初中數學求線段和差最值知識

　　初中階段我們學過三種路徑最值問題,一是兩點之間線段最短;二是將軍飲馬問題;三是直線外一點與直線上一點的連線中,垂線段最短。

　　一、直接利用公理***定理***求最值

　　1、公理：兩點直接線段最短

　　2、定理：三角形的兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊***由上面公理證明而得***

　　3、定理：直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短。***簡稱垂線段最短***

　　所有的線段和差問題都是直接利用或者轉化為第1點或第3點來求最值，這是咱們思考這類問題的出發點，大家要死死記住。

　　二、結合圖形三大變換求最值

　　1、應用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉化為可以利用公理***定理***求最值***將軍飲馬問題***

　　2、應用旋轉變換將線段和差轉化為可以利用公理***定理***求最值***費馬點問題***

　　【將軍飲馬問題】

　　【費馬點問題】

　　三.例題

　　1.如圖，A、B兩個小集鎮在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節省，並求出總費用是多少?

　　作點B關於直線CD的對稱點B'，連線AB'，交CD於點M

　　則AM+BM = AM+B'M = AB'，水廠建在M點時，費用最小

　　如右圖，在直角△AB'E中，

　　AE = AC+CE = 10+30 = 40

　　EB' = 30

　　所以：AB' = 50

　　總費用為：50×3 = 150萬

　　2.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連線AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.

　　***1***用含x的代數式表示AC+CE的長;

　　***2***請問點C滿足什麼條件時，AC+CE的值最小?

　　***3***根據***2***中的規律和結論，請構圖求出代數式的最小值

　　3.兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設定一個加油站，，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發，經過一個加油站，再到另一個加油站，最後回到油庫所走的路程最短.

　　分析這是一個實際問題，我們需要把它轉化為數學問題，經過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在∠AOB內部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2 ，連結P1P2分別交OA、OB於C、D，C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那麼是不是最短的呢?我們可以用三角形的三邊關係進行說明.

　　解：分別做點P關於直線OA和OB的對稱點P1、P2，

　　連結P1P2分別交OA、OB於C、D，

　　則C、D就是建加油站的位置.

　　若取異於C、D兩點的點，

　　則由三角形的三邊關係，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短.

　　點評：在這裡沒有詳細說明為什麼在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短，請同學們思考弄明白。

　　4.如圖∠AOB = 45°，P是∠AOB內一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

　　分別作點P關於OA、OB的對稱點P1、P2，連線P1P2，

　　交OA、OB於點Q，R，連線OP1，OP2，

　　則OP = OP1 = OP2 = 10

　　且∠P1OP2 = 90°

　　由勾股定理得P1P2 = 10