高中數學圓錐曲線解題技巧

　　解答數學圓錐曲線試題，需要較強的代數運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，推理轉換，並在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結果的完整。下面小編給你分享，歡迎閱讀。

　　

　　1.充分利用幾何圖形的策略

　　解析幾何的研究物件就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，並結合平面幾何知識，往往能減少計算量。

　　例：設直線3x+4y+m=0與圓x+y+x-2y=0相交於P、Q兩點，O為座標原點，若OP⊥OQ，求m的值。

　　2.充分利用韋達定理的策略

　　我們經常設出弦的端點座標但不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。

　　例：已知中心在原點O，焦點在y軸上的橢圓與直線y=x+1相交於P、Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=，求此橢圓方程。

　　3.充分利用曲線方程的策略

　　例：求經過兩已知圓C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交點，且圓心在直線l：2x+4y-1=0上的圓的方程。

　　4.充分利用橢圓的引數方程的策略

　　橢圓的引數方程涉及正、餘弦，利用正、餘弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題。這也就是我們常說的三角代換法。

　　例：P為橢圓+=1上一動點，A為長軸的右端點，B為短軸的上端點，求四邊形OAPB面積的最大值及此時點P的座標。

　　5.線段長的幾種簡便計算策略

　　***1***充分利用現成結果，減少運算過程。

　　求直線與圓錐曲線相交的弦AB長：把直線方程y=kx+b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax+bx+c=0的方程，方程的兩根設為x，x，判別式為△，則|AB|=•|x-x|=•，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。

　　例：求直線x-y+1=0被橢圓x+4y=16所截得的線段AB的長。

　　***2***結合圖形的特殊位置關係，減少運算。

　　在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由於圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可迴避複雜運算。

　　例：F、F是橢圓+=1的兩個焦點，AB是經過F的弦，若|AB|=8，求|FA|+|FB|的值。

　　***3***利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離。

　　例：點A***3，2***為定點，點F是拋物線y=4x的焦點，點P在拋物線y=4x上移動，若|PA|+|PF|取得最小值，求點P的座標。

　　高中數學圓錐曲線題型

　　1.中點弦問題

　　具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法***點差法***：設曲線上兩點為***x，y***，***x，y***，代入方程，然後兩方程相減，再應用中點關係及斜率公式，消去四個引數。

　　例：給定雙曲線x-=1，過A***2，1***的直線與雙曲線交於兩點P和P，求線段PP的中點P的軌跡方程。

　　2.焦點三角形問題

　　橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點F、F構成的三角形問題，常用正、餘弦定理。

　　例：設P***x，y***為橢圓+=1上任一點，F***-c，0***，F***c，0***為焦點，∠PFF=α，∠PFF=β。

　　***1***求證：離心率e=;

　　***2***求|PF|+|PF|的最值。

　　3.直線與圓錐曲線位置關係問題

　　直線與圓錐曲線的位置關係的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程後利用判別式，應特別注意數形結合的辦法。

　　例：拋物線方程y=p***x+1******p>0***，直線x+y=t與x軸的交點在拋物線準線的右邊。

　　***1***求證：直線與拋物線總有兩個不同交點。

　　***2***設直線與拋物線的交點為A、B，且OA⊥OB，求p關於t的函式f***t***的表示式。

　　4.圓錐曲線的有關最值問題

　　圓錐曲線中的有關最值問題，常用代數法和幾何法解決。若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用影象性質來解決。若命題的條件和結論體現明確的函式關係式，則可建立目標函式***通常利用二次函式，三角函式，均值不等式***求最值。下題中的***1***，可先設法得到關於a的不等式，通過解不等式求出a的範圍，即：“求範圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變數的函式，利用求函式的值域求出a的範圍。對於***2***，首先要把△NAB的面積表示為一個變數的函式，然後再求它的最大值，即“最值問題，函式思想”。

　　例：已知拋物線y=2px***p>0***，過M***a，0***且斜率為1的直線L與拋物線交於不同的兩點A、B，|AB|≤2p，***1***求a的取值範圍;***2***若線段AB的垂直平分線交x軸於點N，求△NAB面積的最大值。

　　5.求曲線的方程問題

　　***1***曲線的形狀已知，這類問題一般可用待定係數法解決。

　　例：已知直線L過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A***-1，0***和點B***0，8***關於L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。

　　***2***曲線的形狀未知，求軌跡方程。

　　例：已知直角座標平面上點Q***2，0***和圓C：x+y=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等於常數λ***λ>0***，求動點M的軌跡方程，並說明它是什麼曲線。

　　6.存在兩點關於直線對稱問題

　　在曲線上兩點關於某直線對稱問題，可按如下方法解題：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。當然也可利用韋達定理並結合判別式來解決。

　　例：已知橢圓C的方程+=1，試確定m的取值範圍，使得對於直線y=4x+m，橢圓C上有不同兩點關於直線對稱。

　　7.兩線段垂直問題

　　圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k•k==-1來處理或用向量的座標運算來處理。

　　例:已知直線l的斜率為k，且過點P***-2，0***，拋物線C:y=4***x+1***，直線l與拋物線C有兩個不同的交點。***1***求k的取值範圍;***2***直線l的傾斜角θ為何值時，A、B與拋物線C的焦點連線互相垂直。