八年級數學期中考試卷子

  為了更好的迎接八年級數學期中考試,在考試中取得好的成績,下面是小編為大家精心整理的八年級數學下冊期中考試卷子,僅供參考。

  八年級數學下冊期中考試卷子試題

  一、選擇題***本大題共8小題.每小題3分,共24分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是正確的,請將正確選項的字母填寫在下面的答題欄處***

  1.下列圖形中,是中心對稱圖形的是***  ***

  A. B. C. D.

  2.下列成語所描述的事件是必然事件的是***  ***

  A.甕中捉鱉 B.守株待兔 C.拔苗助長 D.水中撈月

  3.以下問題,不適合用全面調查的是***  ***

  A.旅客上飛機前的安檢

  B.學校招聘教師,對應聘人員的面試

  C.瞭解全校學生的課外讀書時間

  D.瞭解一批燈泡的使用壽命

  4.分別過一個三角形的3個頂點作對邊的平行線,這些平行線兩兩相交,則構成的平行四邊形的個數是***  ***

  A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

  5.用兩塊邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是***  ***

  A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形

  6.如圖所示是由四根木棒搭成的平行四邊形框架,AB=8cm,AD=6cm,在此位置上,使AB固定,逆時針轉動AD.則關於▱ABCD面積變化情況敘述正確的是***  ***

  A.先變大,再變小

  B.先變小,再變大

  C.保持不變

  D.轉動過程中,▱ABCD面積沒有最大值

  7.正方形具有而菱形不具有的性質是***  ***

  A.對角線互相平分 B.對角線相等

  C.對角線互相垂直且平分 D.對角線互相垂直

  8.如果依次連線四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形,那麼原來的四邊形的兩條對角線***  ***

  A.相等 B.互相垂直

  C.互相平分 D.互相平分且相等

  二、填空題***本大題共8小題,每小題3分,共24分***

  9.調查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標準,這種調查適用      .***填全面調查或者抽樣調查***

  10.為了解我縣8900名九年級畢業生的體育成績,從中抽取了300名考生的體育成績進行統計,在這個問題中,樣本是      .

  11.在四邊形ABCD中,AB=CD,要使四邊形ABCD是中心對稱圖形,只需新增一個條件,這個條件可以是      .***只要填寫一種情況***

  12.一個不透明的袋子中有1個紅球,2個黃球,3個白球,除顏色不同外,其他各方面都相同,現從中隨機摸出一個球:①這球是“紅球”;②這球是“黃球”;③這球是“白球”,將這些事件的序號按發生的可能性從大到小的順序排列為      .

  13.矩形的兩條對角線的夾角為120°,較短的一邊為4,則其對角線長為      .

  14.如圖,將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A′B′C′D′的位置,旋轉角為a ***0°

  15.兩個全等菱形如圖所示擺放在一起,其中B、C、D和G、C、F分別在同一條直線上,若較短的對角線長為10,點G與點D的距離是24,則此菱形邊長為      .

  16.如圖,菱形ABCD的對角線長分別為a、b,以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形A1B1C1D1,然後再以矩形A1B1C1D1的中點為頂點作菱形A2B2C2D2,…,如此下去,得到四邊形A2016B2016C2016D2016的面積用含a,b的代數式表示為      .

  三、解答題***本大題共4小題,每小題7分,共28分***

  17.如圖,在▱ABCD中,∠D=45°,∠CAD=35°,求∠B和∠BAC的度數.

  18.一個不透明的袋子中有編有序號的5個球***從1號到5號***,其中3個黃球***從1號到3號***,2個白球***從4號到5號***,這些球除顏色不同外其他完全相同.

  ***1***從袋子中隨機摸出一個球是1~5號中的一個,一共有幾種結果,這個事件是等可能的嗎?摸到黃球和白球是等可能的嗎?

  ***2***“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是      事件;

  ***3***從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率是多少?

  19.如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中,A、B、C都是格點.

  ***1***畫出△ABC關於BC對稱的△A′B′C′;

  ***2***將△ABC繞圖中的格點C順時針旋轉90°,得到△A1B1C1;

  ***3***畫出△ABC關於點O成中心對稱的△A2B2C2.

  20.已知:如圖,P為矩形ABCD內一點,PC=PD,求證:PA=PB.

  四、解答題***本大題共3小題,每小題8分,共24分***

  21.下面是小明和同學做“拋擲質地均勻的硬幣試驗”獲得的資料.

  拋擲次數 100 200 300 400 500

  正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

  正面朝上的頻率

  ***1***填寫表中的空格;

  ***2***畫出折線統計圖;

  ***3***當試驗次數很大時,“正面朝上”的頻率在      附近擺動.

  22.學校統籌安排大課間體育活動,在各班隨機選取了一部分學生,分成四類活動:“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進行調查,整理收集到的資料,繪製成如圖的兩幅統計圖.

  ***1***學校採用的調查方式是      ;學校在各班隨機選取了      名學生;

  ***2***補全統計圖中的資料:羽毛球      人、乒乓球      人、其他      %;

  ***3***該校共有900名學生,請估計喜歡“跳繩”的學生人數.

  23.已知:如圖,在四邊形ABCD中,P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點.

  ***1***求證:PQ、MN互相平分;

  ***2***當四邊形ABCD的邊滿足條件:      時,PQ⊥MN.***不必證明***

  五、解答題***本大題共2小題,每小題10分,共20分***

  24.把一張矩形紙片ABCD按如圖方式摺疊,使頂點B和D重合,摺痕為EF.

  ***1***連線BE,求證:四邊形BFDE是菱形,並說明理由;

  ***2***若AB=8cm,BC=16cm,求線段DF及摺痕EF的長.

  25.將面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG按圖①的位置放置,AD、AE在同一條直線上,AB、AG在同一條直線上.

  ***1***試判斷DG、BE的數量和位置關係,並說明理由;

  ***2***如圖2,將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉,當點B恰好落線上段DG上時,求此時BE的長;

  ***3***如圖3,將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉,線段DG與線段BE將相交,交點為H,請直接寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值.

  八年級數學下冊期中考試卷子參考答案

  一、選擇題***本大題共8小題.每小題3分,共24分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是正確的,請將正確選項的字母填寫在下面的答題欄處***

  1.下列圖形中,是中心對稱圖形的是***  ***

  A. B. C. D.

  【考點】中心對稱圖形.

  【分析】根據中心對稱的定義,結合所給圖形即可作出判斷.

  【解答】解:A、是中心對稱圖形,故本選項正確;

  B、不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;

  C、不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;

  D、不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;

  故選:A.

  2.下列成語所描述的事件是必然事件的是***  ***

  A.甕中捉鱉 B.守株待兔 C.拔苗助長 D.水中撈月

  【考點】隨機事件.

  【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行解答即可.

  【解答】解:甕中捉鱉是必然事件,A正確;

  守株待兔是隨機事件,B錯誤;

  拔苗助長是不可能事件,C錯誤;

  水中撈月是不可能事件,D錯誤,

  故選:A.

  3.以下問題,不適合用全面調查的是***  ***

  A.旅客上飛機前的安檢

  B.學校招聘教師,對應聘人員的面試

  C.瞭解全校學生的課外讀書時間

  D.瞭解一批燈泡的使用壽命

  【考點】全面調查與抽樣調查.

  【分析】由普查得到的調查結果比較準確,但所費人力、物力和時間較多,而抽樣調查得到的調查結果比較近似.

  【解答】解:A、旅客上飛機前的安檢,意義重大,宜用全面調查,故A選項錯誤;

  B、學校招聘教師,對應聘人員面試必須全面調查,故B選項錯誤;

  C、瞭解全校同學課外讀書時間,數量不大,宜用全面調查,故C選項錯誤;

  D、瞭解一批燈泡的使用壽,具有破壞性,工作量大,不適合全面調查,故D選項正確.

  故選:D.

  4.分別過一個三角形的3個頂點作對邊的平行線,這些平行線兩兩相交,則構成的平行四邊形的個數是***  ***

  A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

  【考點】平行四邊形的判定.

  【分析】根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行畫圖即可.

  【解答】解:如圖所示:

  ▱ACBD,▱ABCF,▱ABEC,

  可構成3個平行四邊形,

  故選:C.

  5.用兩塊邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是***  ***

  A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形

  【考點】圖形的剪拼;等邊三角形的性質.

  【分析】利用等邊三角形的性質,以及菱形的判定方法判斷即可.

  【解答】解:用兩塊邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是菱形,

  故選B

  6.如圖所示是由四根木棒搭成的平行四邊形框架,AB=8cm,AD=6cm,在此位置上,使AB固定,逆時針轉動AD.則關於▱ABCD面積變化情況敘述正確的是***  ***

  A.先變大,再變小

  B.先變小,再變大

  C.保持不變

  D.轉動過程中,▱ABCD面積沒有最大值

  【考點】平行四邊形的性質.

  【分析】逆時針轉動AD,當∠DAB是直角時,高最大,底AB不變,面積就最大,即可得出結論.

  【解答】解:∵▱ABCD面積=AB×高,逆時針轉動AD時,高由小到大,再由大到小,

  ∴▱ABCD面積變化情況是先變大,再變小;

  故選:A.

  7.正方形具有而菱形不具有的性質是***  ***

  A.對角線互相平分 B.對角線相等

  C.對角線互相垂直且平分 D.對角線互相垂直

  【考點】正方形的性質;菱形的性質.

  【分析】根據正方形的性質以及菱形的性質即可判斷.

  【解答】解:正方形和菱形都滿足:四條邊都相等,對角線平分一組對角,對角線垂直且互相平分;

  菱形的對角線不一定相等,而正方形的對角線一定相等.

  故選B.

  8.如果依次連線四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形,那麼原來的四邊形的兩條對角線***  ***

  A.相等 B.互相垂直

  C.互相平分 D.互相平分且相等

  【考點】矩形的判定;三角形中位線定理.

  【分析】由於順次連線四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形,再由矩形的判定可知,依次連線對角線互相垂直的四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形.

  【解答】解:由矩形的性質知,矩形的四個角為直角,即每組鄰邊互相垂直,故原四邊形的對角線應互相垂直.

  順次連線對角線互相垂直的四邊形的各邊中點所得的圖形是矩形.

  如圖:∵E、F、G、H分別為各邊中點,

  ∴EF∥GH∥DB,EF=GH= DB,

  EH=FG= AC,EH∥FG∥AC,

  ∵DB⊥AC,

  ∴EF⊥EH

  ∴四邊形EFGH是矩形.

  故選B.

  二、填空題***本大題共8小題,每小題3分,共24分***

  9.調查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標準,這種調查適用 抽樣調查 .***填全面調查或者抽樣調查***

  【考點】全面調查與抽樣調查.

  【分析】由普查得到的調查結果比較準確,但所費人力、物力和時間較多,而抽樣調查得到的調查結果比較近似.

  【解答】解:由於食品數量龐大,且抽測具有破壞性,適用抽樣調查.

  故答案為:抽樣調查.

  10.為了解我縣8900名九年級畢業生的體育成績,從中抽取了300名考生的體育成績進行統計,在這個問題中,樣本是 300名九年級畢業生的體育成績 .

  【考點】總體、個體、樣本、樣本容量.

  【分析】總體是指考查的物件的全體,個體是總體中的每一個考查的物件,樣本是總體中所抽取的一部分個體,而樣本容量則是指樣本中個體的數目.我們在區分總體、個體、樣本、樣本容量,這四個概念時,首先找出考查的物件.從而找出總體、個體.再根據被收集資料的這一部分物件找出樣本,最後再根據樣本確定出樣本容量.

  【解答】解:為了解我縣8900名九年級畢業生的體育成績,從中抽取了300名考生的體育成績進行統計,在這個問題中,樣本是300名九年級畢業生的體育成績,

  故答案為:300名九年級畢業生的體育成績.

  11.在四邊形ABCD中,AB=CD,要使四邊形ABCD是中心對稱圖形,只需新增一個條件,這個條件可以是 不唯一,可以是:AB∥CD或AD=BC,∠B+∠C=180°,∠A+∠D=180°等 .***只要填寫一種情況***

  【考點】中心對稱圖形.

  【分析】根據平行四邊形是中心對稱圖形,可以針對平行四邊形的各種判定方法,給出相應的條件,得出此四邊形是中心對稱圖形.

  【解答】解:∵AB=CD,

  ∴當AD=BC,***兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.***

  或AB∥CD***一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形***時,或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等時,四邊形ABCD是平行四邊形.

  故此時是中心對稱圖象,

  故答案為:AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等.

  12.一個不透明的袋子中有1個紅球,2個黃球,3個白球,除顏色不同外,其他各方面都相同,現從中隨機摸出一個球:①這球是“紅球”;②這球是“黃球”;③這球是“白球”,將這些事件的序號按發生的可能性從大到小的順序排列為 ③②① .

  【考點】可能性的大小;隨機事件.

  【分析】根據概率的求法,找準兩點:①全部情況的總數;②符合條件的情況數目;二者的比值就是其發生的概率,即可求出答案.

  【解答】解:根據題意可得:袋子中有1個紅球,2個黃球,3個白球,共6個,

  從袋子中隨機摸出一個球,①這球是“紅球”的概率是 ;②這球是“黃球”的概率是 ;③這球是“白球”的概率是 ,

  故答案為:③②①.

  13.矩形的兩條對角線的夾角為120°,較短的一邊為4,則其對角線長為 8 .

  【考點】矩形的性質.

  【分析】由矩形的性質和已知條件可證明△AOB為等邊三角形,再由等邊三角形的性質可求出AO的長,進而求出矩形對角線長.

  【解答】解:如圖所示:

  ∵四邊形為矩形,

  ∴AC=BD,AO= AC,BO= BD,

  ∴AO=B0,

  ∵∠AOD=120°,

  ∴∠AOB=60°,

  ∴△AOB為等邊三角形,

  ∴AO=B0=AB=4,

  ∴AC=BD=2×4=8.

  故答案為:8.

  14.如圖,將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A′B′C′D′的位置,旋轉角為a ***0°

  【考點】旋轉的性質.

  【分析】先利用旋轉的性質得到∠ADC=∠D=90°,∠DAD′=α,再利用四邊形內角和計算出∠BAD=70°,然後利用互餘計算出∠DAD′,從而得到α的值.

  【解答】解:∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A′B′C′D′的位置,

  ∴∠ADC=∠D=90°,∠DAD′=α,

  ∵∠ABC=90°,

  ∴∠BAD=180°﹣∠2,

  而∠2=∠21=110°,

  ∴∠BAD=180°﹣110°=70°,

  ∴∠DAD′=90°﹣70°=20°,

  即α=20°.

  故答案為20°.

  15.兩個全等菱形如圖所示擺放在一起,其中B、C、D和G、C、F分別在同一條直線上,若較短的對角線長為10,點G與點D的距離是24,則此菱形邊長為 13 .

  【考點】菱形的性質.

  【分析】首先連線AC和BD,根據題意求出BO和OC的長,進而利用勾股定理求出菱形的邊長.

  【解答】解:連線AC和BD,相交於點O,

  ∵點G與點D的距離是24,

  ∴OC=12,

  ∵較短的對角線長為10,

  ∴OB=5,

  ∴在Rt△OBC中,BC= =13,

  ∴菱形邊長為為13,

  故答案為13.

  16.如圖,菱形ABCD的對角線長分別為a、b,以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形A1B1C1D1,然後再以矩形A1B1C1D1的中點為頂點作菱形A2B2C2D2,…,如此下去,得到四邊形A2016B2016C2016D2016的面積用含a,b的代數式表示為 *** ***2017ab .

  【考點】矩形的性質;菱形的性質.

  【分析】根據三角形中位線定理,逐步推理出各小長方形的面積,總結出規律,用規律解答即可.

  【解答】解:∵四邊形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC丄BD,

  ∴S四邊形ABCD= ab;

  由三角形的中位線的性質可以推知,每得到一次四邊形,它的面積變為原來的一半,

  ∴四邊形A2016B2016C2016D2016的面積為*** ab.

  故答案為: ab.

  三、解答題***本大題共4小題,每小題7分,共28分***

  17.如圖,在▱ABCD中,∠D=45°,∠CAD=35°,求∠B和∠BAC的度數.

  【考點】平行四邊形的性質.

  【分析】根據平行四邊形的性質可知:∠D=∠B═45°,AB∥CD,得出∠BAD+∠D=180°,求出∠BAD的度數,即可得出∠BAC的度數.

  【解答】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形,

  ∴∠B=∠D=45°,AB∥CD,

  ∴∠BAD+∠D=180°,

  ∴∠BAD=180°﹣45°=135°,

  ∴∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=135°﹣35°=100°.

  18.一個不透明的袋子中有編有序號的5個球***從1號到5號***,其中3個黃球***從1號到3號***,2個白球***從4號到5號***,這些球除顏色不同外其他完全相同.

  ***1***從袋子中隨機摸出一個球是1~5號中的一個,一共有幾種結果,這個事件是等可能的嗎?摸到黃球和白球是等可能的嗎?

  ***2***“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是 不可能 事件;

  ***3***從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率是多少?

  【考點】概率公式.

  【分析】***1***共有5個球,於是可判斷有5種等可能的結果數,由於黃球與白球的個數不等,所以摸到黃球和白球不是等可能的;

  ***2***根據確定事件的定義求解;

  ***3***根據概率公式求解.

  【解答】解:***1***從袋子中隨機摸出一個球是1~5號中的一個,一共有5種結果,這個事件是等可能的,摸到黃球和白球不是等可能;

  ***2***“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是不可能事件;

  ***3***從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率= .

  故答案為不可能.

  19.如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中,A、B、C都是格點.

  ***1***畫出△ABC關於BC對稱的△A′B′C′;

  ***2***將△ABC繞圖中的格點C順時針旋轉90°,得到△A1B1C1;

  ***3***畫出△ABC關於點O成中心對稱的△A2B2C2.

  【考點】作圖-旋轉變換;作圖-軸對稱變換.

  【分析】***1***利用對稱軸的性質畫出點A的對應點A′即得到△A′B′C′;

  ***2***利用網格特點和旋轉的性質分別畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1,從而得到△A1B1C1;

  ***3***利用網格特點和旋轉的性質分別畫出點A、B、C的對應點A2、B2、C2,從而得到△A2B2C2.

  【解答】解:***1***如圖,△A′B′C′為所作;

  ***2***如圖,△A1B1C1為所作;

  ***3***如圖,△A2B2C2為所作.

  20.已知:如圖,P為矩形ABCD內一點,PC=PD,求證:PA=PB.

  【考點】矩形的性質;全等三角形的判定與性質.

  【分析】欲證明PA=PB只要證明△PAD≌PBC即可.

  【解答】證明:∵四邊形ABCD是矩形,

  ∴AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°,

  ∵PD=PC,

  ∴∠PDC=∠PCD,

  ∴∠ADP=∠BCP,

  在△PAD和△PBC中,

  ,

  ∴△PAD≌△PBC,

  ∴PA=PB.

  四、解答題***本大題共3小題,每小題8分,共24分***

  21.下面是小明和同學做“拋擲質地均勻的硬幣試驗”獲得的資料.

  拋擲次數 100 200 300 400 500

  正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

  正面朝上的頻率

  ***1***填寫表中的空格;

  ***2***畫出折線統計圖;

  ***3***當試驗次數很大時,“正面朝上”的頻率在 0.51 附近擺動.

  【考點】利用頻率估計概率;頻數***率***分佈折線圖.

  【分析】***1***利用正面朝上的頻數÷拋擲次數=正面朝上的頻率分別求出即可;

  ***2***利用***1***中所求畫出折線圖即可;

  ***3***利用***1***所求,進而估計出,“正面朝上”的頻率.

  【解答】解:***1***填表如下:

  拋擲次數 100 200 300 400 500

  正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

  正面朝上的頻率

  0.51 0.49 0.51 0.5 0.51

  ***2***如圖所示:

  ;

  ***3***當試驗次數很大時,“正面朝上”的頻率在0.51附近擺動.

  故答案為:0.51.

  22.學校統籌安排大課間體育活動,在各班隨機選取了一部分學生,分成四類活動:“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進行調查,整理收集到的資料,繪製成如圖的兩幅統計圖.

  ***1***學校採用的調查方式是 抽樣調查 ;學校在各班隨機選取了 100 名學生;

  ***2***補全統計圖中的資料:羽毛球 21 人、乒乓球 18 人、其他 25 %;

  ***3***該校共有900名學生,請估計喜歡“跳繩”的學生人數.

  【考點】條形統計圖;全面調查與抽樣調查;用樣本估計總體;扇形統計圖.

  【分析】***1***根據在各班隨機選取了一部分學生,即為抽樣調查,利用喜歡“籃球”的學生36人,所佔百分比為36%,即可得出樣本容量;

  ***2***用1減去籃球、羽毛球、乒乓球所佔百分比,得到其他所佔百分比,再用樣本容量乘以對應百分比,可得羽毛球、乒乓球、其他的人數,即可補全統計圖中的資料;

  ***3***利用樣本估計總體,用900乘以喜歡“跳繩”的學生所佔的百分比即可得出全校喜歡“跳繩”的學生人數.

  【解答】解:***1***學校採用的調查方式是抽樣調查;

  由題意可得:喜歡籃球的人數為:36人,所佔比例為:36%,

  所以學校在各班隨機選取了學生:36÷36%=100***名***;

  故答案為:抽樣調查,100;

  ***2***喜歡羽毛球人數為:100×21%=21***人***,

  喜歡乒乓球人數為:100×18%=18***人***,

  其他所佔百分比為:1﹣36%﹣21%﹣18%=25%,

  喜歡其它人數為:100×25%=25***人***,

  補全統計圖如下:

  故答案為:21,18,25;

  ***3***900×36%=324.

  答:估計喜歡跳繩的人數約為324人.

  23.已知:如圖,在四邊形ABCD中,P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點.

  ***1***求證:PQ、MN互相平分;

  ***2***當四邊形ABCD的邊滿足條件: AB=CD 時,PQ⊥MN.***不必證明***

  【考點】中點四邊形.

  【分析】***1***連線MP、NP、MQ、NQ,根據三角形中位線定理得到PM= AB,PM∥AB,NQ= AB,NQ∥AB,根據平行四邊形的判定定理證明四邊形PMQN是平行四邊形,根據平行四邊形的性質定理證明結論;

  ***2***根據菱形的判定定理和性質定理解答即可.

  【解答】***1***證明:連線MP、NP、MQ、NQ,

  ∵P、M分別是AD、BD的中點,

  ∴PM= AB,PM∥AB,

  同理NQ= AB,NQ∥AB,

  ∴PM∥NQ,PM=NQ,

  ∴四邊形PMQN是平行四邊形,

  ∴PQ、MN互相平分;

  ***2***AB=CD,

  ∵PM= AB,PN= CD,

  當AB=CD時,PM=PN,

  則平行四邊形PMQN是菱形,

  ∴PQ⊥MN.

  五、解答題***本大題共2小題,每小題10分,共20分***

  24.把一張矩形紙片ABCD按如圖方式摺疊,使頂點B和D重合,摺痕為EF.

  ***1***連線BE,求證:四邊形BFDE是菱形,並說明理由;

  ***2***若AB=8cm,BC=16cm,求線段DF及摺痕EF的長.

  【考點】菱形的判定;翻折變換***摺疊問題***.

  【分析】***1***由EF垂直並平分BD BD與EF交於點O,四邊形ABCD是矩形,易證得△DOE≌△BOF,繼而證得DE=BE=BF=DF,則可得四邊形BFDE是菱形;

  ***2***首先設DF=x,則FC=16﹣x,在Rt△EBF中,利用勾股定理即可求得菱形的邊長,再過點E作EG⊥BC於G,即可求得答案.

  【解答】解:***1***四邊形BFDE是菱形.

  由摺疊可知:EF垂直並平分BD BD與EF交於點O,

  則BE=DE BF=DF,

  ∵四邊形ABCD是矩形,

  ∴DE∥BF,

  ∴∠EDO=∠FBO,

  在△DOE和△BOF中,

  ,

  ∴△DOE≌△BOF***ASA***,

  ∴DE=BF,

  ∴DE=BE=BF=DF,

  ∴四為形BFDE為菱形;

  ***2***設DF=x,則FC=16﹣x,

  在Rt△EBF中,由勾股定理得:FC2+DC2=DF2,

  即82+***16﹣x***2=x2,

  解得:x=10,

  即DF的長為10,

  過點E作EG⊥BC於G,則GF=4,

  由勾股定理得:EF= =4 .

  25.將面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG按圖①的位置放置,AD、AE在同一條直線上,AB、AG在同一條直線上.

  ***1***試判斷DG、BE的數量和位置關係,並說明理由;

  ***2***如圖2,將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉,當點B恰好落線上段DG上時,求此時BE的長;

  ***3***如圖3,將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉,線段DG與線段BE將相交,交點為H,請直接寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值.

  【考點】四邊形綜合題.

  【分析】***1***由正方形的性質可證△ADG≌△ABE***SAS***,因此可證得∠AGD=∠AEB,如圖1,延長EB交DG於點H,然後由三角形的內角和和直角三角形的兩銳角互餘可證得結論;由正方形的性質和等量代換可證△ADG≌△ABE***SAS***,因此可證得DG=BE,

  ***2***如圖2,過點A作AM⊥DG交DG於點M,根據正方形的性質可證得DM=AM= ,然後根據勾股定理可求得GM的長,進而可求得BE=DG=DM+GM.

  ***3***對於△EGH,點H在以EG為直徑的圓上,所以當點H與點A重合時,△EGH的高最大,對於△BDH,點H在以BD為直徑的圓上,所以當點H與點A重合時,△BDH的高最大,因此求出這時的面積,再相加即可.

  【解答】解:***1***如圖1,

  四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形,

  ∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,

  ∴△ADG≌△ABE***SAS***,

  ∴∠AGD=∠AEB,

  延長EB交DG於點H,

  △ADG中∠AGD+∠ADG=90°,

  ∴∠AEB+∠ADG=90°,

  △DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,

  ∴∠DHE=90°,

  ∴DG⊥BE,

  ***2***四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形,

  ∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,

  ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,

  ∴∠DAG=∠BAE,

  AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,

  ∴△ADG≌△ABE***SAS***,

  ∴DG=BE,

  如圖2,過點A作AM⊥DG交DG於點M,

  ∠AMD=∠AMG=90°

  BD是正方形ABCD的對角線,

  ∴∠MDA=45°,

  ∵面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG

  ∴AD=2,AE=2 ,

  在Rt△AMD中,∠MDA=45°,

  ∴COS45°= ,

  ∴DM= ,

  ∴AM= ,

  在Rt△AMG中,GM= = ,

  ∵DG=DM+GM= + ,

  ∴BE=DG= + ,

  ***3***面積的最大值為6.

  如圖,

  對於△EGH,點H在以EG為直徑的圓上,

  所以當點H與點A重合時,△EGH的高最大,

  ∴S△EGH= AG×AE= ×8=4,

  對於△BDH,點H在以BD為直徑的圓上,

  所以當點H與點A重合時,△BDH的高最大,

  ∴S△BDH= AD×AB= ×4=2,

  ∴△GHE與△BHD面積之和的最大值是4+2=6.