初二數學等腰三角形知識點解析

　　等腰三角形***isosceles triangle***，指兩邊相等的三角形，相等的兩個邊稱為這個三角形的腰。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。今天小編將與大家分享：初二數學等腰三角形相關知識點解析。具體內容如下：
 

　　等腰三角形性質：

　　***1***具有一般三角形的邊角關係

　　***2***等邊對等角;***3***底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合;

　　***4***是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線;***5***底邊小於腰長的兩倍並且大於零，腰長大於底邊的一半;***6***頂角等於180°減去底角的兩倍;***7***頂角可以是銳角、直角、鈍角，而底角只能是銳角.

　　等腰三角形分類:可分為腰和底邊不等的等腰三角形及等邊三角形.
 

　　等邊三角形性質：

　　①具備等腰三角形的一切性質。

　　②等邊三角形三條邊都相等，三個內角都相等並且每個都是60°。

　　5. 等腰三角形的判定：

　　①利用定義;②等角對等邊;
 

　　等邊三角形的判定：

　　①利用定義：三邊相等的三角形是等邊三角形

　　②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

　　含30°銳角的直角三角形邊角關係:在直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等於斜邊的一半。

　　三角形邊角的不等關係;長邊對大角，短邊對小角;大角對長邊，小角對短邊。

 

　　等腰三角形的分類：
 

　　等腰直角三角形

　　1、定義

　　有一個角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一種特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性質，同時又具有所有直角三角形的性質。

　　2、關係

　　等腰直角三角形的邊角之間的關係 ：

　　⑴三角形三內角和等於180°。

　　⑵三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。

　　⑶三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。

　　⑷三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊。

　　⑸在同一個三角形內，等邊對等角，等角對等邊。

　　3.四條特殊的線段：角平分線，中線，高，中位線。

　　⑴三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心，它是三角形內切圓的圓心，它到各邊的距離相等。

　　⑵三角形的外接圓圓心，即外心，是三角形三邊的垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。

　　⑶三角形的三條中線的交點叫三角形的重心，它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的兩倍。

　　⑷三角形的三條高或它們的延長線的交點叫做三角形的垂心。

　　⑸三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的二分之一。

　　***6***三角形斜邊上的高等於斜邊的一半。

　　備註：

　　①三角形的內心、重心都在三角形的內部 .

　　②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

　　③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上***直角三角形的垂心為直角頂點，外心為斜邊中點***。

　　④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。
 

　　黃金三角形

　　1.名稱定義

　　所謂黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值。對應的還有黃金矩形等。

　　2.黃金三角形的分類

　　黃金三角形分兩種：

　　一種是等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°;這種三角形既美觀又標準。這樣的三角形的底與一腰之長之比為黃金比：***√5-1***/2。

　　另一種也是等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°;這種三角形一腰與底邊之長之比為黃金比：***√5-1***/2。

　　3.黃金三角形的特徵

　　黃金三角形是一個等腰三角形，它的頂角為36°，每個底角為72°，它的腰與它的底成黃金比。當底角被平分時，角平分線分對邊也成黃金比，並形成兩個較小的等腰三角形。這兩三角形之一相似於原三角形，而另一三角形可用於產生螺旋形曲線。

　　黃金三角形的一個幾何特徵是：它是唯一一種能夠由5個與其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

　　把五個黃金三角形稱為“小三角形”，拼成的相似黃金三角形稱為“大三角形”。則命題可以理解為：五個小三角形能夠不重疊又不超出地充滿大三角形。要滿足這種填充，必要條件之一是大三角形的每條邊都可以由若干條小三角形的邊相加而成。

　　根據定義，第一種黃金三角形是腰與底的比值為***√5+1***/2的等腰三角形，頂角為36°，底角為72°。

　　設小三角形的底為a，則腰為b=***√5+1***a/2，因為大三角形的面積為小三角形的5倍，則大三角形的邊長

　　為小三角形對應邊長的√5倍，即大三角形的底為A=√5 a，腰為B=√5 ****√5+1***a/2=***√5+5***a/2。

　　大三角形的腰B與小三角形邊的關係滿足：B=2a+b。

　　而大三角形的底A與小三角形邊的關係可列舉如下：

　　2ab

　　可見大三角形底邊的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超地來填充。故命題錯。

　　另外一種黃金三角形是腰與底的比值為***√5-1***/2的等腰三角形，頂角為108°，底角為36°。

　　設小三角形的底為a，則腰為b=***√5-1***a/2。

　　同樣可以證明：

　　A=2b+a

　　2b

　　a

　　可見大三角形腰的鄰近區域無法由小三角形不重疊又不超出地填充***圖2***。故命題錯。

　　事實上，勾為a，股為b=2a的;直角三角形可以滿足命題要求。

　　顯然，弦c=√a2+b2 =√5 a。

　　三角形的對應邊：

　　A=√5 a=c，

　　B=2A=2c，

　　C=√5 ****√5a***=5a=2b+a 。

　　滿足上述必要條件。是否成立還要驗證，結果是對的。本三角形是否唯一滿足命題還不清楚。

　　頂角36°的黃金三角形按任意一底角的角平分線分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個的2倍。頂角是108°的黃金三角形把頂角一個72°和一個36°的角，這條分線也把黃金三角形分成兩個小等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角也是另一個的2倍。