問題引導課堂教學
一、教學目標的確定
課堂教學設計應從教學目標設計開始，一堂數學課的設計，從選擇教學內容、方式、方法、結構和手段，到反饋矯正等都離不開這堂課的教學目標，教學目標對整個教學過程有導向、激勵、評價的功能，教學成敗很大程度上取決於教學目標是否準確。因此，摘好教學目標的決策，是完成整個課堂教學設計的首要任務。
我對“中學數學核心概念結構體系及教學設計研究與實踐”這一課題很感興趣。自2006年起開始探討研究，先後確定了教學設計案例的框架結構和具體內容，在不斷嘗試寫教學設計的基礎上對教學設計的基本結構做了進一步的修改完善。之後用課堂實踐比較好的設計，圍繞課堂教學目標按照要求的框架結構和具體內容重新編寫，使自己對這一課題的研究與實踐不斷深入不斷感悟。
“關於教學設計案例的框架結構和內容，教學過程設計”中談到：“教學過程的設計一定要建立在前面諸項分析的基礎上，根據教學目標做到前後呼應。”
課堂教學設計本著提高課堂效率，要強調教學過程的內在邏輯線索，這一線索的構建可以從數學概念和思想方法的發生發展過程（基於內容解析）、學生數學思維過程（基於學習行為分析）兩個方面的融合來完成。
課堂教學過程設計還是以“問題串”的方式為主。“問題引導學習”應當成為一個教學原則。但是，不要把例題、練習等都呈現為“問題”。例題就是例題，練習就是練習。這裡，“問題”的功能主要是為了引導學生理解和探究概念的本質。好問題的標準有兩個：第一，體現當前學習內容的本質，並且要把更多的注意力放在思想方法的引導上；第二，學生“跳一跳夠得著”，即學生經過適度努力思考才能完成。
三、課堂教學設計案例
例1 在推導梯形面積公式的教學設計中，可以設計如下問題：
（1）我們知道，長方形面積等於“長×寬”。你能回憶一下，我們是如何利用長方形面積得到平行四邊形面積和三角形面積的嗎？
（2）根據上述思想方法，如何利用已有的面積公式求出梯形的面積公式？
上述問題中，教學目標是掌握梯形面積公式，第（1）問有長方形的面積公式喚起學生記憶中已有的推導面積公式的核心思想，即利用割補法，將待求面積公式化歸為已知的面積公式；第（2）問，由於梯形面積可以化歸為矩形、平行四邊形、三角形的面積等，因此問題只注重了知識的聯絡性和思想方法的引導，比較寬泛，不限制學生的思路，學生可以通過自己的思維設計出不同的推導過程。相信在這樣的問題的引導下，學生可以通過獨立探究得出正確結論。
問題的提出一定要把握好度，同時又要“大器”，不要問得太瑣碎，不要在細枝末節上進行糾纏。
例2 《直線的傾斜角和斜率》中第一環節——找到在平面直角座標系中確定一條直線的條件，我進行了這樣的教學設計：
問題1 對於平面直角座標系內的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？
（教學目標：引導學生複習初中學過的相關知識，尋找本課時學習內容的固著點、生長點。）
預設的回答：兩點確定一條直線。
啟發引導：（這個地方比較難處理，怎麼就能讓它自然呢？）點的個數能否改變？如果不能改變，能否再增加其它條件，使點的個數改變？
預設的回答1：增加點，如三個點，這時必須增加條件——這三個點共線，顯然與問題矛盾。
預設的回答2：減少點，即一個點，可知過一個點的直線有無數條。
追問：如何區分過一點的這一直線族呢？
預設的回答：除了再選擇一點的辦法，那就是依據直線的傾斜程度的不同。
答案：確定一條直線的位置的條件組合是：
兩個點，或者一個點和直線的傾斜程度。並且每組條件中的兩個條件缺一不可。
根據一段課堂教學過程整理的錄影如下：
師：先來看這樣一個問題：在座標系下，這條直線用什麼條件確定？（課件出示字幕：問題1：如圖，對於平面直角座標系內的一直線l，你認為它的位置由哪些條件確定？）
生：兩點。
師：假定把一點擦除，只剩下一點，那麼這條直線的位置還確定嗎？
師：不確定。也就是過P點可能——？對無數條直線。無數條直線說明他們是不一樣的，不一樣的直線我們要試著找它們的區別。（課件出示字幕：問題2：觀察過點P1的不同直線，你認為它們的區別在哪裡？）
生：它們的傾斜角不同。
師：那麼你能回答一下這傾斜角是哪個角呢？
生：這條線和x的正半軸所成的角
師：從直觀角度來看是相對於x的傾斜程度不一樣，每一條直線對應於x軸都有一個傾斜程度……如何表示這個傾斜程度？（生沒有反應）用一個什麼量來表示這個傾斜程度啊？（（課件出示字幕：問題3：在直角座標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，那麼可以用一個什麼幾何量來反映一條直線與x軸的傾斜程度呢？）（學生沒反應）
師：那麼其實呢，剛才這個同學已經回答了，就是什麼不一樣？
生：傾斜角。
師：相對x軸所成的角度不一樣，對不對？她剛剛回答的時候說傾斜角是哪個角啊？
生：直線與x軸所成的角。
師（不等生說完）：直線與x軸正方向。現在看看這個圖，直線與x軸正方向所成的角有幾個？兩個？哪麼傾斜角能說兩個？一個？怎樣修改一下？
生：x軸的正半軸還有在y軸正半軸那一方向。
師：是上面。也就是直線l向上方向。
由此案例可以看到，雖然在課件中只出示了兩個問題，但是教師在實際教學時提問的次數卻大於2。這說明兩個問題：其一，在進行教學設計時，要有充分的預設，包括對主要問題進行補充的追問；其二，再充分的預設也不可能囊括了實際的生成，所以在實際教學時要機智敏銳地捕捉問題，提出問題，推進主幹問題的解決。但是在教學過程中應該追求減少問題的數量，使學生的活動能主動、自覺地進行，通過解決問題更大程度的提高學生的學習能力和效率呢？應該努力使設計的問題完整，具有任務性、驅動性，而不是隻涉及所要完成任務中的某個步驟或幾個步驟。
四、實施課堂教學設計中出現的問題
從上面的案例，我們可以發現課堂實踐與教學設計中也發現一些需要改進之處，關鍵是問題的設計和實施。
設計上述問題關鍵是依據教材中設計的“思考”欄目，如果不能深刻理解這個欄目設計的意義，要完成的任務，要解決的問題，那麼在設計問題時就談不上對教材的二度創作，很可能是適得其反。因此教學設計的基礎是對教材的真正理解。
設計問題串是基礎，課堂的實施才是真正的關鍵。在課堂上提出問題之後，給學生多少思考的時間？如果學生對所提的問題不知所措時，教師該如何降低臺階給與幫助？如果學生一語道破這個問題的答案，教師又該如何操作？如果學生的思路與教師設計的思路不同教師該如何調整？等等。
在《直線的傾斜角和斜率》一節課的教學設計中老師設計了8個問題，在實際教學過程中一共問了約60個問題，按照一節課45 分鐘，那麼每45秒鐘就要提出一個問題。這三個資料中透露出的資訊是什麼呢？
第一，教學的設計和實施之間還存在一定的距離，實施過程中不能很好的執行教學設計，沒有使這種設計真正轉化為行動。
第二，教學設計中的問題沒有完全地體現了教學內容，所以在實際教學時還要進行大量的補充；
第三，提問的間隔時間這麼短，學生思考的空隙在哪裡呢？能提些怎樣的問題呢？
觀察課堂活動可見，之所以提問間隔短原因有二：
第一，問題小，沒有“跳一跳摘果子”的效果，學生回答問題的形式主要是填空式的，而沒有完成任務式的。
第二，當教師提出一個問題學生沒有及時回答時，教師沒有給學生足夠的思考時間，沒有耐心地等待，而是急著進行重複或提示。
在課堂上老師提出問題之後應該給學生足夠的思考時間，要“捨得”，要“等的起”。除沒有足夠的時間思考外，學生對老師的提問不知所措的原因還有可能是：
第一，問題表述不清楚、太寬泛或不具有可操作性，致使學生無從思考、回答；
第二，問題超出了學生的最近發展區，學生“跳起來也夠不著”。對於這些情況的處理正是體現或考驗教師駕馭課堂能力之時，教師應該及時判明原因進行調整，而不是強拉硬拽或者進行所謂的啟發。
課堂實施中這種“小問題現象”會導致學生不能進行真正的解決問題活動，學生活動思維含量低；學生的學習過程完全被老師控制，只能跟著教師亦步亦趨；問題不能引導學習，反而成為了學生的柺杖或阻礙，甚至束縛了學生的思維。
問題設計要給學生創造獨立思考的條件，營造積極探索的氛圍，實施設計的過程要給學生充足的時間和足夠的空間。真正實現“問題引導學習”這一原則除要在問題設計上下功夫，注意實施問題設計的策略，更重要的還是對教學內容和學生認知規律的理解，歸根結底是要抓住數學的核心概念和概念的核心。
五、課堂教學設計的操作策略
通過上面的分析和仔細研究，從這幾次會議紀要中可以提煉出對教學過程設計中的問題設計的具體要求是：
１．問題應該設計在學生的最近發展區之內，把握好“度”，達到“跳一跳摘果子”的效果；
２．問題設計應該能達到啟發學生思維的作用，可以有知識聯絡性和思想方法類比的引導，但是不能限制學生的思維，以使學生通過解決問題串達到對所學內容的理解；
３．問題設計要圍繞核心概念和概念的核心，不要在細枝末節上糾纏；
４．問題設計要體現任務驅動性，能促進學生主動的、“自動化”的思考，要“大器”，不要太瑣碎，以免形成學生對老師“亦步亦趨”的依賴；
５．完成問題之後要有提煉、概括、引申、發展，特別是對核心概念和數學思想的點撥；
６．問題串之間有內在的邏輯線索將之串聯，這個線索就是：數學概念和思想方法的發生發展過程與學生數學思維過程兩個方面的融合。
不論要求有多少條，其終極的目標是“問題引導學習”，問題設計因人而異，因課而異，靈活多變，但是它們變化的目的是引導學習。
課堂設計是課堂教學的前提，以“問題串”的方式呈現，學生是在思考問題中發揮自己的能動性，積極思考，培養學生的自主學習能力，教師以問題引導，靈活多變，要面對課堂中發生的不容情況，只有兩者完美的結合好，配合得當，才能是教學達到理想的效果。
課堂教學設計應從教學目標設計開始，一堂數學課的設計，從選擇教學內容、方式、方法、結構和手段，到反饋矯正等都離不開這堂課的教學目標，教學目標對整個教學過程有導向、激勵、評價的功能，教學成敗很大程度上取決於教學目標是否準確。因此，摘好教學目標的決策，是完成整個課堂教學設計的首要任務。
我對“中學數學核心概念結構體系及教學設計研究與實踐”這一課題很感興趣。自2006年起開始探討研究，先後確定了教學設計案例的框架結構和具體內容，在不斷嘗試寫教學設計的基礎上對教學設計的基本結構做了進一步的修改完善。之後用課堂實踐比較好的設計，圍繞課堂教學目標按照要求的框架結構和具體內容重新編寫，使自己對這一課題的研究與實踐不斷深入不斷感悟。
“關於教學設計案例的框架結構和內容，教學過程設計”中談到：“教學過程的設計一定要建立在前面諸項分析的基礎上，根據教學目標做到前後呼應。”
課堂教學設計本著提高課堂效率，要強調教學過程的內在邏輯線索，這一線索的構建可以從數學概念和思想方法的發生發展過程（基於內容解析）、學生數學思維過程（基於學習行為分析）兩個方面的融合來完成。
課堂教學過程設計還是以“問題串”的方式為主。“問題引導學習”應當成為一個教學原則。但是，不要把例題、練習等都呈現為“問題”。例題就是例題，練習就是練習。這裡，“問題”的功能主要是為了引導學生理解和探究概念的本質。好問題的標準有兩個：第一，體現當前學習內容的本質，並且要把更多的注意力放在思想方法的引導上；第二，學生“跳一跳夠得著”，即學生經過適度努力思考才能完成。
三、課堂教學設計案例
例1 在推導梯形面積公式的教學設計中，可以設計如下問題：
（1）我們知道，長方形面積等於“長×寬”。你能回憶一下，我們是如何利用長方形面積得到平行四邊形面積和三角形面積的嗎？
（2）根據上述思想方法，如何利用已有的面積公式求出梯形的面積公式？
上述問題中，教學目標是掌握梯形面積公式，第（1）問有長方形的面積公式喚起學生記憶中已有的推導面積公式的核心思想，即利用割補法，將待求面積公式化歸為已知的面積公式；第（2）問，由於梯形面積可以化歸為矩形、平行四邊形、三角形的面積等，因此問題只注重了知識的聯絡性和思想方法的引導，比較寬泛，不限制學生的思路，學生可以通過自己的思維設計出不同的推導過程。相信在這樣的問題的引導下，學生可以通過獨立探究得出正確結論。
問題的提出一定要把握好度，同時又要“大器”，不要問得太瑣碎，不要在細枝末節上進行糾纏。
例2 《直線的傾斜角和斜率》中第一環節——找到在平面直角座標系中確定一條直線的條件，我進行了這樣的教學設計：
問題1 對於平面直角座標系內的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？
（教學目標：引導學生複習初中學過的相關知識，尋找本課時學習內容的固著點、生長點。）
預設的回答：兩點確定一條直線。
啟發引導：（這個地方比較難處理，怎麼就能讓它自然呢？）點的個數能否改變？如果不能改變，能否再增加其它條件，使點的個數改變？
預設的回答1：增加點，如三個點，這時必須增加條件——這三個點共線，顯然與問題矛盾。
預設的回答2：減少點，即一個點，可知過一個點的直線有無數條。
追問：如何區分過一點的這一直線族呢？
預設的回答：除了再選擇一點的辦法，那就是依據直線的傾斜程度的不同。
答案：確定一條直線的位置的條件組合是：
兩個點，或者一個點和直線的傾斜程度。並且每組條件中的兩個條件缺一不可。
根據一段課堂教學過程整理的錄影如下：
師：先來看這樣一個問題：在座標系下，這條直線用什麼條件確定？（課件出示字幕：問題1：如圖，對於平面直角座標系內的一直線l，你認為它的位置由哪些條件確定？）
生：兩點。
師：假定把一點擦除，只剩下一點，那麼這條直線的位置還確定嗎？
師：不確定。也就是過P點可能——？對無數條直線。無數條直線說明他們是不一樣的，不一樣的直線我們要試著找它們的區別。（課件出示字幕：問題2：觀察過點P1的不同直線，你認為它們的區別在哪裡？）
生：它們的傾斜角不同。
師：那麼你能回答一下這傾斜角是哪個角呢？
生：這條線和x的正半軸所成的角
師：從直觀角度來看是相對於x的傾斜程度不一樣，每一條直線對應於x軸都有一個傾斜程度……如何表示這個傾斜程度？（生沒有反應）用一個什麼量來表示這個傾斜程度啊？（（課件出示字幕：問題3：在直角座標系中，任何一條直線與x軸都有一個相對傾斜度，那麼可以用一個什麼幾何量來反映一條直線與x軸的傾斜程度呢？）（學生沒反應）
師：那麼其實呢，剛才這個同學已經回答了，就是什麼不一樣？
生：傾斜角。
師：相對x軸所成的角度不一樣，對不對？她剛剛回答的時候說傾斜角是哪個角啊？
生：直線與x軸所成的角。
師（不等生說完）：直線與x軸正方向。現在看看這個圖，直線與x軸正方向所成的角有幾個？兩個？哪麼傾斜角能說兩個？一個？怎樣修改一下？
生：x軸的正半軸還有在y軸正半軸那一方向。
師：是上面。也就是直線l向上方向。
由此案例可以看到，雖然在課件中只出示了兩個問題，但是教師在實際教學時提問的次數卻大於2。這說明兩個問題：其一，在進行教學設計時，要有充分的預設，包括對主要問題進行補充的追問；其二，再充分的預設也不可能囊括了實際的生成，所以在實際教學時要機智敏銳地捕捉問題，提出問題，推進主幹問題的解決。但是在教學過程中應該追求減少問題的數量，使學生的活動能主動、自覺地進行，通過解決問題更大程度的提高學生的學習能力和效率呢？應該努力使設計的問題完整，具有任務性、驅動性，而不是隻涉及所要完成任務中的某個步驟或幾個步驟。
四、實施課堂教學設計中出現的問題
從上面的案例，我們可以發現課堂實踐與教學設計中也發現一些需要改進之處，關鍵是問題的設計和實施。
設計上述問題關鍵是依據教材中設計的“思考”欄目，如果不能深刻理解這個欄目設計的意義，要完成的任務，要解決的問題，那麼在設計問題時就談不上對教材的二度創作，很可能是適得其反。因此教學設計的基礎是對教材的真正理解。
設計問題串是基礎，課堂的實施才是真正的關鍵。在課堂上提出問題之後，給學生多少思考的時間？如果學生對所提的問題不知所措時，教師該如何降低臺階給與幫助？如果學生一語道破這個問題的答案，教師又該如何操作？如果學生的思路與教師設計的思路不同教師該如何調整？等等。
在《直線的傾斜角和斜率》一節課的教學設計中老師設計了8個問題，在實際教學過程中一共問了約60個問題，按照一節課45 分鐘，那麼每45秒鐘就要提出一個問題。這三個資料中透露出的資訊是什麼呢？
第一，教學的設計和實施之間還存在一定的距離，實施過程中不能很好的執行教學設計，沒有使這種設計真正轉化為行動。
第二，教學設計中的問題沒有完全地體現了教學內容，所以在實際教學時還要進行大量的補充；
第三，提問的間隔時間這麼短，學生思考的空隙在哪裡呢？能提些怎樣的問題呢？
觀察課堂活動可見，之所以提問間隔短原因有二：
第一，問題小，沒有“跳一跳摘果子”的效果，學生回答問題的形式主要是填空式的，而沒有完成任務式的。
第二，當教師提出一個問題學生沒有及時回答時，教師沒有給學生足夠的思考時間，沒有耐心地等待，而是急著進行重複或提示。
在課堂上老師提出問題之後應該給學生足夠的思考時間，要“捨得”，要“等的起”。除沒有足夠的時間思考外，學生對老師的提問不知所措的原因還有可能是：
第一，問題表述不清楚、太寬泛或不具有可操作性，致使學生無從思考、回答；
第二，問題超出了學生的最近發展區，學生“跳起來也夠不著”。對於這些情況的處理正是體現或考驗教師駕馭課堂能力之時，教師應該及時判明原因進行調整，而不是強拉硬拽或者進行所謂的啟發。
課堂實施中這種“小問題現象”會導致學生不能進行真正的解決問題活動，學生活動思維含量低；學生的學習過程完全被老師控制，只能跟著教師亦步亦趨；問題不能引導學習，反而成為了學生的柺杖或阻礙，甚至束縛了學生的思維。
問題設計要給學生創造獨立思考的條件，營造積極探索的氛圍，實施設計的過程要給學生充足的時間和足夠的空間。真正實現“問題引導學習”這一原則除要在問題設計上下功夫，注意實施問題設計的策略，更重要的還是對教學內容和學生認知規律的理解，歸根結底是要抓住數學的核心概念和概念的核心。
五、課堂教學設計的操作策略
通過上面的分析和仔細研究，從這幾次會議紀要中可以提煉出對教學過程設計中的問題設計的具體要求是：
１．問題應該設計在學生的最近發展區之內，把握好“度”，達到“跳一跳摘果子”的效果；
２．問題設計應該能達到啟發學生思維的作用，可以有知識聯絡性和思想方法類比的引導，但是不能限制學生的思維，以使學生通過解決問題串達到對所學內容的理解；
３．問題設計要圍繞核心概念和概念的核心，不要在細枝末節上糾纏；
４．問題設計要體現任務驅動性，能促進學生主動的、“自動化”的思考，要“大器”，不要太瑣碎，以免形成學生對老師“亦步亦趨”的依賴；
５．完成問題之後要有提煉、概括、引申、發展，特別是對核心概念和數學思想的點撥；
６．問題串之間有內在的邏輯線索將之串聯，這個線索就是：數學概念和思想方法的發生發展過程與學生數學思維過程兩個方面的融合。
不論要求有多少條，其終極的目標是“問題引導學習”，問題設計因人而異，因課而異，靈活多變，但是它們變化的目的是引導學習。
課堂設計是課堂教學的前提，以“問題串”的方式呈現，學生是在思考問題中發揮自己的能動性，積極思考，培養學生的自主學習能力，教師以問題引導，靈活多變，要面對課堂中發生的不容情況，只有兩者完美的結合好，配合得當，才能是教學達到理想的效果。