啟發式教學模式
一、是數學教學基本原則——啟發性原則的具體體現
它作用於各個具體教學過程之中，也就是說，哪裡有教學，哪裡就有啟發式模式的運用。
是自古以來各國、各個時代的數學教育實踐證明的基本教學模式。簡要地說，就是教師不直接地把現成的知識傳授給學生，而是引導學生自己獨立地去發現相應的結果的教學模式。
也充分體現了發展性原則，它是學生在數學教學過程中發揮主動性、創造性的基本模式之一。
具體操作程式：教師提出某一個學習問題，引導學生解決它，並從中獲取解決問題的經驗***即知識與思想方法***；然後教師再提出一些與前述問題有關的問題，進一步引導，逐步解決，從而形成整體經驗。
二、的實施
***2***在具體實施時有不同的啟發方式：
①歸納啟發式。
歸納啟發式是以歸納過程為支配地位的一種啟發方式，其顯著特點是從具體到概括或者是從特殊到一般。在歸納啟發作用下，學習者運用直觀法***和一些邏輯方法***把他所觀察到的一些具體事例、有關條件、技巧或者解題方法的共同性質加以概括，形成新知。
歸納啟發式是一種應用比較廣泛的方法，如概念、原理、公式、法則都可以通過若干個具體例子來啟發發現。在運用歸納啟發式教學時，教師應當確實讓學生得到所有必要的具體情況，使他們能有所發現並進行恰當的概括，應當給每個概括提供多個不同的例子，使這種概括得到充分說明。並且，為了避免不恰當的概括，還應有反面的例子。
演繹啟發式是以演繹過程為支配地位的一種啟發方式。其特點是從概括到具體或者是從一般到特殊。在演繹啟發式的作用下，學習者運用邏輯方法***和一些直觀方式***去構成一個以抽象概念和其他概括為基礎的概括。
演繹啟發式首先指明欲解決或必須解決的問題，使學生產生自己的問題空間，然後運用預先評價方法確定學生是否具備進行演繹啟發所必要的技能、知識、概念及原理，這可以通過全班討論等方式進行，然後著手引導演繹。演繹啟發式比較適合於從定義、公理和其他定理推匯出新定理或組織新定理的證明，對學生要求也比較高，因為演繹需要運用數學邏輯和抽象概括。演繹啟發比歸納啟發需要更多的時間，更易於陷入困境，這時教師應給予適當提示***引導性問題或其他暗示***。
例如，講過三角函式的定義後，可以演繹啟發學生得到三角函式的關係。首先就應表明目的：尋找各三角函式之間可能存在的關係，若中間發現不了平方關係，教師可給予暗示，讓學生注意關係式 。
③類比啟發式。
類比啟發式是藉助類比思維進行啟發的一種方式。其特點是學生的認識活動是以確定各種物件或者現象之間在某些特徵或關係上的相似為基礎的。它既不是從概括到具體，也不是從具體到概括，而是從相似的一方到另一方，是從具體到具體，從特殊到特殊。
類比啟發式是一種很重要的啟發方式，它要求教師首先要給學生引匯出所要研究的數學物件的類比物***依據某類相似性***，進而設定問題情境，激發並組織學生運用類比進行探索活動，引導他們尋找相似的現象、屬性和性質，查明結構的相似性，進而進入類比推理，建立假設，並加以檢驗。可用於類比啟發的內容很多，如分式的性質可由分數類比出來：
第一步啟發：提供已知的類比結構。
師問：（1） ；（2） 。
這兩個等式是怎樣從左到右的?應用了什麼性質?
生答：***略***
第二步啟發：發現未知的知識結構。
師問：在分數的加減乘除運算中，我們用分數的基本性質來通分或約分，那麼，在分式的運算中也需要通分或約分，分式有什麼性質?
生答：***略***
第三步啟發：應用新的數學結構，進行思維同化。
師問：***1*** ；（2） 。
這兩個等式是怎樣從左到右的?應用了什麼性質?
生答：***略***。
同樣地，等比數列的性質可由等差數列類比，立體幾何中許多定理可由平面幾何類比出來等。
④實驗啟發式
數學雖非實驗科學，但觀察和實驗同樣可以用來說明所研究的物件的某一數學性質或者物件本身，可以用來判斷所研究的性質是否正確，從這個意義上說，觀察和實驗對於數學教學具有重要的意義。1986年國際數學教育委員會也提出“有必要去選擇那些鼓勵和促進實驗方法的數學課題或領域”。的確，有些課題從實驗入手引導學生髮現結論是很有效的。如“三角形內角和定理”***度量、拼補或旋轉***。學生可以通過數學實驗研究問題，如探索數學概念、定理、公式、法則等，並且通過對相對抽象的數學概念的具體表現形式的操作，進行數學的發現。
在運用實驗啟發式教學時，教師需做三項特殊活動：第一，佈置或準備實驗材料，若是學生自己動手的實驗，應事先安排好學生按要求製作實驗材料；第二，制定上課期間組織和使用的計劃以及監督學生實驗活動的計劃；第三，教給他們如何有效地操作。如有必要，可提供給學生如下活動程式：確問題，決定準備做什麼；思考解決問題的方法；通過實驗，找出典型關係並進行概括：陳述你的收穫；分析和評價你的方法和過程。
一般而言，大多數學生都能通過度量直線和角，比較幾何圖形以及用紙構造和摺疊出圖形，發現平面幾何中的許多定理。近年來，江蘇常州教研室楊裕前等人在平面幾何入門教學中運用實驗啟發式進行教學，就取得了較好的教學效果。
***3***不論採取何種啟發方式，教師應當引導與協同學生把啟發所得到的結果組織成一個可理解的、有用的結論，並通過應用把它與有關資訊結合起來，納入到學生的原認知結構中，而且應使學生體會到獲得成功的喜悅感。
在教學實踐中常常表現為啟發式談話的教學方法。可以影響學生對待學習活動的態度。當學生因啟發而產生“興趣”時，他們就會開始把那種按“現成的指示”一步一步地工作看成是乏味和枯燥的事情。在課堂上或在做家庭作業時，一旦獨立“發現”題目的某種解法，就會成為學生難以忘懷的時刻。如果某種作業，可以應用的方法，學生對這類作業的興趣就會明顯增長。
當然，我們在運用時，可能所需的教學時間較長，所以不可能在每節課上完全採用這一模式，而是結合教師講授模式或其他複合模式來實現教學任務的。
它作用於各個具體教學過程之中，也就是說，哪裡有教學，哪裡就有啟發式模式的運用。
是自古以來各國、各個時代的數學教育實踐證明的基本教學模式。簡要地說，就是教師不直接地把現成的知識傳授給學生，而是引導學生自己獨立地去發現相應的結果的教學模式。
也充分體現了發展性原則，它是學生在數學教學過程中發揮主動性、創造性的基本模式之一。
具體操作程式：教師提出某一個學習問題，引導學生解決它，並從中獲取解決問題的經驗***即知識與思想方法***；然後教師再提出一些與前述問題有關的問題，進一步引導，逐步解決，從而形成整體經驗。
二、的實施
***2***在具體實施時有不同的啟發方式：
①歸納啟發式。
歸納啟發式是以歸納過程為支配地位的一種啟發方式，其顯著特點是從具體到概括或者是從特殊到一般。在歸納啟發作用下，學習者運用直觀法***和一些邏輯方法***把他所觀察到的一些具體事例、有關條件、技巧或者解題方法的共同性質加以概括，形成新知。
歸納啟發式是一種應用比較廣泛的方法，如概念、原理、公式、法則都可以通過若干個具體例子來啟發發現。在運用歸納啟發式教學時，教師應當確實讓學生得到所有必要的具體情況，使他們能有所發現並進行恰當的概括，應當給每個概括提供多個不同的例子，使這種概括得到充分說明。並且，為了避免不恰當的概括，還應有反面的例子。
演繹啟發式是以演繹過程為支配地位的一種啟發方式。其特點是從概括到具體或者是從一般到特殊。在演繹啟發式的作用下，學習者運用邏輯方法***和一些直觀方式***去構成一個以抽象概念和其他概括為基礎的概括。
演繹啟發式首先指明欲解決或必須解決的問題，使學生產生自己的問題空間，然後運用預先評價方法確定學生是否具備進行演繹啟發所必要的技能、知識、概念及原理，這可以通過全班討論等方式進行，然後著手引導演繹。演繹啟發式比較適合於從定義、公理和其他定理推匯出新定理或組織新定理的證明，對學生要求也比較高，因為演繹需要運用數學邏輯和抽象概括。演繹啟發比歸納啟發需要更多的時間，更易於陷入困境，這時教師應給予適當提示***引導性問題或其他暗示***。
例如，講過三角函式的定義後，可以演繹啟發學生得到三角函式的關係。首先就應表明目的：尋找各三角函式之間可能存在的關係，若中間發現不了平方關係，教師可給予暗示，讓學生注意關係式 。
③類比啟發式。
類比啟發式是藉助類比思維進行啟發的一種方式。其特點是學生的認識活動是以確定各種物件或者現象之間在某些特徵或關係上的相似為基礎的。它既不是從概括到具體，也不是從具體到概括，而是從相似的一方到另一方，是從具體到具體，從特殊到特殊。
類比啟發式是一種很重要的啟發方式，它要求教師首先要給學生引匯出所要研究的數學物件的類比物***依據某類相似性***，進而設定問題情境，激發並組織學生運用類比進行探索活動，引導他們尋找相似的現象、屬性和性質，查明結構的相似性，進而進入類比推理，建立假設，並加以檢驗。可用於類比啟發的內容很多，如分式的性質可由分數類比出來：
第一步啟發：提供已知的類比結構。
師問：（1） ；（2） 。
這兩個等式是怎樣從左到右的?應用了什麼性質?
生答：***略***
第二步啟發：發現未知的知識結構。
師問：在分數的加減乘除運算中，我們用分數的基本性質來通分或約分，那麼，在分式的運算中也需要通分或約分，分式有什麼性質?
生答：***略***
第三步啟發：應用新的數學結構，進行思維同化。
師問：***1*** ；（2） 。
這兩個等式是怎樣從左到右的?應用了什麼性質?
生答：***略***。
同樣地，等比數列的性質可由等差數列類比，立體幾何中許多定理可由平面幾何類比出來等。
④實驗啟發式
數學雖非實驗科學，但觀察和實驗同樣可以用來說明所研究的物件的某一數學性質或者物件本身，可以用來判斷所研究的性質是否正確，從這個意義上說，觀察和實驗對於數學教學具有重要的意義。1986年國際數學教育委員會也提出“有必要去選擇那些鼓勵和促進實驗方法的數學課題或領域”。的確，有些課題從實驗入手引導學生髮現結論是很有效的。如“三角形內角和定理”***度量、拼補或旋轉***。學生可以通過數學實驗研究問題，如探索數學概念、定理、公式、法則等，並且通過對相對抽象的數學概念的具體表現形式的操作，進行數學的發現。
在運用實驗啟發式教學時，教師需做三項特殊活動：第一，佈置或準備實驗材料，若是學生自己動手的實驗，應事先安排好學生按要求製作實驗材料；第二，制定上課期間組織和使用的計劃以及監督學生實驗活動的計劃；第三，教給他們如何有效地操作。如有必要，可提供給學生如下活動程式：確問題，決定準備做什麼；思考解決問題的方法；通過實驗，找出典型關係並進行概括：陳述你的收穫；分析和評價你的方法和過程。
一般而言，大多數學生都能通過度量直線和角，比較幾何圖形以及用紙構造和摺疊出圖形，發現平面幾何中的許多定理。近年來，江蘇常州教研室楊裕前等人在平面幾何入門教學中運用實驗啟發式進行教學，就取得了較好的教學效果。
***3***不論採取何種啟發方式，教師應當引導與協同學生把啟發所得到的結果組織成一個可理解的、有用的結論，並通過應用把它與有關資訊結合起來，納入到學生的原認知結構中，而且應使學生體會到獲得成功的喜悅感。
在教學實踐中常常表現為啟發式談話的教學方法。可以影響學生對待學習活動的態度。當學生因啟發而產生“興趣”時，他們就會開始把那種按“現成的指示”一步一步地工作看成是乏味和枯燥的事情。在課堂上或在做家庭作業時，一旦獨立“發現”題目的某種解法，就會成為學生難以忘懷的時刻。如果某種作業，可以應用的方法，學生對這類作業的興趣就會明顯增長。
當然，我們在運用時，可能所需的教學時間較長，所以不可能在每節課上完全採用這一模式，而是結合教師講授模式或其他複合模式來實現教學任務的。