高中數學不等式的恆成立問題

　　不等式恆成立的問題既含引數又含變數，往往與函式、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點. 考題通常有兩種設計方式：一是證明某個不等式恆成立，二是已知某個不等式恆成立，求其中的引數的取值範圍.解決這類問題的方法關鍵是轉化化歸，通過等價轉化可以把問題順利解決，下面我就結合自己記得教學經驗談談不等式的恆成立問題的處理方法。

　　一、建構函式法

　　在解決不等式恆成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函式，即建構函式法，然後利用相關函式的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變數的數學問題中，需要確定合適的變數和引數，從而揭示函式關係，使問題更加面目更加清晰明瞭，一般來說，已知存在範圍的量視為變數，而待求範圍的量視為引數.例如;

　　例1 已知不等式對任意的都成立，求的取值範圍.

　　解：由移項得:.不等式左側與二次函式非常相似，於是我們可以設則不等式對滿足的一切實數恆成立對恆成立.當時，即

　　解得故的取值範圍是.

　　評註：此類問題常因思維定勢，學生易把它看成關於的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折;若轉換一下思路，把待求的x為引數，以為變數，令則問題轉化為求一次函式***或常數函式***的值在內恆為負的問題，再來求解引數應滿足的條件這樣問題就輕而易舉的得到解決了。

　　二、分離引數法

　　在不等式中求含引數範圍過程中，當不等式中的引數***或關於引數的代數式***能夠與其它變數完全分離出來並，且分離後不等式其中一邊的函式***或代數式***的最值或範圍可求時，常用分離引數法.

　　例2 已知函式***為常數***是實數集上的奇函式，函式在區間上是減函式. ***Ⅰ***若對***Ⅰ***中的任意實數都有在上恆成立，求實數的取值範圍. 解析：由題意知，函式在區間上是減函式. 在上恆成立

　　注：此類問題可把要求的參變數分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函式，於是將問題轉化成新函式的最值問題：若對於取值範圍內的任一個數都有恆成立，則;若對於取值範圍內的任一個數都有恆成立，則. 三、數形結合法

　　如果不等式中涉及的函式、代數式對應的圖象、圖形較易畫出時，可通過圖象、圖形的位置關係建立不等式求得引數範圍.

　　例3 已知函式若不等式恆成立，則實數的取值範圍是 .

　　解：在同一個平面直角座標系中分別作出函式及的圖象，由於不等式恆成立，所以函式的圖象應總在函式的圖象下方，因此，當時，所以故的取值範圍是

　　注：解決不等式問題經常要結合函式的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個函式，利用函式影象的上、下位置關係來確定引數的範圍.利用數形結合解決不等式問題關鍵是建構函式，準確做出函式的圖象.如：不等式，在時恆成立，求的取值範圍.此不等式為超越不等式，求解時一般使用數形結合法，設然後在同一座標系下準確做出這兩個函式的圖象，藉助圖象觀察便可求解. 四、最值法

　　當不等式一邊的函式***或代數式***的最值較易求出時，可直接求出這個最值***最值可能含有引數***，然後建立關於引數的不等式求解. 例4 已知函式

　　***Ⅰ***當時，求的單調區間;

　　***Ⅱ***若時，不等式恆成立，求實數的取值範圍. 解***Ⅱ***當時，不等式即恆成立.由於，，亦即，所以.令，則，由得.且當時，;當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，也就是函式在定義域上的最大值.因此要使恆成立，需要，所以的取值範圍為.

　　例5 對於任意實數x，不等式│x+1│+│x-2│>a恆成立，求實數a的取值範圍分析①：把左邊看作x的函式關係，就可利用函式最值求解. 解法1：設f***x***=│x+1│+│x-2│ =-2x+1,***x≤1***3，***-12*** ∴f***x***min=3. ∴a<3.

　　分析②：利用絕對值不等式│a│-│b│<│a±b│<│a│+│b│求解f***x***=│x+1│+│x-2│的最小值.

　　解法2：設f***x***=│x+1│+│x-2│， ∵│x+1│+│x-2│≥│***x+1***-***x-2***│=3， ∴f***x***min=3. ∴a<3.

　　分析③：利用絕對值的幾何意義求解.

　　解法3：設x、-1、2在數軸上的對應點分別是P、A、B，則│x+1│+│x-2│=│PA│+│PB│，當點P線上段AB上時，│PA│+│PB│=│AB│=3，當點P不線上段AB上時，│PA│+│PB│>3，因此不論點P在何處，總有│PA│+│PB│≥3，而當a<3時，│PA│+│PB│>a恆成立，即對任意實數x，不等式│x+1│+│x-2│>a恆成立.∴實數a的取值範圍為***-∞，3***.

　　點評：求"恆成立問題"中引數範圍，利用函式最值方便自然，利用二次不等式恆為正***負***的充要條件要分情況討論，利用圖象法直觀形象. 從圖象上直觀得到0

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