初中數學知識點總結及常見誤區

　　知識點總結

　　一、軸對稱與軸對稱圖形：

　　1.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線摺疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱，兩個圖形中的對應點叫做對稱點，對應線段叫做對稱線段。

　　2.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

　　注意：對稱軸是直線而不是線段

　　3.軸對稱的性質：

　　***1***關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形;

　　***2***如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線;

　　***3***兩個圖形關於某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上;

　　***4***如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。

　　4.線段垂直平分線：

　　***1***定義：垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。

　　***2***性質：①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;

　　②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

　　注意：根據線段垂直平分線的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。

　　5.角的平分線：

　　***1***定義：把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.

　　***2***性質：①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

　　②到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

　　注意：根據角平分線的性質，三角形的三個內角的平分線交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等.

　　6.等腰三角形的性質與判定：

　　性質：

　　***1***對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸;

　　***2***三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;

　　***3***等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等。

　　說明：等腰三角形的性質除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質，如：①等腰三角形兩底角的平分線相等;②等腰三角形兩腰上的中線相等;

　　③等腰三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。

　　判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等***簡稱：等角對等邊***。

　　7.等邊三角形的性質與判定：

　　性質：***1***等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°;

　　***2***等邊三角形具有等腰三角形的所有性質，並且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，而等腰三角形***非等邊三角形***只有一條對稱軸。

　　判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

　　說明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高***或三條中線、三條角平分線***都相等。

　　二、中心對稱與中心對稱圖形：

　　1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠和另外一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對稱點。

　　2.中心對稱圖形：在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前後的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。

　　3.中心對稱的性質：***1***關於中心對稱的兩個圖形是全等形;

　　***2***在成中心對稱的兩個圖形中,連線對稱點的線段都經過對稱中心,並且被對稱中心平分;

　　***3***成中心對稱的兩個圖形，對應線段平行***或在同一直線上***且相等。

　　三、軸對稱與中心對稱的區別與聯絡：

軸對稱	中心對稱
有一條對稱軸——直線	有一個對稱中心——點
圖形沿對稱軸對摺***翻折180º***後重合	圖形繞對稱中心旋轉180 º後重合
對稱點的連線被對稱軸垂直平分	對稱點連線經過對稱中心,且被對稱中心平分

　





　    四、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形：

　
　    軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓

　　對稱軸的條數：角有一條對稱軸，即該角的角平分線;等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的垂直平分線;等邊三角形有三條對稱軸，分別是三邊上的垂直平分線;菱形有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線;

　　中心對稱圖形：線段 、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓

　　對稱中心：線段的對稱中心是線段的中點;平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是圓心。

　　說明：線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

　　五、座標系中的軸對稱變換與中心對稱變換：

　　點P***x,y***關於x軸對稱的點P1的座標為***x,-y***，關於y軸對稱的點P2的座標為***-x,y***。關於原點對稱的點的座標P3的座標是***-x,-y***這個規律也可以記為：關於y軸***x軸***對稱的點的縱座標***橫座標***相同，橫座標***縱座標***互為相反數。 關於原點成中心對稱的點的，橫座標為原橫座標的相反數，縱座標為原縱座標的相反數，即橫座標、縱座標同乘以-1。

　　常見考法

　　***1***判別某些圖形是不是軸對稱圖形能找出對稱軸，對稱軸的條數、判別某些圖形是中心對稱圖形能找到對稱中心;***2***利用垂直平分線性質、角平分線性質證明一些結論;***3***利用等腰三角形三線合一性質證明線段相等、線段垂直;***4***直接證明某一個三角形是等腰三角形;***4***軸對稱圖形的實際應用***如鏡子中的軸對稱問題、解決一些摺疊問題、還有求幾個線段之和最短問題***。

　　誤區提醒

　　***1***把軸對稱與軸對稱圖形的概念、中心對稱與中心對稱圖形的概念混淆;***2***把軸對稱與全等混淆;***3***找軸對稱圖形的對稱軸不全、不準;***4***在解有關等腰三角形問題時，沒有進行分類討論，造成漏解。