高中數學函式教學
函式是整個高中階段的數學學習的一條主線，因此研究高中函式的教學設計具有重要意義。下面小編為你整理了，希望對你有幫助。
：冪函式
教學目標
1、通過對冪函式概念的學習以及對冪函式影象和性質的歸納與概括，讓學生體驗數學概念的形成過程，培養學生的抽象概括能力。
2、使學生理解並掌握冪函式的影象與性質，並能初步運用所學知識解決有關問題，培養學生的靈活思維能力。
教學難點
冪函式影象和性質的發現過程
教學重點
冪函式的性質及運用
教學過程
一、 教學匯入
數學和日常生活是密不可分的，觀察下列問題中的函式個有什麼共同特徵?
1如果李斯在超市買了每支1元的水筆n支，那麼他應支付p=n元。這裡p是n的函式。
2如果正方形的邊長a，那麼正方形的面積為S=a2 ，這裡S是a的函式。
3如果立方體的邊長a，那麼立方體的體積為V=a3 ，這裡V是a的函式。
4如果正方形的面積為S，那麼這個正方形的邊長為a=S ，這裡a是S的函式。
5如果壯壯ts內騎車行進了1km，那麼他騎車的平均速度為v=t-1 ，這裡v是t的函式。
由學生討論，總結，即可得出：p=n，S=a2 ，V=a3 ，a=S ，v=t-1 都是自變數的若干次冪的形式。
這節課，我們將來共同學習另一種函式——冪函式老師板書課題
二、 講授新課
1、定義：一般地，函式y=xa 叫做冪函式，其中x是自變數，a是實常數。
判斷一個函式是否是冪函式?注意：①是否為冪的形式;②自變數是冪的底數，指數可以是任意實數。
例1、1y=xa 與y=ax 一樣嗎?
2在函式y=x+2，y=1，y=x2+x，y=2x2+3，y= 中，哪幾個函式是冪函式?
3已知冪函式y=fx的影象過點2， ，試求出這個函式的解析式。
三、 課外作業
P49 習題2—5 A組 1、2
教學後記
本節課主要從五個具體冪函式中認識冪函式的一些性質，畫五個冪函式的影象並由影象概括其性質是教學中可能遇到的困難，所以要注意引導學生親自動手畫影象、分組討論等形式，讓學生自己去探究，把主動權交給學生。
：指數函式
教學目標
1.使學生掌握的概念,圖象和性質.
1能根據定義判斷形如什麼樣的函式是,瞭解對底數的限制條件的合理性,明確的定義域.
2能在基本性質的指導下,用列表描點法畫出的圖象,能從數形兩方面認識的性質.
3 能利用的性質比較某些冪形數的大小,會利用的圖象畫出形如 的圖象.
2. 通過對的概念圖象性質的學習,培養學生觀察,分析歸納的能力,進一步體會數形結合的思想方法.
3.通過對的研究,讓學生認識到數學的應用價值,激發學生學習數學的興趣.使學生善於從現實生活中數學的發現問題,解決問題.
教學建議
教材分析
1 是在學生系統學習了函式概念,基本掌握了函式的性質的基礎上進行研究的,它是重要的基本初等函式之一,作為常見函式,它既是函式概念及性質的第一次應用,也是今後學習對數函式的基礎,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,所以應重點研究.
2 本節的教學重點是在理解定義的基礎上掌握的圖象和性質.難點是對底數 在 和 時,函式值變化情況的區分.
3是學生完全陌生的一類函式,對於這樣的函式應怎樣進行較為系統的理論研究是學生面臨的重要問題,所以從的研究過程中得到相應的結論固然重要,但更為重要的是要了解系統研究一類函式的方法,所以在教學中要特別讓學生去體會研究的方法,以便能將其遷移到其他函式的研究.
教法建議
1關於的定義按照課本上說法它是一種形式定義即解析式的特徵必須是 的樣子,不能有一點差異,諸如 , 等都不是.
2對底數 的限制條件的理解與認識也是認識的重要內容.如果有可能儘量讓學生自己去研究對底數,指數都有什麼限制要求,教師再給予補充或用具體例子加以說明,因為對這個條件的認識不僅關係到對的認識及性質的分類討論,還關係到後面學習對數函式中底數的認識,所以一定要真正瞭解它的由來.
關於圖象的繪製,雖然是用列表描點法,但在具體教學中應避免描點前的盲目列表計算,也應避免盲目的連點成線,要把表列在關鍵之處,要把點連在恰當之處,所以應在列表描點前先把函式的性質作一些簡單的討論,取得對要畫圖象的存在範圍,大致特徵,變化趨勢的大概認識後,以此為指導再列表計算,描點得圖象.
教學設計示例
課題
教學目標
1. 理解的定義,初步掌握的圖象,性質及其簡單應用.
2. 通過的圖象和性質的學習,培養學生觀察,分析,歸納的能力,進一步體會數形結合的思想方法.
3. 通過對的研究,使學生能把握函式研究的基本方法,激發學生的學習興趣.
教學重點和難點
重點是理解的定義,把握圖象和性質.
難點是認識底數對函式值影響的認識.
教學過程
一. 引入新課
我們前面學習了指數運算,在此基礎上,今天我們要來研究一類新的常見函式-------.1.6.板書
這類函式之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要.比如我們看下面的問題:
問題1:某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,……一個這樣的細胞分裂 次後,得到的細胞分裂的個數 與 之間,構成一個函式關係,能寫出 與 之間的函式關係式嗎?
由學生回答: 與 之間的關係式,可以表示為 .
問題2:有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長一半,第二次再剪去剩餘繩子的一半,……剪了 次後繩子剩餘的長度為 米,試寫出 與 之間的函式關係.
由學生回答: .
在以上兩個例項中我們可以看到這兩個函式與我們前面研究的函式有所區別,從形式上冪的形式,且自變數 均在指數的位置上,那麼就把形如這樣的函式稱為.
一. 的概念板書
1.定義:形如 的函式稱為.板書
教師在給出定義之後再對定義作幾點說明.
2.幾點說明 板書
1 關於對 的規定:
教師首先提出問題:為什麼要規定底數大於0且不等於1呢?若學生感到有困難,可將問題分解為若 會有什麼問題?如 ,此時 , 等在實數範圍內相應的函式值不存在.
若 對於 都無意義,若 則 無論 取何值,它總是1,對它沒有研究的必要.為了避免上述各種情況的發生,所以規定 且 .
2關於的定義域 板書
教師引導學生回顧指數範圍,發現指數可以取有理數.此時教師可指出,其實當指數為無理數時, 也是一個確定的實數,對於無理指數冪,學過的有理指數冪的性質和運演算法則它都適用,所以將指數範圍擴充為實數範圍,所以的定義域為 .擴充的另一個原因是因為使她它更具代表更有應用價值.
3關於是否是的判斷板書
剛才分別認識了中底數,指數的要求,下面我們從整體的角度來認識一下,根據定義我們知道什麼樣的函式是,請看下面函式是否是.
1 , 2 , 34 , 5 .
學生回答並說明理由,教師根據情況作點評,指出只有1和3是,其中3 可以寫成 ,也是指數圖象.
最後提醒學生的定義是形式定義,就必須在形式上一摸一樣才行,然後把問題引向深入,有了定義域和初步研究的函式的性質,此時研究的關鍵在於畫出它的圖象,再細緻歸納性質.
3.歸納性質
作圖的用什麼方法.用列表描點發現,教師準備明確性質,再由學生回答.
函式
1.定義域 :
2.值域:
3.奇偶性 :既不是奇函式也不是偶函式
4.截距:在 軸上沒有,在 軸上為1.
對於性質1和2可以兩條合在一起說,並追問起什麼作用.確定圖象存在的大致位置對第3條還應會證明.對於單調性,我建議找一些特殊點.,先看一看,再下定論.對最後一條也是指導函式圖象畫圖的依據.圖象位於 軸上方,且與 軸不相交.
在此基礎上,教師可指導學生列表,描點了.取點時還要提醒學生由於不具備對稱性,故 的值應有正有負,且由於單調性不清,所取點的個數不能太少.
此處教師可利用計算機列表描點,給出十組資料,而學生自己列表描點,至少六組資料.連點成線時,一定提醒學生圖象的變化趨勢當 越小,圖象越靠近 軸, 越大,圖象上升的越快,並連出光滑曲線.
二.圖象與性質板書
1.圖象的畫法:性質指導下的列表描點法.
2.草圖:
當畫完第一個圖象之後,可問學生是否需要再畫第二個?它是否具有代表性?教師可提示底數的條件是 且 ,取值可分為兩段讓學生明白需再畫第二個,不妨取 為例.
此時畫它的圖象的方法應讓學生來選擇,應讓學生意識到列表描點不是唯一的方法,而圖象變換的方法更為簡單.即 = 與 圖象之間關於 軸對稱,而此時 的圖象已經有了,具備了變換的條件.讓學生自己做對稱,教師藉助計算機畫圖,在同一座標系下得到 的圖象.
最後問學生是否需要再畫.可能有兩種可能性,若學生認為無需再畫,則追問其原因並要求其說出性質,若認為還需畫,則教師可利用計算機再畫出如 的圖象一起比較,再找共性
由於圖象是形的特徵,所以先從幾何角度看它們有什麼特徵.教師可列一個表,如下:
以上內容學生說不齊的,教師可適當提出觀察角度讓學生去描述,然後再讓學生將幾何的特徵,翻譯為函式的性質,即從代數角度的描述,將表中另一部分填滿.
填好後,讓學生仿照此例再列一個 的表,將相應的內容填好.為進一步整理性質,教師可提出從另一個角度來分類,整理函式的性質.
3.性質.
1無論 為何值, 都有定義域為 ,值域為 ,都過點 .
2 時, 在定義域內為增函式, 時, 為減函式.
3 時, , 時, .
總結之後,特別提醒學生記住函式的圖象,有了圖,從圖中就可以能讀出性質.
三.簡單應用 板書
1.利用單調性比大小. 板書
一類函式研究完它的概念,圖象和性質後,最重要的是利用它解決一些簡單的問題.首先我們來看下面的問題.
例1. 比較下列各組數的大小
1 與 ; 2 與 ;
3 與1 .板書
首先讓學生觀察兩個數的特點,有什麼相同?由學生指出它們底數相同,指數不同.再追問根據這個特點,用什麼方法來比較它們的大小呢?讓學生聯想,提出建構函式的方法,即把這兩個數看作某個函式的函式值,利用它的單調性比較大小.然後以第1題為例,給出解答過程.
解: 在 上是增函式,且
< .板書
教師最後再強調過程必須寫清三句話:
1 建構函式並指明函式的單調區間及相應的單調性.
2 自變數的大小比較.
3 函式值的大小比較.
後兩個題的過程略.要求學生仿照第1題敘述過程.
例2.比較下列各組數的大小
1 與 ; 2 與 ;
3 與 .板書
先讓學生觀察例2中各組數與例1中的區別,再思考解決的方法.引導學生髮現對1來說 可以寫成 ,這樣就可以轉化成同底的問題,再用例1的方法解決,對2來說 可以寫成 ,也可轉化成同底的,而3前面的方法就不適用了,考慮新的轉化方法,由學生思考解決.教師可提示學生的函式值與1有關,可以用1來起橋樑作用
最後由學生說出 >1, <1, > .
解決後由教師小結比較大小的方法
1 建構函式的方法: 數的特徵是同底不同指包括可轉化為同底的
2 搭橋比較法: 用特殊的數1或0.
三.鞏固練習
練習:比較下列各組數的大小板書
1 與 2 與 ;
3 與 ; 4 與 .解答過程略
四.小結
1.的概念
2.的圖象和性質
3.簡單應用
五 .板書設計
探究活動
1 對於 的圖象和 的圖象大家都比較熟悉也能畫出它的圖象,現在如果將 和 的 圖象畫在同一座標系中,你認為它們會有幾個交點呢?為什麼?
答案：有兩個交點.
2 A先生從今天開始每天給你10萬元,而你承擔如下任務:第一天給A先生1元,第二天給A先生2元,,第三天給A先生4元,第四天給A先生8元,依次下去,…,A先生要和你簽定15天的合同,你同意嗎?又A先生要和你簽定30天的合同,你能籤這個合同嗎?
答案：15天的合同可以籤,而30 天的合同不能籤.