高中數學函式性質

  函式是高中數學的重點難點,也是基礎。你都掌握了函式的基本知識點嗎?接下來小編為你整理了,一起來看看吧。

  一次函式

  一、定義與定義式:

  自變數x和因變數y有如下關係:

  y=kx+b

  則此時稱y是x的一次函式。

  特別地,當b=0時,y是x的正比例函式。

  即:y=kx ***k為常數,k≠0***

  二、一次函式的性質:

  1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k

  即:y=kx+b ***k為任意不為零的實數 b取任何實數***

  2.當x=0時,b為函式在y軸上的截距。

  三、一次函式的影象及性質:

  1.作法與圖形:通過如下3個步驟

  ***1***列表;

  ***2***描點;

  ***3***連線,可以作出一次函式的影象——一條直線。因此,作一次函式的影象只需知道2點,並連成直線即可。***通常找函式影象與x軸和y軸的交點***

  2.性質:***1***在一次函式上的任意一點P***x,y***,都滿足等式:y=kx+b。***2***一次函式與y軸交點的座標總是***0,b***,與x軸總是交於***-b/k,0***正比例函式的影象總是過原點。

  3.k,b與函式影象所在象限:

  當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;

  當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。

  當b>0時,直線必通過一、二象限;

  當b=0時,直線通過原點

  當b<0時,直線必通過三、四象限。

  特別地,當b=O時,直線通過原點O***0,0***表示的是正比例函式的影象。

  這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。

  四、確定一次函式的表示式:

  已知點A***x1,y1***;B***x2,y2***,請確定過點A、B的一次函式的表示式。

  ***1***設一次函式的表示式***也叫解析式***為y=kx+b。

  ***2***因為在一次函式上的任意一點P***x,y***,都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

  ***3***解這個二元一次方程,得到k,b的值。

  ***4***最後得到一次函式的表示式。

  五、一次函式在生活中的應用:

  1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函式。s=vt。

  2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。

  六、常用公式:***不全,希望有人補充***

  1.求函式影象的k值:***y1-y2***/***x1-x2***

  2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2

  3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

  4.求任意線段的長:√***x1-x2***^2+***y1-y2***^2 ***注:根號下***x1-x2***與***y1-y2***的平方和***

  二次函式

  I.定義與定義表示式

  一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:

  y=ax^2+bx+c

  ***a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.***

  則稱y為x的二次函式。

  二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

  II.二次函式的三種表示式

  一般式:y=ax^2+bx+c***a,b,c為常數,a≠0***

  頂點式:y=a***x-h***^2+k [拋物線的頂點P***h,k***]

  交點式:y=a***x-x?******x-x ?*** [僅限於與x軸有交點A***x? ,0***和 B***x?,0***的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:

  h=-b/2ak=***4ac-b^2***/4a x?,x?=***-b±√b^2-4ac***/2a

  III.二次函式的影象

  在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象,

  可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。

  IV.拋物線的性質

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

  x= -b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸***即直線x=0***

  2.拋物線有一個頂點P,座標為

  P*** -b/2a ,***4ac-b^2***/4a ***

  當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

  3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

  |a|越大,則拋物線的開口越小。

  4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時***即ab>0***,對稱軸在y軸左;

  當a與b異號時***即ab<0***,對稱軸在y軸右。

  5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交於***0,c***

  6.拋物線與x軸交點個數

  Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數***x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a***

  V.二次函式與一元二次方程

  特別地,二次函式***以下稱函式***y=ax^2+bx+c,

  當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程***以下稱方程***,

  即ax^2+bx+c=0

  此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。

  函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

  1.二次函式y=ax^2,y=a***x-h***^2,y=a***x-h***^2+k,y=ax^2+bx+c***各式中,a≠0***的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸如下表:

  解析式 頂點座標對 稱 軸

  y=ax^2***0,0*** x=0

  y=a***x-h***^2***h,0*** x=h

  y=a***x-h***^2+k***h,k*** x=h

  y=ax^2+bx+c***-b/2a,[4ac-b^2]/4a*** x=-b/2a

  當h>0時,y=a***x-h***^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

  當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

  當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象,通過配方,將一般式化為y=a***x-h***^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是***-b/2a,[4ac-b^2]/4a***.

  3.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***,若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:

  ***1***圖象與y軸一定相交,交點座標為***0,c***;

  ***2***當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點A***x?,0***和B***x?,0***,其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

  ***a≠0***的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

  當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

  當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0***a<0***,則當x= -b/2a時,y最小***大***值=***4ac-b^2***/4a.

  頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.

  6.用待定係數法求二次函式的解析式

  ***1***當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c***a≠0***.

  ***2***當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a***x-h***^2+k***a≠0***.

  ***3***當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a***x-x?******x-x?******a≠0***.

  7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

  反比例函式

  形如 y=k/x***k為常數且k≠0*** 的函式,叫做反比例函式。

  自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。

  反比例函式影象性質:

  反比例函式的影象為雙曲線。

  由於反比例函式屬於奇函式,有f***-x***=-f***x***,影象關於原點對稱。

  另外,從反比例函式的解析式可以得出,在反比例函式的影象上任取一點,向兩個座標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。

  如圖,上面給出了k分別為正和負***2和-2***時的函式影象。

  當K>0時,反比例函式影象經過一,三象限,是減函式

  當K<0時,反比例函式影象經過二,四象限,是增函式

  反比例函式影象只能無限趨向於座標軸,無法和座標軸相交。

  知識點:

  1.過反比例函式圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段,這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為| k |。

  2.對於雙曲線y=k/x ,若在分母上加減任意一個實數 ***即 y=k/***x±m***m為常數***,就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。***加一個數時向左平移,減一個數時向右平移***

  對數函式

  對數函式的一般形式為,它實際上就是指數函式 的反函式。因此指數函式裡對於a的規定,同樣適用於對數函式。

  右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形:

  可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函式。

  ***1***對數函式的定義域為大於0的實數集合。

  ***2***對數函式的值域為全部實數集合。

  ***3***函式總是通過***1,0***這點。

  ***4***a大於1時,為單調遞增函式,並且上凸;a小於1大於0時,函式為單調遞減函式,並且下凹。

  ***5***顯然對數函式無界。

  指數函式

  指數函式的一般形式為,從上面我們對於冪函式的討論就可以知道,要想使得x能夠取整個實數集合為定義域,則只有使得

  如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。

  可以看到:

  ***1*** 指數函式的定義域為所有實數的集合,這裡的前提是a大於0,對於a不大於0的情況,則必然使得函式的定義域不存在連續的區間,因此我們不予考慮。

  ***2*** 指數函式的值域為大於0的實數集合。

  ***3*** 函式圖形都是下凹的。

  ***4*** a大於1,則指數函式單調遞增;a小於1大於0,則為單調遞減的。

  ***5*** 可以看到一個顯然的規律,就是當a從0趨向於無窮大的過程中***當然不能等於0***,函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置,趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

  ***6*** 函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。

  ***7*** 函式總是通過***0,1***這點。

  ***8*** 顯然指數函式無界。

  奇偶性

  注圖:***1***為奇函式***2***為偶函式

  1.定義

  一般地,對於函式f***x***

  ***1***如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f***-x***=-f***x***,那麼函式f***x***就叫做奇函式。

  ***2***如果對於函式定義域內的任意一個x,都有f***-x***=f***x***,那麼函式f***x***就叫做偶函式。

  ***3***如果對於函式定義域內的任意一個x,f***-x***=-f***x***與f***-x***=f***x***同時成立,那麼函式f***x***既是奇函式又是偶函式,稱為既奇又偶函式。

  ***4***如果對於函式定義域內的任意一個x,f***-x***=-f***x***與f***-x***=f***x***都不能成立,那麼函式f***x***既不是奇函式又不是偶函式,稱為非奇非偶函式。

  說明:①奇、偶性是函式的整體性質,對整個定義域而言

  ②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱,如果一個函式的定義域不關於原點對稱,則這個函式一定不是奇***或偶***函式。

  ***分析:判斷函式的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f***x***比較得出結論***

  ③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義

  2.奇偶函式影象的特徵:

  定理 奇函式的影象關於原點成中心對稱圖表,偶函式的圖象關於y軸或軸對稱圖形。

  f***x***為奇函式《==》f***x***的影象關於原點對稱

  點***x,y***→***-x,-y***

  奇函式在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。

  偶函式 在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減。

  3.奇偶函式運算

  ***1***. 兩個偶函式相加所得的和為偶函式.

  ***2***. 兩個奇函式相加所得的和為奇函式.

  ***3***. 一個偶函式與一個奇函式相加所得的和為非奇函式與非偶函式.

  ***4***. 兩個偶函式相乘所得的積為偶函式.

  ***5***. 兩個奇函式相乘所得的積為偶函式.

  ***6***. 一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積為奇函式.

  定義域

  ***高中函式定義***設A,B是兩個非空的數集,如果按某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f***x***和它對應,那麼就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函式,記作y=f***x***,x屬於集合A。其中,x叫作自變數,x的取值範圍A叫作函式的定義域;

  值域

  名稱定義

  函式中,應變數的取值範圍叫做這個函式的值域函式的值域,在數學中是函式在定義域中應變數所有值的集合

  常用的求值域的方法

  ***1***化歸法;***2***圖象法***數形結合***,

  ***3***函式單調性法,

  ***4***配方法,***5***換元法,***6***反函式法***逆求法***,***7***判別式法,***8***複合函式法,***9***三角代換法,***10***基本不等式法等

  關於函式值域誤區

  定義域、對應法則、值域是函式構造的三個基本“元件”。平時數學中,實行“定義域優先”的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或談化了,對值域問題的探究,造成了一手“硬”一手“軟”,使學生對函式的掌握時好時壞,事實上,定義域與值域二者的位置是相當的,絕不能厚此薄皮,何況它們二者隨時處於互相轉化之中***典型的例子是互為反函式定義域與值域的相互轉化***。如果函式的值域是無限集的話,那麼求函式值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質有時並不能奏效,還必須聯絡函式的奇偶性、單調性、有界性、週期性來考慮函式的取值情況。才能獲得正確答案,從這個角度來講,求值域的問題有時比求定義域問題難,實踐證明,如果加強了對值域求法的研究和討論,有利於對定義域內函的理解,從而深化對函式本質的認識。

  “範圍”與“值域”相同嗎?

  “範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念,許多同學常常將它們混為一談,實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函式值的集合***即集合中每一個元素都是這個函式的取值***,而“範圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合***即集合中的元素不一定都滿足這個條件***。也就是說:“值域”是一個“範圍”,而“範圍”卻不一定是“值域”。