28°，則頂角是*** ***
A.28° B.118° C.62° D.62°或118°
6.在下列各組條件中，不能說明△ABC≌△DEF的是*** ***
A.AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B.AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C.AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D.AB=DE，BC=EF，AC=DF
7.如圖，正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數有*** ***
A.4個 B.6個 C.8個 D.10個
8.如圖，∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，從左起第1個等邊三角形的邊長記為a1，第2個等邊三角形的邊長記為a2，以此類推.若OA1=1，則a2015=*** ***
A.22013 B.22014 C.22015 D.22016
9.如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點***其中P、Q不與端點重合***，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連線AQ、CP交於點M，則在P、Q運動的過程中，下列結論：***1***BP=CM;***2***△ABQ≌△CAP;***3***∠CMQ的度數始終等於60°;***4***當第 秒或第 秒時，△PBQ為直角三角形.其中正確的結論有*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.如圖是一張足夠長的矩形紙條ABCD，以點A所在直線為摺痕，摺疊紙條，使點B落在邊AD上，摺痕與邊BC交於點E;然後將其展平，再以點E所在直線為摺痕，使點A落在邊BC上，摺痕EF交邊AD於點F.則∠AFE的大小是*** ***
A.22.5° B.45° C.60° D.67.5°
二、填空題***每空2分，共16分***
11.近似數3.40×105精確到 位.
12.當a2=64時， = .
13.如圖，△ABC中，CD⊥AB於D，E是AC的中點.若AD=6，DE=5，則CD的長等於 .
14.一個正數的平方根為﹣m﹣3和2m﹣3，則這個數為 .
15.如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= °.
16.如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE於點F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°，∠ABE=28°，則∠ACB= .
17.如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處;再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條摺痕與斜邊AB分別交於點E、F，則線段B′F的長為 .
18.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 .
三、解答題***共10大題，共84分***
19.***1***計算：
***2***求x的值：5***x﹣1***2=20.
20.因式分解：
***1***3a5﹣12a4+9a3
***2***3a2﹣6ab+3b2﹣12c2.
21.如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點.PD⊥OA交OA於D，PE⊥OB交OB於E，F是OC上的另一點，連線DF，EF.求證：DF=EF.
22.如圖，正方形網格中每個小正方形邊長都是1.
***1***在直線l上找一點P，使PB+PC的值最小;
***2***連線PA、PC，計算四邊形PABC的面積;
***3***若圖中的格點Q到直線BC的距離等於 ，則圖中所有滿足條件的格點Q有 個.
23.已知a，b，c為△ABC的三條邊的長，且滿足b2+2ab=c2+2ac.
***1***試判斷△ABC的形狀，並說明理由;
***2***若a=6，b=5，求△ABC的面積.
24.如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，FD與AB相交於點M.
***1***求證：∠FMC=∠FCM;
***2***AD與MC垂直嗎?並說明理由.
25.仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知關於x的多項式x2﹣4x+m有一個因式是***x+3***，求另一個因式以及m的值.
解：設另一個因式為***x+n***，得：x2﹣4x+m=***x+3******x+n***，則x2﹣4x+m=x2+***n+3***x+3n，
∴ ，解得：n=﹣7，m=﹣21.
∴另一個因式為***x﹣7***，m的值為﹣21.
問題：仿照以上方法解答下面問題：
***1***已知關於x的多項式2x2+3x﹣k有一個因式是***x+4***，求另一個因式以及k的值.
***2***已知關於x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值.
26.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F為BC中點，BE與DF，DC分別交於點G，H，∠ABE=∠CBE.
***1***求證：BH=AC;
***2***求證：BG2﹣GE2=EA2.
27.如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且 ，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點.
***1***求BD的長;
***2***①如圖2，在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形?若能，請求出PA的長;若不能，請說明理由;
②如圖3，在BC上取一點E，使EC=5，那麼當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長.
28.【閱讀】如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，經過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l摺疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a].
【理解】
若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，3];
【嘗試】
***1***若點D恰為AB的中點***如圖2***，求θ;
***2***經過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值範圍.
七年級數學下段考試卷答案
一、選擇題***每小題3分，共30分***
1.下列長度的各組線段，能組成直角三角形的是*** ***
A.12，15，18 B.12，35，36 C.0.3，0.4，0.5 D.2，3，4
【考點】勾股定理的逆定理.
【分析】驗證兩小邊的平方和是否等於最長邊的平方;應先認真分析所給邊的大小關係，確定最大邊後，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關係，進而作出判斷即可.
【解答】解：A、因為122+152≠182，所以不能組成直角三角形，故選項錯誤;
B、因為122+352≠362，所以不能組成直角三角形，故選項錯誤;
C、因為0.32+0.42=0.52，所以能組成直角三角形，故選項正確;
D、因為22+32≠42，所以不能組成直角三角形，故選項錯誤;
故選：C.
2.下列實數 ，﹣ ，0. ， ， ，*** ﹣1***0，﹣ ，0.1010010001中，其中無理數共有*** ***
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【考點】無理數.
【分析】無理數就是無限不迴圈小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱.即有限小數和無限迴圈小數是有理數，而無限不迴圈小數是無理數.由此即可判定選擇項.
【解答】解：無理數有： ，﹣ ， 共有3個.
故選B.
3.如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向右無滑動地滾動一週，原點滾到了點A，下列說法正確的*** ***
A.點A所表示的是π
B.OA上只有一個無理數π
C.數軸上無理數和有理數一樣多
D.數軸上的有理數比無理數要多一些
【考點】實數與數軸.
【分析】首先根據圓周長公式求出圓的周長，然後結合數軸的特點即可確定A表示的數.
【解答】解：A、∵圓的周長為π，∴滾動一圈的路程即π，∴點A所表示的是π，故選項正確;
B、數軸上不只有一個無理數π，故選項錯誤;
C、數軸上既有無理數，也有有理數，故選項錯誤;
D、數軸上的有理數與無理數多少無法比較，故選項錯誤;
故選A.
4.如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB於點E、O、F，則圖中全等三角形的對數是*** ***
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
【考點】全等三角形的判定;線段垂直平分線的性質;等腰三角形的性質.
【分析】根據已知條件“AB=AC，D為BC中點”，得出△ABD≌△ACD，然後再由AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB於點E、O、F，推出△AOE≌△EOC，從而根據“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到難，不重不漏.
【解答】解：∵AB=AC，D為BC中點，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD;
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE;
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD;
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB;
故選：D.
5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是28°，則頂角是*** ***
A.28° B.118° C.62° D.62°或118°
【考點】等腰三角形的性質.
【分析】等腰三角形的高相對於三角形有三種位置關係，三角形內部，三角形的外部，三角形的邊上.根據條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而可分兩種情況進行討論.
【解答】解：分兩種情況：
①當高在三角形內部時***如圖1***，
∵∠ABD=28°，
∴頂角∠A=90°﹣28°=62°;
②當高在三角形外部時***如圖2***，
∵∠ABD=28°，
∴頂角∠CAB=90°+28°=118°.
故選D.
6.在下列各組條件中，不能說明△ABC≌△DEF的是*** ***
A.AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B.AC=DF，BC=EF，∠A=∠D
C.AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D.AB=DE，BC=EF，AC=DF
【考點】全等三角形的判定.
【分析】根據題目所給的條件結合判定三角形全等的判定定理分別進行分析即可.
【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項不合題意;
B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能證明△ABC≌△DEF，故此選項符合題意;
C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理證明△ABC≌△DEF，故此選項不合題意;
D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理證明△ABC≌△DEF，故此選項不合題意;
故選：B.
7.如圖，正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數有*** ***
A.4個 B.6個 C.8個 D.10個
【考點】等腰三角形的判定.
【分析】根據AB的長度確定C點的不同位置，由已知條件，利用勾股定理可知AB= ，然後即可確定C點的位置.
【解答】解：如圖，AB= = ，
∴當△ABC為等腰三角形，則點C的個數有8個，
故選C.
8.如圖，∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，從左起第1個等邊三角形的邊長記為a1，第2個等邊三角形的邊長記為a2，以此類推.若OA1=1，則a2015=*** ***
A.22013 B.22014 C.22015 D.22016
【考點】等邊三角形的性質.
【分析】根據等腰三角形的性質以及平行線的性質得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1…進而得出答案.
【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1，a3=4a1=4，
a4=8a1=8，a5=16a1，
以此類推：a2015=22014.
故選B.
9.如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動點***其中P、Q不與端點重合***，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，連線AQ、CP交於點M，則在P、Q運動的過程中，下列結論：***1***BP=CM;***2***△ABQ≌△CAP;***3***∠CMQ的度數始終等於60°;***4***當第 秒或第 秒時，△PBQ為直角三角形.其中正確的結論有*** ***
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】易證△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易證∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根據t的值易求BP，BQ的長，即可求得PQ的長，即可解題.
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根據題意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP***SAS***，***2***正確;
∴∠AQB=∠CPA，
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，
∴∠AMP=∠B=60°，
∴∠QMC=60°，***3***正確;
∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，***1***錯誤;
當t= 時，BQ= ，BP=4﹣ = ，
∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BP•BQcos60°，
∴PQ= ，
∴△PBQ為直角三角形，
同理t= 時，△PBQ為直角三角形仍然成立，***4***正確;
故選 C.
10.如圖是一張足夠長的矩形紙條ABCD，以點A所在直線為摺痕，摺疊紙條，使點B落在邊AD上，摺痕與邊BC交於點E;然後將其展平，再以點E所在直線為摺痕，使點A落在邊BC上，摺痕EF交邊AD於點F.則∠AFE的大小是*** ***
A.22.5° B.45° C.60° D.67.5°
【考點】翻折變換***摺疊問題***.
【分析】先根據摺疊的性質得到∠AEB=45°，繼而得出∠AEC，再由摺疊的性質即可得到∠AFE的度數.
【解答】解：以點A所在直線為摺痕，摺疊紙片，使點B落在AD上，摺痕與BC交於E點，∠AEB=45°，
∠FEC=∠FEA= =67.5°.
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC=67.5°.
故選D.
二、填空題***每空2分，共16分***
11.近似數3.40×105精確到 千 位.
【考點】近似數和有效數字.
【分析】近似數精確到哪一位，應當看末位數字實際在哪一位.
【解答】解：近似數3.40×105精確到千位.
故答案是：千.
12.當a2=64時， = ±2 .
【考點】立方根;算術平方根.
【分析】由於a2=64時，根據平方根的定義可以得到a=±8，再利用立方根的定義即可計算a的立方根.
【解答】解：∵a2=64，
∴a=±8.
∴ =±2.
13.如圖，△ABC中，CD⊥AB於D，E是AC的中點.若AD=6，DE=5，則CD的長等於 8 .
【考點】勾股定理;直角三角形斜邊上的中線.
【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半”求得AC=2DE=10;然後在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可.
【解答】解：如圖，∵△ABC中，CD⊥AB於D，E是AC的中點，DE=5，
∴DE= AC=5，
∴AC=10.
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據勾股定理，得
CD= = =8.
故答案是：8.
14.一個正數的平方根為﹣m﹣3和2m﹣3，則這個數為 81 .
【考點】平方根.
【分析】根據一個正數的平方根互為相反數，即可得到一個關於x的方程，即可求得x，進而求得所求的正數.
【解答】解：根據題意得：***﹣m﹣3***+***2m﹣3***=0，
解得：m=6，
則這個數是：***﹣3﹣6***2=81.
故答案是：81.
15.如圖，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，則∠EFC= 45 °.
【考點】等腰三角形的性質;線段垂直平分線的性質.
【分析】根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，然後求出△ABE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出∠BAE=∠ABE=45°，再根據等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然後求出∠CBE，根據等腰三角形三線合一的性質可得BF=CF，根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半可得BF=EF，根據等邊對等角求出∠BEF=∠CBE，然後根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∵BE⊥AC，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC= = =67.5°，
∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=67.5°﹣45°=22.5°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，
∵EF= BC***直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半***，
∴BF=EF=CF，
∴∠BEF=∠CBE=22.5°，
∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=22.5°+22.5°=45°.
故答案為：45.
16.如圖，在△ABC和△BDE中，點C在邊BD上，邊AC交邊BE於點F.若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°，∠ABE=28°，則∠ACB= 46° .
【考點】全等三角形的判定與性質.
【分析】根據全等三角形的判定與性質，可得∠ACB與∠DBE的關係，根據三角形外角的性質，可得答案.
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB ***SSS***，
∴∠ACB=∠DBE.
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，
∠ACB= ∠AFB=46°.
故答案為：46°.
17.如圖，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處;再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條摺痕與斜邊AB分別交於點E、F，則線段B′F的長為 .
【考點】翻折變換***摺疊問題***.
【分析】首先根據摺疊可得CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然後求得△ECF是等腰直角三角形，進而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE= ，從而求得B′D=1，DF= ，在Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得B′F的長.
【解答】解：根據摺疊的性質可知CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，
∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B′FC=135°，
∴∠B′FD=90°，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CE，
∴AC•BC=AB•CE，
∵根據勾股定理求得AB=5，
∴CE= ，
∴EF= ，ED=AE= ，
∴DF=EF﹣ED= ，
∴B′F= .
故答案為： .
18.如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長為 .
【考點】全等三角形的判定與性質;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】根據等式的性質，可得∠BAD與∠CAD′的關係，根據SAS，可得△BAD與△CAD′的關係，根據全等三角形的性質，可得BD與CD′的關係，根據勾股定理，可得答案.
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連線CD′，DD′，如圖：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD與△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′***SAS***，
∴BD=CD′.
∠DAD′=90°
由勾股定理得DD′= ，
∠D′DA+∠ADC=90°
由勾股定理得CD′= ，
∴BD=CD′= ，
故答案為： .
三、解答題***共10大題，共84分***
19.***1***計算：
***2***求x的值：5***x﹣1***2=20.
【考點】實數的運算;平方根.
【分析】此題涉及有理數的乘方、平方根、立方根的求法，在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然後根據實數的運演算法則求得計算結果即可.
【解答】解：***1***
=﹣2+3﹣8
=﹣7
***2***∵5***x﹣1***2=20，
∴***x﹣1***2=4，
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2，
解得x=3或x=﹣1.
20.因式分解：
***1***3a5﹣12a4+9a3
***2***3a2﹣6ab+3b2﹣12c2.
【考點】因式分解﹣分組分解法;提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】***1***利用提供因式法和十字相乘分式分解因式;
***2***利用提公因式法和分組分解法分解因式.
【解答】解：***1***原式=3a3***a2﹣4a+3***
=3a3***a﹣3******a﹣1***.
***2***原式=3***a2﹣2ab+b2﹣4c2***
=3[***a﹣b***2﹣4c2]
=3***a﹣b+2c******a﹣b﹣2c***.
21.如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上一點.PD⊥OA交OA於D，PE⊥OB交OB於E，F是OC上的另一點，連線DF，EF.求證：DF=EF.
【考點】角平分線的性質;全等三角形的判定與性質.
【分析】先根據點P在∠AOB的角平分線OC上，PE⊥OB可求出PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，由全等三角形的判定定理可得出△DPF≌△EPF，進而可得出答案.
【解答】證明：∵點P在∠AOB的角平分線OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°，
∴∠DPF=90°﹣∠DOP，∠EPF=90°﹣∠EOP，
∴∠DPF=∠EPF，
在△DPF和△EPF中
***SAS***，
∴△DPF≌△EPF
∴DF=EF.
22.如圖，正方形網格中每個小正方形邊長都是1.
***1***在直線l上找一點P，使PB+PC的值最小;
***2***連線PA、PC，計算四邊形PABC的面積;
***3***若圖中的格點Q到直線BC的距離等於 ，則圖中所有滿足條件的格點Q有 16 個.
【考點】軸對稱﹣最短路線問題;點到直線的距離.
【分析】***1***找到B點對稱點B′，再連線B′C交直線l於點P，即可得出答案;
***2***直接將四邊形分割為兩個三角形，進而求出其面積;
***3***利用勾股定理結合網格得出平行於直線BC且到直線BC的距離為 的直線，即可得出答案.
【解答】解：***1***如圖所示：點P即為所求;
***2***四邊形PABC的面積為： ×3×5+ ×4×1=9.5;
***3***圖中所有滿足條件的格點Q有：16個.
故答案為：16.
23.已知a，b，c為△ABC的三條邊的長，且滿足b2+2ab=c2+2ac.
***1***試判斷△ABC的形狀，並說明理由;
***2***若a=6，b=5，求△ABC的面積.
【考點】因式分解的應用.
【分析】***1***由已知條件得出b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，用分組分解法進行因式分解得出***b﹣c******b+c+2a***=0，得出b﹣c=0，因此b=c，即可得出結論;
***2***作△ABC底邊BC上的高AD.根據等腰三角形三線合一的性質得出BD=DC= BC=3，利用勾股定理求出AD= =4，再根據三角形的面積公式即可求解.
【解答】解：***1***△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a，b，c為△ABC的三條邊的長，b2+2ab=c2+2ac，
∴b2﹣c2+2ab﹣2ac=0，
因式分解得：***b﹣c******b+c+2a***=0，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形;
***2***如圖，作△ABC底邊BC上的高AD.
∵AB=AC=5，AD⊥BC，
∴BD=DC= BC=3，
∴AD= =4，
∴△ABC的面積= BC•AD= ×6×4=12.
24.如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點F是AE的中點，FD與AB相交於點M.
***1***求證：∠FMC=∠FCM;
***2***AD與MC垂直嗎?並說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
【分析】***1***根據等腰直角三角形的性質得出DF⊥AE，DF=AF=EF，進而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM***AAS***，即可得出答案;
***2***由***1***知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行線的判定得出答案.
【解答】***1***證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中點，
∴DF⊥AE，DF=AF=EF，
又∵∠ABC=90°，
∠DCF，∠AMF都與∠MAC互餘，
∴∠DCF=∠AMF，
在△DFC和△AFM中，
，
∴△DFC≌△AFM***AAS***，
∴CF=MF，
∴∠FMC=∠FCM;
***2***AD⊥MC，
理由：由***1***知，∠MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，
∴∠FDE=∠FMC=45°，
∴DE∥CM，
∴AD⊥MC.
25.仔細閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知關於x的多項式x2﹣4x+m有一個因式是***x+3***，求另一個因式以及m的值.
解：設另一個因式為***x+n***，得：x2﹣4x+m=***x+3******x+n***，則x2﹣4x+m=x2+***n+3***x+3n，
∴ ，解得：n=﹣7，m=﹣21.
∴另一個因式為***x﹣7***，m的值為﹣21.
問題：仿照以上方法解答下面問題：
***1***已知關於x的多項式2x2+3x﹣k有一個因式是***x+4***，求另一個因式以及k的值.
***2***已知關於x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值.
【考點】因式分解﹣十字相乘法等;解二元一次方程組.
【分析】***1***設另一個因式是***2x+b***，則***x+4******2x+b***=2x2+bx+8x+4b=2x2+***b+8***x+4b=2x2+3x﹣k，根據對應項的係數相等即可求得b和k的值;
***2***設另一個因式是***2x2+mx+n***，利用多項式的乘法運演算法則展開，然後根據對應項的係數相等列式求出b的值即可得解.
【解答】解：***1***設另一個因式是***2x+b***，則
***x+4******2x+b***=2x2+bx+8x+4b=2x2+***b+8***x+4b=2x2+3x﹣k，
則 ，
解得： .
則另一個因式是：2x﹣5，k=20.
***2***設另一個因式是***2x2+mx+n***，則
***x+2******2x2+mx+n***=2x3+***m+4***x2+***2m+n***x+2n=2x3+5x2﹣x+b，
則 ，
解得 .
故b的值是﹣6.
26.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F為BC中點，BE與DF，DC分別交於點G，H，∠ABE=∠CBE.
***1***求證：BH=AC;
***2***求證：BG2﹣GE2=EA2.
【考點】全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質;勾股定理.
【分析】***1***根據三角形的內角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根據ASA證出△DBH≌△DCA即可;
***2***根據DB=DC和F為BC中點，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根據BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案.
【解答】證明：***1***∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC
∴DB=DC，
∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，
∴∠HBD=∠ACD，
∵在△DBH和△DCA中，
，
∴△DBH≌△DCA***ASA***，
∴BH=AC.
***2***連線CG，
由***1***知，DB=CD，
∵F為BC的中點，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴△ABE≌△CBE，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2﹣GE2=EA2.
27.如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且 ，點P、Q分別是邊AD、AB上的動點.
***1***求BD的長;
***2***①如圖2，在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形?若能，請求出PA的長;若不能，請說明理由;
②如圖3，在BC上取一點E，使EC=5，那麼當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】***1***由條件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的長;
***2***①由題可知只能有∠QPC為直角，當PQ=PC時，可證得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的長;②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質和勾股定理求解即可.
【解答】解：
***1***如圖1，連線BD，
∵ ，
∴AB=4，BC=6，
則在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD= =2 ;
***2***①能，AP=4，理由如下：
如圖2，由圖形可知∠PQC和∠PCQ不可能為直角，所以只有∠QPC=90°，則∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
當PQ=PC時，
在Rt△APQ和Rt△DCP中
∴△APQ≌△DCP***AAS***，
∴AP=CD=4，
故在P、Q運動中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形，此時AP=4;
②當PC=EC=5時，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB﹣PD=3，
當PC=PE=5時，如圖3，過P作PF⊥BC交BC於點F，則FC=EF=PD= EC=2.5，所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5，
當PE=EC=5時，如圖4，過E作EH⊥AD於點H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，
綜上可知當△EPC為等腰三角形時，求出PA的長為3、3.5或4.
28.【閱讀】如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，經過點O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l摺疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a].
【理解】
若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[45°，3];
【嘗試】
***1***若點D恰為AB的中點***如圖2***，求θ;
***2***經過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值;若點E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值範圍.
【考點】幾何變換綜合題.
【分析】***1***先根據ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點，由摺疊可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，根據等邊三角形三線合一的性質可得出結論;
***2***根據點E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l，根據由摺疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2.再由θ=45°，AB⊥直線l，得出△ADE為等腰直角三角形，故可得出OA的長，由此可得出結論.
【解答】解：***1***連線CD並延長，交OA延長線於點F.
在△BCD與△AFD中，
，
∴△BCD≌△AFD***ASA***.
∴CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點，
∴OD= CF=CD.
又由摺疊可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，
∴θ= ∠COD=30°;
***2***∵點E四邊形0ABC的邊AB上，
∴AB⊥直線l
由摺疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2.
∵θ=45°，AB⊥直線l，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5;
由圖可知，當0