數學積化和差公式大全

　　積化和差，指初等數學三角函式部分的一組恆等式。可以通過展開角的和差恆等式的手段來證明。 無論乘積項中的三角函式是否同名，化為和差形式時，都應是同名三角函式的和差。

　　公式

　　sinαsinβ=-[1][cos***α+β***-cos***α-β***]/2【注意等式右邊前端的負號】

　　cosαcosβ=[cos***α+β***+cos***α-β***]/2

　　sinαcosβ=[sin***α+β***+sin***α-β***]/2

　　cosαsinβ=[sin***α+β***-sin***α-β***]/2

　　這裡用到了sin***-α***=-sinα 即sin***α-β***= - sin***β-α***

　　證明

　　法1

　　根據尤拉公式，e^ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e ^I***a+b***=e^ia*e^ib=***cosa+isina******cosb+isinb***=cosacosb-sinasinb+i***sinacosb+sinbcosa***=cos***a+b***+isin***a+b***

　　所以cos***a+b***=cosacosb-sinasinb

　　sin***a+b***=sinacosb+sinbcosa

　　法2

　　積化和差恆等式可以通過展開角的和差恆等式的右手端來證明。

　　即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[***cosαcosβ-sinαsinβ***-***cosαcosβ+sinαsinβ***]

　　=-1/2[cos***α+β***-cos***α-β***]

　　其他的3個式子也是相同的證明方法。

　　***該證明法逆向推導可用於和差化積的計算，參見和差化積***

　　記憶方法

　　積化和差公式的形式比較複雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了特點各自的簡單記憶方法。

　　這一點最簡單的記憶方法是通過三角函式的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域應該 是

　　[-2,2]，而積的值域卻是[-1,1]，因此除以2是必須的。

　　也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式後，未抵消的兩項相同而造成有係數2，如：

　　cos***α-β***-cos***α+β***

　　=***cosαcosβ+sinαsinβ***-***cosαcosβ-sinαsinβ***

　　=2sinαsinβ

　　故最後需要除以2。