高中數學圓錐曲線論文

　　圓錐曲線問題是高中數學教學的重、難點。你知道怎麼寫有關圓錐曲線的小論文嗎?下面小編給你分享，歡迎閱讀。

　　篇一：高中數學圓錐曲線的教學研究

　　圓錐曲線問題是高中數學教學的重、難點.每年的高考中，都會涉及圓錐曲線問題，出題形式多樣，既有分值較低的選擇題和填空題，也有分值很高的大題.但是學生的得分率普遍不高.圓錐曲線教學的綜合性和系統性強.這不僅要求學生理解最基本的知識點，提高運算的速度和準確性，還要求學生能夠靈活運用數形結合的方法，找到解題的突破口，化簡變形，準確解題.本文主要分析研究高中數學圓錐曲線的教學現狀及其相應的對策.

　　一、高中數學圓錐曲線教學現狀

　　1.從教師角度分析

　　高中數學教學大綱中對圓錐曲線的教學目標、重難點知識的說明非常清楚.大多數教師都明白圓錐曲線的重要性，而且在課堂上講解圓錐曲線知識點和解題思路的時候很清晰.不過，學生數學基礎是有差異的.對於圓錐曲線的內容，有的學生接受起來容易，有的學生接受起來比較困難.這就要求教師在教學過程中要注重培養學生的學習興趣，不能單憑過去的教學經驗.圓錐曲線經常會用到數形結合思想，有的教師在教學時會告訴學生要運用數形結合的方法，但沒有清楚地告訴學生是如何想到用這種解題思想的.教師應當讓學生知其然，也要讓學生知其所以然.很多學生做不到舉一反三，就是因為在學習圓錐曲線知識的時候教師看重結果的正確而忽視瞭解題思路的理解.

　　考慮到圓錐曲線知識在高考中所佔的比重較大，幾乎每一年的高考題中都會有所涉及.因而，在教學過程中教師應當有意識地滲透，讓學生清楚圓錐曲線知識學習的重要意義;圓錐曲線與向量、概率等其他模組的數學知識有密切的關係.在教學過程中，教師也要重視學生其他模組數學知識的掌握，從巨集觀角度提高圓錐曲線教學的效率.

　　2.從學生角度分析

　　圓錐曲線的學習對學生的數學運算能力、推理能力、邏輯思維能力等各種數學能力的要求都非常高，對於很多學生來說，圓錐曲線學習起來的難度較大.有的學生對這部分知識有畏懼心理，思想上的負擔導致學習的困難加大;有的學生學習方法落後，在學習過程中，只是記憶圓錐曲線的相關概念、結論，或者模仿教材和教師的解題思路，但並沒有真正理解概念、結論的意義，沒有掌握知識之間內在的關聯，尤其是綜合運用知識的能力不夠，不會舉一反三.圓錐曲線的題型有很多種，教師在課堂上一般會對每一種題型都進行詳細的講解，但是有的學生沒有及時總結或者總結的時候流於形式，導致在考試中遇到圓錐曲線方面的題目失分.

　　二、提升高中數學圓錐曲線教學效率的措施

　　1.培養學生學習圓錐曲線的興趣

　　眾所周知，興趣是最好的老師.學生只有真正熱愛圓錐曲線的學習，才能事半功倍.所以，教師在圓錐曲線的教學中應當運用有效的方法激發學生的學習興趣.比如在課堂教學中，教師可以創設問題情境作為課堂匯入.學生都在新聞上了解過人造地球衛星運轉軌道，教師可以以此為切入點引入圓錐曲線的知識.學生髮現了圓錐曲線知識在生活中的運用，學習興趣就會大大提升.

　　2.教師要重視演示數學知識的形成過程

　　考試中的選擇題和填空題不必要求學生將解題過程詳細呈現出來，不管用何種解題方法，只要結果正確就可以.但是對於試卷中的大題，解題過程相當重要，清晰明瞭的解題過程是得分的關鍵，尤其是圓錐曲線的大題解題過程更是如此.因而，教師在進行圓錐曲線的教學時，不能只重視結果，而是應當重視從多方面來講解解題步驟，通過清晰的演示讓學生掌握圓錐曲線的知識.比如圓錐曲線中“多動點”的問題，很多學生不知如何理解，這時教師應當進行演示，讓學生知道怎樣運用引數求解法、怎樣畫圖等.

　　3.堅持學生的主體地位

　　教學活動中，教師是引領者，學生是主體，任何情況下學生的主體地位都不能被削弱.當學生學習圓錐曲線的知識遇到問題的時候，教師要認真解答;教學過程中，教師要了解學生的認知規律，鼓勵學生探索，讓學生帶著濃厚的興趣融入課堂;教師應當多肯定、讚揚學生，提高學生學習的主動性和積極性.有的圓錐曲線的題目，不只有一種解題方法，對於這些題目，教師應當培養學生自主探究的能力，比較不同的解題方法，在考試中運用準確性和解題速度都高的方法.

　　三、結語

　　高中圓錐曲線的難度較大，教師在教學的時候要把握好重難點，循序漸進，切忌急於求成，保證學生夯實基礎的前提下，提高難度.圓錐曲線教學過程中要因材施教，結合學生的接受能力來規劃教學的進度和難易程度，對於學生提出的問題，教師要耐心認真的解答.教師還應注重培養學生的數形結合思想，從而提高圓錐曲線教學的效率.

　　篇二：圓錐曲線學習中的思考

　　【摘 要】 根據教學中遇到的問題，嘗試運用數學教育心理學的有關知識分析學生在學習橢圓時的問題和特點，分析產生的可能原因，根據這些特點將其遷移到雙曲線的學習過程中。

　　【關鍵詞】 橢圓;雙曲線;相似性質

　　學生在學習橢圓和雙曲線時，教師可能會更多的關注學生在學習中普遍存在的問題，雖然這些問題是導致學生學習困難的因素之一，但我覺得，因為這些問題在學生中比較普遍，也可以認為是他們學習這部分知識時所表現出的一種共性。歸納起來主要有以下幾點：

　　1、對橢圓的第一定義記憶太深刻，甚至有些機械化，以至於對後面將要講的雙曲線第一定義記憶不清，容易忘記“絕對值”的作用，或者說對“雙曲線的一支”還是“兩支”深感困惑。

　　2、在推導橢圓的標準方程時，因為用到二次平方，雖然沒有任何技巧性，但因為運算量大，學生就感覺難度很大，我曾經統計過將近有一半的學生自己當堂無法推匯出結果。

　　3、對教材中最後要求的標準形式有些困惑，因為二次平方後出現的是整式形式，這應該說是比較好的形式了，為什麼還要畫蛇添足，寫成分式的形式呢?

　　4、研究橢圓的幾何性質時，學生會感覺發現容易，結論漂亮，但記憶困難，變化多端，運用時想不起來，就是想起來了，也不知道該用哪一條性質，不能靈活應用，甚至有的學生感覺太神奇，摸不著。

　　5、在學了雙曲線之後，學生能發現橢圓與雙曲線之間的關係比較密切，有關橢圓和雙曲線的計算問題在解決過程中也有類似之處，但普遍感覺雙曲線比橢圓難度大很多。

　　我在接受本科教育時雖然學習過一些有關公共教育學和心理學的基本知識，但對教育心理學領域幾乎沒有接觸。2010年在北京師範大學學習，院方給我們新疆班的教師們開了“數學教育心理學”這門課，時間很短，課時緊張，我也學的比較膚淺。但我還是想借助數學教育心理學的有關知識來嘗試分析一下以上的問題。

　　首先，有關橢圓的第一定義與雙曲線的第一定義。

　　“定義”屬於概念的教學，“數學教育心理學”中有關“概念”的理解是：概念是指哲學、邏輯學、心理學等許多學科的研究物件。概念通常包括四個方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。由於數學的研究物件是事物的數量關係和空間形式，而這種關係和形式脫離了事物的具體屬性，因此，數學概念有與此相對應的特點。學生的認知結構處於發展過程之中，他們的數學認知結構比較具體而簡單、數學知識比較貧乏，在學習新的數學知識時，作為“固著點”的已有知識往往很少或者不具備。

　　比如：學生在初中學習過圓的定義是“平面內到頂點的距離等於定長的點的軌跡”，此時涉及到的定點只有一個，定長就是所謂的“半徑”。而橢圓和雙曲線的第一定義中涉及到的定點有兩個，並且還有“距離之和”與“距離之差的絕對值”的問題。由圓的圖形容易聯想到橢圓，但雙曲線就比較困難。雖然初中學習過反比例函式，但這個內容也是難點，不太容易和雙曲線聯絡起來。其實，這就是所謂的“經驗”，它是概念學習的影響因素之一。

　　其次，有關用二次平方法化簡方程。

　　在推導橢圓和雙曲線的標準方程時，“化簡”是必須要過的一關，在這一過程中，用到“二次平方法”以達到去除根號的目的。這種方法應該是學生必備的一種數學技能。

　　數學技能是從數學知識掌握到數學能力形成和發展的中心環節，它分為“智慧技能”和“動作技能”，而“運算技能”是指能正確運用各種概念、公式、法則進行數學運算，做代數變換等。在此過程中正確運用“數學符號語言”也是必不可少的。在數學學習過程中，數學技能的形成非常重要，數學技能以數學知識的學習為載體，通過實際操作獲得動作經驗而逐漸形成。

　　根據學生的學習經歷，以往接觸比較多的是一次方程，比較複雜的二次函式也只是在一個字母中出現了二次方。但橢圓的方程中，x、y的次數都是二次，從形式上看就比較難，學生在心理接受程度上難。加之，學生雖然會用平方法去根式，但侷限在一次平方，像這樣的二次平方法不太適應，甚至懷疑自己做錯了。另外，由於我們學校是自治區重點中學，生源相對來說比較好，教師在授課時對學生的基礎和能力估計過高也是一個不容忽視的因素。

　　最後，橢圓與雙曲線的相關性質。

　　在教學中我發現，因為橢圓和雙曲線的第一定義、第二定義都有類似的部分，學生已經能夠感覺到二者的幾何性質應該也有相似的地方。我也試圖用橢圓的幾何性質引導學生類比得出雙曲線的相關性質，引導學生的思維自發的“遷移”，但對於那些比較簡單的、一般的性質學生可以自行推出。比如：橢圓中的特殊三角形、橢圓的焦半徑、橢圓的通徑等。而對於稍微複雜一些的性質，學生就有些束手無策了。

　　通過數學教育心理學的學習，我發現數學學習的遷移不是自動發生的，它受制於許多因素，其中最主要的有數學學習材料的因素、數學活動經驗的概括水平以及數學學習定勢。

　　1、遷移需要對新舊學習中的經驗進行分析、抽象，概括其中共同的經驗成分才能實現，因此，數學學習材料在客觀上要有相似性。心理學的研究表明，相似程度的大小決定著遷移效果和範圍的大小。

　　例如：橢圓和雙曲線的定義中都有兩個定點和一個定長，由這些條件推匯出的有關橢圓特殊三角形和焦半徑公式的相關性質，學生就比較容易類推到雙曲線的，還有可能在焦半徑的公式中發現：橢圓的焦半徑公式只有一個，而雙曲線要根據具體情況***左、右支;上、下支***區別對待。

　　又如：橢圓的幾何性質中有一條是：設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應於焦點F的橢圓準線於M、N兩點，則MF⊥NF;這條性質從敘述上比較長，學生可能直覺上認為推不出雙曲線的類似性質。實際上，只要教師給學生一些勇氣，鼓勵他們大膽猜想，容易得出：設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應於焦點F的雙曲線準線於M、N兩點，則MF⊥NF。再作出圖形證明即可。可以說，橢圓和雙去想的這條性質相似程度極高。 　　2、數學學習的遷移是一種學習中習得的數學活動經驗對另一種學習的影響，也就是已有經驗的具體化與新課題的類化過程或新、舊經驗的協調過程。因此，概括水平越低，遷移範圍越小，效果越差;反之，遷移的可能性就越大，效果也越好。

　　例如：在探究橢圓的幾何性質中有一條是：以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離;學生類比這條性質，可以得到雙曲線以焦點弦PQ為直徑的圓可能必與對應準線存在著某種關係。而圓與直線的位置關係不外乎有三種：相交、相離、相切。判斷圓與直線的位置關係有兩種常用的方法：一是用點到直線的距離判斷;一種是用方程的根的情況判斷。這些知識和技能學生是具備的，因此不難得出雙曲線的相關性質，即：以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交。

　　3、定勢現象是一種預備性反應或反應的準備，它是在連續活動中發生的。在活動過程中，先前活動經驗為後面的活動形成一種準備狀態。它使學生傾向於在學習時以一種特定的方式進行反應。由於定勢是關於選擇活動方向的一種傾向性，因此對遷移來說，定勢的影響既可以起促進作用也可以起阻礙作用。

　　例如：在橢圓的概念中說的是到兩定點的距離之和為定長的點的軌跡，而雙曲線則是到兩定點的距離之差的絕對值為定長的點的軌跡。由於思維定勢，容易把“絕對值”忘掉，從而丟失一支雙曲線。

　　鑑於本人所學有限，分析的可能不是很準確，我會在今後的教學中反覆思考，逐步改進。

　　通過以上的分析，我認為：橢圓和雙曲線的相關知識有許多共同的切入點，根據學生的學習特點，要抓準這些相似點，教師除了豐富的教學經驗外，如果還能運用一定的心理學知識，找到學生學習時的心理活動，可能會帶來更好的教學效果。

　　在全國推進素質教育的今天，在新一輪國家基礎教育課程改革實施之際，只關注教師“如何教”的問題顯然已經遠遠不夠，於是，對新的教材與學生新的學習方式的研究與探討就顯得十分迫切與必要。只有充分發揮數學教育的功能，全面提高年輕一代的數學素養，每一位數學教師才能為提高全民族素質，造就一代高質量的新型人才貢獻自己的一份力量。

　　參考文獻

　　[1]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師範大學出版社，2007.

　　[2]朱文芳.中學生數學學習心理學[M].浙江教育出版社，2005.

　　[3] ISBN978-7-107-18662-2，數學[S].人民教育出版社，2008.

　　篇三：淺談高考圓錐曲線中的存在性問題

　　摘 要：在新課標、新考綱和新考試說明的精神指導下，高考數學科解析幾何試題與以往大綱課程背景下考查形式和內容，有了顯著的變化，這些試題不論在考試評價、命題研究還是高考複習，都成為專家、教師探討的重點、熱點，也是高考命題改革的一塊試驗田.本文通過對近幾年高考數學解析幾何試題存在性問題的探究來揭示這些試題是如何貫徹課程標準，反應考試說明的意圖，進而思考教師在解析幾何的教學與高三複習策略。

　　關鍵詞：課程標準 數學高考 解析幾何 存在性問題 思考

　　前言

　　最近幾年的高考試題中，存在性問題出現的頻率非常高，存在性問題是一種具有開放性和發散性的問題，此類題目的條件和結論不完備，要求學生結合已有的條件進行觀察、分析、比較和概括，它對數學思想、數學意識及綜合運用數學方法的能力有較高的要求，特別是在解析幾何第二問中經常考到“是否存在這樣的點”的問題，也就是是否存在定值定點定直線定圓的問題。希望能夠為老師的教學、高考複習提供有益的思考.[1]

　　一、是否存在這樣的常數

　　例1：***2009福建理***已知AB分別為曲線 與軸的左、右兩個交點，直線I過點B，且與X軸垂直，S為I上異於點B的一點，連結AS交曲線C於點T.

　　***Ⅰ***若曲線C為半圓，點T為圓弧AB的三等分點，試求出點S的座標;

　　***II***如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在a，使得O，M，S三點共線?若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.

　　二、是否存在這樣的點

　　【命題立意】：第二問難度較大，是一個探究性的開放試題，判斷是否存在滿足題設的定點.解決此題要突破兩個關鍵：一是由圖形的幾何特徵，判斷出若定點存在，則必在 軸上，二是，題設要求“以PQ為直徑的圓恆過點M”應轉化為“ 對滿足一定關係的m，k恆成立”，這裡一定關係是指l與橢圓相切 . 本題主要考查運算求解能力、推理論證力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想、特殊與一般的思想.本題的亮點是體現代數方法對解決幾何問題的作用，同時體現圖形的幾何性質對代數運算的方向和運算量的減小的作用，在推理論證上，體現不同思維方式引發不同的解題方法，對區分不同數學思維層次的學生有很好的作用.

　　三、是否存在這樣的直線

　　【命題立意】：第二問是開放性問題，判斷滿足題設的直線是否存在從邏輯思維的角度考慮，假設直線l存在，則l應滿足三個條件① ***可求k***;②l與橢圓有公共點***可建立k與b的不等關係***;③l與OA的距離等於4***可建立k與b的相等關係***，而確定一條直線只需兩個條

　　件即可.因此，可利用l滿足其中兩個條件求出，再檢驗是否滿足第三個條件，從而得出l是否存在.這樣，本題有多種不同的解法.本題主要考查運算求解能力、推理論證能力，考查函式與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想.本題的亮點是，背景學生熟悉，試題***寬，可以用不同的想法和解法解決，使不同思維方式的學生都能做題，提供給學生充分展示自己的平臺.[3]

　　四、是否存在這樣的圓

　　【命題立意】：本題屬於探究是否存在的問題，主要考查了橢圓的標準方程的確定，直線與橢圓的位置關係直線與圓的位置關係和待定係數法求方程的方法，能夠運用解方程組法研究有關引數問題以及方程的根與係數關係

　　結束語：1.從教學的角度思考：在教學中要紮紮實實地講好直線、圓、圓錐曲線及其幾何性質等基礎知識.教學中要學生先通過畫圖，直觀地理解要解決的幾何問題的幾何意義，再轉化為代數問題求解，通過這個過程學生很容易體會數形結合的思想，體會解析幾何的方法;在研究圓錐曲線時，弄清楚曲線方程和參變數的幾何意義是第一位的，在此基礎上，運用代數方程的方法解決幾何問題，在解決幾何問題之後，要回到幾何意義的理解上.幾何是解決問題的出發點也是問題解決之後的落腳點，要避免讓學生陷入代數的恆等變形而不理解其幾何含義.在分析問題、解決問題中要突出幾何要素，注重幾何要素的代數化，要在幾何要素的引導下進行代數的恆等變形，要讓幾何圖形幫助我們思考問題、確定恆等變形的方向、簡化計算，體會幾何直觀給我們帶來的好處.

　　2.從高三複習備考的角度思考：①認真研讀《考試大綱》、《考試說明》明確高考對解析幾何基礎知識、基本技能、基本思想、基本方法的要求，使複習工作有的放矢;②重視解決解析幾何問題通法的訓練.從試題分析中可以看出，直線方程、圓的方程，圓錐曲線的方程和基本性質***基本量***是重點考查的知識點，一定要熟悉基本方法，而直線與圓錐曲線的位置關係及其引發的各類問題是主觀題的考查熱點，要通過典型例題的操作、講解，幫助學生總結解題思路，思考策略和通行通法，此外，要注意解析幾何與其他數學內容的交匯，加強知識整體性的認知，鍛鍊學生在對引數的運算處理和麵對繁雜的數學式子變形時應有的沉著心理和堅強毅力;

　　參考文獻：

　　[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準***實驗***[M].北京：人民教育出版社2003

　　[2福建省教育考試院編.2012年普通高等學校招生全國統一考試福建省數學考試說明[M].福建：福建教育出版社2012

　　[3]王尚志.數學教學研究與案例[M].北京：高等教育出版社2006