高一數學不等式公式

　　學習需要講究方法和技巧，更要學會對知識點進行歸納整理。下面是小編為大家整理的，希望對大家有所幫助!

　　

　　1、不等式的性質是證明不等式和解不等式的基礎。

　　不等式的基本性質有：

　　***1*** 對稱性：a>bb<a;

　　***2*** 傳遞性：若a>b，b>c，則a>c;

　　***3*** 可加性：a>ba+c>b+c;

　　***4*** 可乘性：a>b，當c>0時，ac>bc;當c<0時，ac<bc。

　　不等式運算性質：

　　***1*** 同向相加：若a>b，c>d，則a+c>b+d;

　　***2*** 異向相減：，.

　　***3*** 正數同向相乘：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd。

　　***4*** 乘方法則：若a>b>0，n∈N+，則;

　　***5*** 開方法則：若a>b>0，n∈N+，則;

　　***6*** 倒數法則：若ab>0，a>b，則。

　　2、基本不等式

　　定理：如果，那麼***當且僅當a=b時取“=”號***

　　推論：如果，那麼***當且僅當a=b時取“=”號***

　　算術平均數;幾何平均數;

　　推廣：若，則

　　當且僅當a=b時取“=”號;

　　3、絕對值不等式

　　|x|0***的解集為：{x|-a

　　|x|>a***a>0***的解集為：{x|x>a或x<-a}。

　　附：不等式證明知識概要

　　不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。

　　一、要點精析

　　1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法***簡稱為求差法***和商值比較法***簡稱為求商法***。

　　***1***差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

　　***2***商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

　　2.綜合法利用已知事實***已知條件、重要不等式或已證明的不等式***作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關係為：AB1

　　B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

　　3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關係為：BB1B1

　　B3 …

　　BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這隻需證明B2為真，從而又有…，……這隻需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

　　4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。

　　5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明瞭的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。***1***三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，一個變數不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ;②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ***0≤r≤1***;③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ;④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。***2***增量換元法：在對稱式***任意交換兩個字母，代數式不變***和給定字母順序***如a>b>c等***的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。

　　6.放縮法放縮法是要證明不等式A

　　二、難點突破

　　1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。

　　2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握;後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關係。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

　　3.分析法證明過程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒有必要要求“步步可逆”，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要“步步可逆”，則限制了分析法解決問題的範圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好“要證”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語。

　　4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以匯出矛盾。

　　5.在三角換元中，由於已知條件的限制作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。

　　6.運用放縮法證明不等式時要把握好“放縮”的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。

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