初三二次函式知識點

　　二次函式知識點在初中數學中是十分重要的一個章節。今天小編就與大家分享：，希望對大家的學習有幫助!

　　一

　　I.定義與定義表示式

　　一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：y=ax^2+bx+c

　　***a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.***則稱y為x的二次函式。

　　二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函式的三種表示式

　　一般式：y=ax^2+bx+c***a，b，c為常數，a≠0***

　　頂點式：y=a***x-h***^2+k [拋物線的頂點P***h，k***]

　　交點式：y=a***x-x₁******x-x ₂*** [僅限於與x軸有交點A***x₁ ，0***和 B***x₂，0***的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:

　　h=-b/2a k=***4ac-b^2***/4a x₁,x₂=***-b±√b^2-4ac***/2a

　　III.二次函式的影象

　　在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象，可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸***即直線x=0***

　　2.拋物線有一個頂點P，座標為：P *** -b/2a ，***4ac-b^2***/4a ***當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時***即ab>0***，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時***即ab<0***，對稱軸在y軸右。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交於***0，c***

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數***x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a***

　　V.二次函式與一元二次方程

　　特別地，二次函式***以下稱函式***y=ax^2+bx+c，

　　當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程***以下稱方程***，即ax^2+bx+c=0

　　此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

　　1.二次函式y=ax^2，y=a***x-h***^2，y=a***x-h***^2 +k，y=ax^2+bx+c***各式中，a≠0***的圖象形狀相同，只是位置不同。

　　當h>0時，y=a***x-h***^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

　　當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a***x-h***^2 +k的圖象;

　　當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象，通過配方，將一般式化為y=a***x-h***^2+k的形式，可確定其頂點座標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

　　2.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點座標是***-b/2a，[4ac-b^2]/4a***.

　　3.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大.若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小.

　　4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點：

　　***1***圖象與y軸一定相交，交點座標為***0，c***;

　　***2***當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A***x₁，0***和B***x₂，0***，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　***a≠0***的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|

　　當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

　　當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0.

　　5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0***a<0***，則當x= -b/2a時，y最小***大***值=***4ac-b^2***/4a.

　　頂點的橫座標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱座標，是最值的取值.

　　6.用待定係數法求二次函式的解析式

　　***1***當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

　　y=ax^2+bx+c***a≠0***.

　　***2***當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a***x-h***^2+k***a≠0***.

　　***3***當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：y=a***x-x₁******x-x₂******a≠0***.

　　7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.

　　二

　　首先我們要學習二次函式，就應該先了解什麼叫做二次函式，一般來說，下圖所表示的形式一般就是二次函式：

　　在這裡我們需要注意的就是a是不等於0的，而b、c可以等於0。通過觀察二次函式我們可以發現，二次函式的等號的左邊是函式，而右邊是關於自變數X的二次等式，X的最高次數是2。而abc都是一個常數，其中，我們把a稱之為二次項係數，其不為零。而b是一次項係數，c是常數項。

　　二次函式最為基本的形似，就是當b、c都等於0的時候，這個時候我們可以看一下二次函式基本形式的一些相關性質，如下圖所示

　　無論是基本形式的二次函式，還是其他形式的二次函式，有一些知識點都是共同的，在我們學習二次函式的時候都會用到的。一個就是a的符號，因為a的符號確定了影象的開口方向是向上的還是向下的。

　　這裡需要給同學們一個建議，無論是學習二次函式還是其他什麼別的函式，學習函式最基本的就是畫影象。很多時候解題的時候，我們都可以通過所畫出的函式影象來解答題目，這種方法的好處就是簡單快捷，所以我們在學習函式的時候一定也要學習如何畫出函式的影象。

　　一般來說二次函式基本形式的頂點座標都是在原點，也就是***0，0***處，而完整形式的二次函式我們就可以通過常數項c來判斷。除了頂點座標，開口方向之外，二次函式影象還有一個很重要的地方就是對稱軸，因為二次函式是一個對稱影象，所以對稱軸的存在就十分重要。因此，當我們學習二次函式的時候一定要注意這三個方面的學習，就是開口方向、頂點座標以及對稱軸。