高二數學三角函式學習要點

　　數學數學是高考的三大必考主科之一，數學成績的好壞也將直接關係到你是否能夠考入理想的大學，高二數學也是整個高中數學學習承上啟下的一年，所以一定要下功夫學好數學。以下是小編為您整理的關於的相關資料，供您閱讀。

　　一、函式學習的幾個步驟

　　先送小詩一首

　　學函式

　　函式函式定義鋪路，式子擺出，再限制引數，

　　定義域優先，值域斷後，

　　影象是小名，性質是輔助，

　　拓展要灑脫，應用要把握好步驟，

　　學吧，學吧，請走出自己的路。

　　1、學習某個函式肯定是先學習定義，而定義一般是用函式式來定義的，並且定義式中的引數一般會有一定的限制。如：一次函式y=ax+b，a不為0。

　　2、定義域優先應該說所有的老師都明白，但是應用的時候就可能會忘記，事實上在方程與不等式的研究中也應該有“定義域”優先的原則。缺少了定義域就不是完整的函式的定義了。而函式的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫。但它是研究的重點，研究的方法也非常多，並且不同的函式研究的方法不一樣。

　　3、影象也是表示函式的一種方式，它直觀，用其研究性質或是直接解題會很方便。性質只是對函式的一種深入思考，研究時不能受到侷限。

　　4、拓展包括定義與性質，比如研究引數對函式的影響，值域中要研究最大最小值，奇偶性應該研究其它的對稱性等;函式應用題的思考步驟應該是：?是自變數，?是函式，什麼關係?，定義域怎麼樣?，……

　　5、談談函式定義中的引數對單調性的影響

　　各位朋友有沒有注意到這一點：

　　函式定義中的引數對函式的單調性產生直接的影響……

　　***1***一次函式：a>0時，單調增;a<0時，單調減;

　　***2***二次函式：a>0時，減後增;a<0時，增後減;

　　***3***三次函式：a>0時，一直增或是增減增;a<0時，一直減或是減增減;

　　***4***指數函式與對數函式：當0

　　二、三角函式學習的序曲

　　再送小詩一首

　　推廣角

　　角角角，銳角直角加鈍角，皆為圖形角;

　　有始有終旋轉角，有逆有順任意角，放入直角座標後，終邊確定解析角;

　　銳角鈍角是單區角，象限角為多區角，直角只是一個角，象限間角是多個角;

　　角角角，用度做單位太蹩腳，改用弧度才真正吹起函式的號角。

　　1、用平面內從一點發出的兩條射線所構成的圖形來定義角，是中學生最先學到的角的概念，這種定義下的角叫圖形角;

　　2、由平面內的一條確定的射線繞起點旋轉而形成的角，定義為旋轉角，開始的射線為角的始邊，終止的位置射線為終邊，旋轉角的範圍可以達到一週;

　　3、把上述的逆時針方向旋轉而成的角定義為正角，順時針方向旋轉而形成的角定義為負角，轉過的度數定義為角的大小，此時的角為任意角;

　　4、為了研究三角函式我們使任意角的始邊與x的非負半軸重合，這樣被確定的角我們***也許只有我自己***把它叫做解析角。此時一個終邊可以確定無限多個任意角;

　　5、用弧的長度與對應圓的半徑的比值來度量角，就是我們引入的弧度制，所以弧度就是用弧來度量的意思;

　　6、省略了角的弧度這個單位之後，角的大小就與實數產生了一一對應的關係，這為研究三角函式提供了必要的前提條件;

　　7、角的再發展

　　當角在平面上感覺有點鬱悶的時候，它就開始了新的旅程：

　　***1***異面直線所成的角;

　　***2***斜線與平面所成的角;

　　***3***二面角;

　　三、表示法中的過渡

　　一般來說，我們表示函式習慣於用y=f***x***表示，其中x表示自變數，y表示函式，f表示對應關係。那麼我們有沒有注意到，學習三角函式的過程中：

　　1、初中就學習了三角函式，但是沒有說什麼是自變數，什麼是函式。只是在直角三角形中，定義了銳角a的正弦、餘弦、正切。

　　2、高中把角推廣到任意角之後，給出三角函式的定義時，使用的角仍然為a，只是定義用解析角的終邊上的任意一點的座標和該點到原點的距離來定義***特別地，也可用終邊與單位圓的交點的座標定義***，知道這是為什麼嗎?

　　3、在研究三角函式的圖象與性質的時候，才把正弦函式的解析式寫成y=sinx，餘弦寫為y=cosx......

　　教學中，千萬不要忽略這一點，教材這樣處理是有它自已的道理的。

　　四、幾個定義的對照

　　1、初中學習了在直角三角形中定義銳角的三角函式，定義過程沒有任何理由，利用定義可以根據兩個特殊三角形記憶三個特殊角的三角函式值;

　　2、在直角座標系中，用角的終邊與單位圓的交點縱座標定義正弦，用橫座標定義角的餘弦，……，利用這個公式容易證明同角關係式，容易看出不同象限角的各個三角函式值的符號，也容易得到相關的誘導公式;

　　3、單位圓中的三角函式線也是三角函式的定義，只不過是用有向線段的數量來定義的，利用這個定義容易畫出三角函式的影象，解決一些比較大小的問題或是求三角函式值;

　　4、利用角的終邊上的任意一點的座標與該點到座標原點的距離來定義，這個定義是上述二者中所述定義的一般形式，可以用來解決一般的問題;

　　5、在整個三角函式定義的過程中，讓我們感覺到了學習的知識是在不斷地發展中的，知識的內在聯絡非常密切，應該體會同一性之中有著自己的特點。

　　五、同角關係式的運用

　　新教材中，重點學習兩個同角關係式，一個是平方關係的，另一個是商數關係的。兩個公式各有應用，運用時應該注意以下幾點：

　　1、平方關係可以完成正餘弦的互求，注意開方時應該有兩個平方根，所以在角未受到一定的限制時，應該仔細考慮結果的符號，而無限制時就應該討論了。

　　2、商數關係的最大應用是“弦切互化”。注意與“餘角餘函式”公式對應學習與結合運用。

　　六、誘導公式的理解

　　1、誘導公式在教材上佔了較大篇幅，從誘導公式***一***到誘導公式***六***，最後結果是：較差的學生死記硬背，學一個忘一個;中等的學生似懂非懂，會做一些簡單的題;優秀生學完之後，感覺太簡單了，不知道為什麼還要論述那麼久?你的學生是不是這樣呢?

　　2、有一個口訣：“奇變偶不變，符號看象限。”多數的學生都知道，但是知其然不知其所以然。所以，好多的學生不會用。追究其原因，仍然是不理解造成的。

　　3、這些公式的形式都是從一個三角函式轉化成另一個三角函式，可以同名也可以不同名。那麼，我們為什麼要轉化呢?求值?求角?還是?

　　4、複雜之中，有著一絲不變的線索，它是什麼呢?——“角的變化”。事實上是把終邊相同或是關於x軸、y軸或是座標原點對稱的角與角之間建立起來的等量關係。這些公式能把角從一個象限轉化到其它象限中，或者說是與其它象限中的某些相關角建立聯絡。我們把這種聯絡的起源選定，其它就都是利用上述公式“誘惑”與“引導”而來。在做題目的時候，可以有上述的體會。

　　5、例如：已知sinA=-1/2，A在第四象限，請把A角表示出來。熟練的老師或是學生，可能一下就可以看出，有一個特角-30度，再加上360度的整數倍就可以了。但不熟練的學生怎麼辦呢?用誘導的辦法就可以完成。第一步：在銳角中找一個角，使它的正弦值為1/2，那麼當然是30度了。第二步：把30度誘導到第四象限，可以就是-30度，也可以是360度減去30度，第三步：把第二步的角再加上360度的整數倍就可以了。如果想誘導到第二象限，只需用180度減;如果想誘導到第三象限，就用180度加就好了。

　　6、誘導公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”的正確性可以用“和差角公式”去驗證，sin***π/2-x***=sin***π/2***cosx-cos***π/2***sinx=cosx。輔助角公式配合單位圓，用數量積定義去理解，acosx+bsinx=***a,b***·***cosx,sinx***，對於學生進一步理解所學知識是非常有好處的。同時，我們也不能不看到，原來的思路與方法和公式可能解決的問題是不可代替的。

　　七、三角函式的影象與性質的深入思考1、三角函式影象的作法與其它函式的影象的作法相同，基本步驟應該是：

　　***1***確定函式定義域，值域;

　　***2***研究單調性與奇偶性等性質;

　　***3***取關鍵點列表描點;

　　***4***結合函式的變化速度與變化趨勢連線作圖;

　　2、與其它函式不同的就是週期性，體會最小正週期，與起點的位置無關;

　　3、三角函式線是三角函式的幾何定義，它把三角函式值準確的用有向線段的數量表示出來，這為準確描點提供了保障;

　　4、由於影象本身就是函式的定義的一種形式，所以對函式影象的研究就顯得非常的重要，而函式的性質都寫在函式的影象上，所以不必太追究性質是什麼、分幾條，而應該讓學生學會讀懂函式的影象語言，會運用函式的影象解題就可以了;

　　5、所謂深入思考就是體會函式=Asin***wx+q***+b中的各個引數對函式影象的影響，對性質的影響，這一點應該與其它函式對照研究;

　　6、關於正弦與餘弦函式影象與性質的再思考

　　***1***單調區間的長度為最小正週期長度的一半，單調區間的兩個端點是函式取到最值的點;

　　***2***函式影象與x軸***平衡位置***的交點都是它們的對稱中心，過最大或最小值點垂直於x軸***平衡位置所在的直線***的直線都是它們的對稱軸。相鄰的對稱中心或是兩個對稱軸之間的距離應該是週期的一半;

　　***3***兩個函式影象形狀相同，只是在座標系中的位置不同，它們左右位置差週期的1/4;

　　***4***對於函式y=Asin***wx+q***+b或y=Acos***wx+q***+b來說，對以上三條只需進行稍微的修改即可。

　　八、平移與伸縮變換的引申有好多的學生在平移與伸縮變換的時候會混淆，知其然不知所以然……。下面提出幾個問題，請各位朋友一起思考，你們在教學的時候是否對它們進行了研究?1、對於平移口訣：“左加右減，上加下減”的理解……左是x軸的負半軸，為什麼要加呢?右是x軸的正半軸，為什麼要減呢?上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負半軸也是一回事。2、對於左右平移與橫座標的伸縮變換，如果先後順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什麼呢?3、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應該是什麼樣的?關鍵在什麼地方?4、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關係如何?5、對函式的平移與對曲線的平移有區別嗎?6、平移函式的影象與座標變換怎樣進行區別?各有什麼優點?

　　***1***對於平移口訣：“左加右減，上加下減”的理解……左是x軸的負半軸，為什麼要加呢?右是x軸的正半軸，為什麼要減呢?上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負半軸也是一回事。

　　這個問題其實是這樣的：向左移，每點的橫座標都在減少，應該把橫座標減去移動的量。但是，你必須把函式式y=f***x***變成x=g***y***的形式之後完成。比如：你把函式影象向左平移了2個單位，那麼，函式式x=g***y***應該變為：x=g***y***-2。而這個式子變形之後就是：y=f***x+2***了。

　　別的還用說嗎?

　　***2***對於左右平移與橫座標的伸縮變換，如果先後順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什麼呢?

　　同問1的回答：把函式y=f***x***變形為x=g***y***，如果向右平移a個單位，則變為x=g***y***+a，再伸縮為原來的b倍，則變為x=b[g***y***+a]，解得：y=f[***1/b***x-a];如果橫座標先伸縮為原來的b倍，則變為x=bg***x***，再向右平移a個單位，則變為x=bg***y***+a，解得：y=f[1/b***x-a***]。顯然所得兩函式表示式不同……

　　7、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應該是什麼樣的?關鍵在什麼地方?

　　***1***如果把函式y=f***x***的影象向左平移a個單位，然後再把每個點的橫座標變為原來的b倍，則所得影象對應的函式解析式為：y=f***bx+a***;

　　***2***如果把函式y=f***x***的影象每個點的橫座標變為原來的b倍，然後再把影象向左平移a個單位，則所得影象對應的函式解析式為：y=f[b***x+a***];

　　仔細分析，左右的平移與每點橫座標的伸縮都是對自變數x而言的，只對x做相應的處理。

　　8、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關係如何?

　　左右的平移就是向量的橫座標，上下的平移就在於向量的縱座標，橫與縱座標的符號代表平移的方向。目標相同，路徑不同罷了。

　　9、對函式的平移與對曲線的平移有區別嗎?

　　函式本身就是方程，所以函式影象就是曲線，所以對曲線的平移方法可以直接用到函式中來。但是，對函式影象的平移口訣“左加右減”不可以直接用到曲線的平移之中……原因應該由上面的可以知道了。

　　10、平移函式的影象與座標變換怎樣進行區別?各有什麼優點?

　　這兩者都可以完成同樣的事，那就是簡化我們要研究的函式表達或是曲線的方程，優點也與些類似。各自的優點可以通過例題來體會，不多述了。

　　九、和角與差角公式的推導指引1、cos***A-B***

　　2、cos***A+B***