高中數學函式性質

　　函式是高中數學的重點難點，也是基礎。你都掌握了函式的基本知識點嗎?接下來小編為你整理了，一起來看看吧。

　　一次函式

　　一、定義與定義式：

　　自變數x和因變數y有如下關係：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函式。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函式。

　　即：y=kx ***k為常數，k≠0***

　　二、一次函式的性質：

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b ***k為任意不為零的實數 b取任何實數***

　　2.當x=0時，b為函式在y軸上的截距。

　　三、一次函式的影象及性質：

　　1.作法與圖形：通過如下3個步驟

　　***1***列表;

　　***2***描點;

　　***3***連線，可以作出一次函式的影象——一條直線。因此，作一次函式的影象只需知道2點，並連成直線即可。***通常找函式影象與x軸和y軸的交點***

　　2.性質：***1***在一次函式上的任意一點P***x，y***，都滿足等式：y=kx+b。***2***一次函式與y軸交點的座標總是***0，b***，與x軸總是交於***-b/k，0***正比例函式的影象總是過原點。

　　3.k，b與函式影象所在象限：

　　當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b>0時，直線必通過一、二象限;

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b<0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O***0，0***表示的是正比例函式的影象。

　　這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函式的表示式：

　　已知點A***x1，y1***;B***x2，y2***，請確定過點A、B的一次函式的表示式。

　　***1***設一次函式的表示式***也叫解析式***為y=kx+b。

　　***2***因為在一次函式上的任意一點P***x，y***，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

　　***3***解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　　***4***最後得到一次函式的表示式。

　　五、一次函式在生活中的應用：

　　1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函式。s=vt。

　　2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。

　　六、常用公式：***不全，希望有人補充***

　　1.求函式影象的k值：***y1-y2***/***x1-x2***

　　2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

　　3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

　　4.求任意線段的長：√***x1-x2***^2+***y1-y2***^2 ***注：根號下***x1-x2***與***y1-y2***的平方和***

　　二次函式

　　I.定義與定義表示式

　　一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

　　y=ax^2+bx+c

　　***a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.***

　　則稱y為x的二次函式。

　　二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函式的三種表示式

　　一般式：y=ax^2+bx+c***a，b，c為常數，a≠0***

　　頂點式：y=a***x-h***^2+k [拋物線的頂點P***h，k***]

　　交點式：y=a***x-x?******x-x ?*** [僅限於與x軸有交點A***x? ，0***和 B***x?，0***的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:

　　h=-b/2ak=***4ac-b^2***/4a x?,x?=***-b±√b^2-4ac***/2a

　　III.二次函式的影象

　　在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象，

　　可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x= -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸***即直線x=0***

　　2.拋物線有一個頂點P，座標為

　　P*** -b/2a ，***4ac-b^2***/4a ***

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時***即ab>0***，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時***即ab<0***，對稱軸在y軸右。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交於***0，c***

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數***x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a***

　　V.二次函式與一元二次方程

　　特別地，二次函式***以下稱函式***y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程***以下稱方程***，

　　即ax^2+bx+c=0

　　此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。

　　函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

　　1.二次函式y=ax^2，y=a***x-h***^2，y=a***x-h***^2+k，y=ax^2+bx+c***各式中，a≠0***的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：

　　解析式 頂點座標對 稱 軸

　　y=ax^2***0，0*** x=0

　　y=a***x-h***^2***h，0*** x=h

　　y=a***x-h***^2+k***h，k*** x=h

　　y=ax^2+bx+c***-b/2a，[4ac-b^2]/4a*** x=-b/2a

　　當h>0時，y=a***x-h***^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

　　當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象，通過配方，將一般式化為y=a***x-h***^2+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是***-b/2a，[4ac-b^2]/4a***.

　　3.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.

　　4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：

　　***1***圖象與y軸一定相交，交點座標為***0，c***;

　　***2***當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A***x?，0***和B***x?，0***，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　***a≠0***的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

　　當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

　　當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.

　　5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0***a<0***，則當x= -b/2a時，y最小***大***值=***4ac-b^2***/4a.

　　頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值.

　　6.用待定係數法求二次函式的解析式

　　***1***當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c***a≠0***.

　　***2***當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a***x-h***^2+k***a≠0***.

　　***3***當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a***x-x?******x-x?******a≠0***.

　　7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.

　　反比例函式

　　形如 y=k/x***k為常數且k≠0*** 的函式，叫做反比例函式。

　　自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。

　　反比例函式影象性質：

　　反比例函式的影象為雙曲線。

　　由於反比例函式屬於奇函式，有f***-x***=-f***x***,影象關於原點對稱。

　　另外，從反比例函式的解析式可以得出，在反比例函式的影象上任取一點，向兩個座標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

　　如圖，上面給出了k分別為正和負***2和-2***時的函式影象。

　　當K>0時，反比例函式影象經過一，三象限，是減函式

　　當K<0時，反比例函式影象經過二，四象限，是增函式

　　反比例函式影象只能無限趨向於座標軸，無法和座標軸相交。

　　知識點：

　　1.過反比例函式圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段，這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為| k |。

　　2.對於雙曲線y=k/x ，若在分母上加減任意一個實數 ***即 y=k/***x±m***m為常數***，就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。***加一個數時向左平移，減一個數時向右平移***

　　對數函式

　　對數函式的一般形式為，它實際上就是指數函式 的反函式。因此指數函式裡對於a的規定，同樣適用於對數函式。

　　右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：

　　可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。

　　***1***對數函式的定義域為大於0的實數集合。

　　***2***對數函式的值域為全部實數集合。

　　***3***函式總是通過***1，0***這點。

　　***4***a大於1時，為單調遞增函式，並且上凸;a小於1大於0時，函式為單調遞減函式，並且下凹。

　　***5***顯然對數函式無界。

　　指數函式

　　指數函式的一般形式為，從上面我們對於冪函式的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得

　　如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。

　　可以看到：

　　***1*** 指數函式的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大於0，對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

　　***2*** 指數函式的值域為大於0的實數集合。

　　***3*** 函式圖形都是下凹的。

　　***4*** a大於1，則指數函式單調遞增;a小於1大於0，則為單調遞減的。

　　***5*** 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中***當然不能等於0***，函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

　　***6*** 函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。

　　***7*** 函式總是通過***0，1***這點。

　　***8*** 顯然指數函式無界。

　　奇偶性

　　注圖：***1***為奇函式***2***為偶函式

　　1.定義

　　一般地，對於函式f***x***

　　***1***如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f***-x***=-f***x***，那麼函式f***x***就叫做奇函式。

　　***2***如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f***-x***=f***x***，那麼函式f***x***就叫做偶函式。

　　***3***如果對於函式定義域內的任意一個x，f***-x***=-f***x***與f***-x***=f***x***同時成立，那麼函式f***x***既是奇函式又是偶函式，稱為既奇又偶函式。

　　***4***如果對於函式定義域內的任意一個x，f***-x***=-f***x***與f***-x***=f***x***都不能成立，那麼函式f***x***既不是奇函式又不是偶函式，稱為非奇非偶函式。

　　說明：①奇、偶性是函式的整體性質，對整個定義域而言

　　②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱，如果一個函式的定義域不關於原點對稱，則這個函式一定不是奇***或偶***函式。

　　***分析：判斷函式的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f***x***比較得出結論***

　　③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義

　　2.奇偶函式影象的特徵：

　　定理 奇函式的影象關於原點成中心對稱圖表，偶函式的圖象關於y軸或軸對稱圖形。

　　f***x***為奇函式《==》f***x***的影象關於原點對稱

　　點***x,y***→***-x,-y***

　　奇函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

　　偶函式 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

　　3.奇偶函式運算

　　***1***. 兩個偶函式相加所得的和為偶函式.

　　***2***. 兩個奇函式相加所得的和為奇函式.

　　***3***. 一個偶函式與一個奇函式相加所得的和為非奇函式與非偶函式.

　　***4***. 兩個偶函式相乘所得的積為偶函式.

　　***5***. 兩個奇函式相乘所得的積為偶函式.

　　***6***. 一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積為奇函式.

　　定義域

　　***高中函式定義***設A,B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f***x***和它對應，那麼就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函式，記作y=f***x***,x屬於集合A。其中，x叫作自變數，x的取值範圍A叫作函式的定義域;

　　值域

　　名稱定義

　　函式中，應變數的取值範圍叫做這個函式的值域函式的值域,在數學中是函式在定義域中應變數所有值的集合

　　常用的求值域的方法

　　***1***化歸法;***2***圖象法***數形結合***，

　　***3***函式單調性法，

　　***4***配方法，***5***換元法，***6***反函式法***逆求法***，***7***判別式法，***8***複合函式法，***9***三角代換法，***10***基本不等式法等

　　關於函式值域誤區

　　定義域、對應法則、值域是函式構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函式的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者隨時處於互相轉化之中***典型的例子是互為反函式定義域與值域的相互轉化***。如果函式的值域是無限集的話，那麼求函式值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時並不能奏效，還必須聯絡函式的奇偶性、單調性、有界性、週期性來考慮函式的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利於對定義域內函的理解，從而深化對函式本質的認識。

　　“範圍”與“值域”相同嗎?

　　“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函式值的集合***即集合中每一個元素都是這個函式的取值***，而“範圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合***即集合中的元素不一定都滿足這個條件***。也就是說:“值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。