數學不等式的恆成立問題的解決方法

　　下面和小編一起來看看高中。

　　1、分離引數法

　　在不等式中求含引數範圍過程中，當不等式中的引數***或關於引數的代數式***能夠與其它變數完全分離出來並，且分離後不等式其中一邊的函式***或代數式***的最值或範圍可求時，常用分離引數法.

　　例1已知函式***為常數***是實數集上的奇函式，函式在區間上是減函式. ***Ⅰ***若對***Ⅰ***中的任意實數都有在上恆成立，求實數的取值範圍. 解析：由題意知，函式在區間上是減函式. 在上恆成立

　　注：此類問題可把要求的參變數分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函式，於是將問題轉化成新函式的最值問題：若對於取值範圍內的任一個數都有恆成立，則;若對於取值範圍內的任一個數都有恆成立，則.

　　2、數形結合法

　　如果不等式中涉及的函式、代數式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關係建立不等式求得引數範圍.

　　例3 已知函式若不等式恆成立，則實數的取值範圍是 .

　　解：在同一個平面直角座標系中分別作出函式及的圖象，由於不等式恆成立，所以函式的圖象應總在函式的圖象下方，因此，當時，所以故的取值範圍是

　　注：解決不等式問題經常要結合函式的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函式，利用函式影象的上、下位置關係來確定引數的範圍.利用數形結合解決不等式問題關鍵是建構函式，準確做出函式的圖象.如：不等式，在時恆成立，求的取值範圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設然後在同一座標系下準確做出這兩個函式的圖象，藉助圖象觀察便可求解.

　　3、最值法

　　當不等式一邊的函式***或代數式***的最值較易求出時，可直接求出這個最值***最值可能含有引數***，然後建立關於引數的不等式求解.

　　例4 已知函式

　　***Ⅰ***當時，求的單調區間;

　　***Ⅱ***若時，不等式恆成立，求實數的取值範圍. 解***Ⅱ***當時，不等式即恆成立.由於，，亦即，所以.令，則，由得.且當時，;當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，也就是函式在定義域上的最大值.因此要使恆成立，需要，所以的取值範圍為.

　　例5 對於任意實數x，不等式│x+1│+│x-2│>a恆成立，求實數a的取值範圍分析①：把左邊看作x的函式關係，就可利用函式最值求解. 解法1：設f***x***=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,***x≤1***3，***-12*** ∴f***x***min=3. ∴a<3.

　　分析②：利用絕對值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f***x***=│x+1│+│x-2│的最小值.

　　解法2：設f***x***=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│***x+1***-***x-2***│=3， ∴f***x***min=3. ∴a<3.

　　分析③：利用絕對值的幾何意義求解.

　　解法3：設x、-1、2在數軸上的對應點分別是P、A、B，則│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，當點P線上段AB上時，│PA│+│PB│=│AB│=3，當點P不線上段AB上時，│PA│+│PB│>3，因此不論點P在何處，總有│PA│+│PB│≥3，而當a<3時，│PA│+│PB│>a恆成立，即對任意實數x，不等式│x+1│+│x-2│>a恆成立.∴實數a的取值範圍為***-∞，3***.

　　點評：求"恆成立問題"中引數範圍，利用函式最值方便自然，利用二次不等式恆為正***負***的充要條件要分情況討論，利用圖象法直觀形象. 從圖象上直觀得到0

　　4、建構函式法

　　在解決不等式恆成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函式，即建構函式法，然後利用相關函式的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變數的數學問題中，需要確定合適的變數和引數，從而揭示函式關係，使問題更加面目更加清晰明瞭，一般來說，已知存在範圍的量視為變數，而待求範圍的量視為引數.例如;

　　例1 已知不等式對任意的都成立，求的取值範圍.

　　解：由移項得:.不等式左側與二次函式非常相似，於是我們可以設則不等式對滿足的一切實數恆成立對恆成立.當時，即

　　解得故的取值範圍是.

　　評註：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關於的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折;若轉換一下思路，把待求的x為引數，以為變數，令則問題轉化為求一次函式***或常數函式***的值在內恆為負的問題，再來求解引數應滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了。