人教版高一數學函式複習資料

　　高中數學明顯難了很多。函式是高中數學的重要部分，因此,很多同學感覺學習函式很吃力，下面小編整理了，希望對同學們有幫助。

　　指數函式的一般形式為y=a^x***a>0且≠1*** ***x∈R***。

　　***1*** 指數函式的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大於0且不等於1，對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮，

　　同時a等於0函式無意義一般也不考慮。

　　***2*** 指數函式的值域為大於0的實數集合。

　　***3*** 函式圖形都是下凹的。

　　***4*** a大於1，則指數函式單調遞增;a小於1大於0，則為單調遞減的。

　　***5*** 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中***當然不能等於0***，函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

　　***6*** 函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸,永不相交。

　　***7*** 函式總是通過***0，1***這點,***若y=a^x+b,則函式定過點***0,1+b***

　　***8*** 顯然指數函式無界。

　　***9*** 指數函式既不是奇函式也不是偶函式。

　　***10***當兩個指數函式中的a互為倒數時，兩個函式關於y軸對稱，但這兩個函式都不具有奇偶性。

　　底數的平移：

　　對於任何一個有意義的指數函式：

　　在指數上加上一個數，影象會向左平移;減去一個數，影象會向右平移。

　　在f***X***後加上一個數，影象會向上平移;減去一個數，影象會向下平移。

　　即“上加下減，左加右減”

　　底數與指數函式影象：

　　***1***由指數函式y=a^x與直線x=1相交於點***1，a***可知：在y軸右側，影象從下到上相應的底數由小變大。

　　***2***由指數函式y=a^x與直線x=-1相交於點***-1，1/a***可知：在y軸左側，影象從下到上相應的底數由大變小。

　　***3***指數函式的底數與影象間的關係可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”;在y軸左邊“底大圖低”。***如右圖***

　　冪的大小比較：

　　比較大小常用方法：***1***比差***商***法：***2***函式單調性法;***3***中間值法：要比較A與B的大小，先找一箇中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。

　　比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：

　　***1***對於底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函式的單調性來判斷。

　　例如：y1=3^4,y2=3^5，因為3大於1所以函式單調遞增***即x的值越大，對應的y值越大***，因為5大於4，所以y2大於y1.

　　***2***對於底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函式影象的變化規律來判斷。

　　例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因為1/2小於1所以函式影象在定義域上單調遞減;3大於1，所以函式影象在定義域上單調遞增，在x=0是兩

　　個函式影象都過***0，1***然後隨著x的增大，y1影象下降，而y2上升，在x等於4時，y2大於y1.

　　***3***對於底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：

　　<1> 對於三個***或三個以上***的數的大小比較，則應該先根據值的大小***特別是與0、1的大小***進行分組，再比較各組數的大小即可。

　　<2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”***即比較它們與“1”的大小***，就可以快速的得到答案。哪麼如何判斷一個冪與“1”大小呢?由指數函式的影象和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向***例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0***時，a^x大於1，異向時a^x小於1.

　　〈3〉例：下列函式在R上是增函式還是減函式?說明理由.

　　⑴y=4^x

　　因為4>1，所以y=4^x在R上是增函式;

　　⑵y=***1/4***^x

　　因為0<1/4<1,所以y=***1/4***^x在R上是減函式

　　對數函式

　　一般地，如果a***a大於0，且a不等於1***的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log aN=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

　　對數函式的公理化定義

　　真數式子沒根號那就只要求真數式大於零,如果有根號,要求真數大於零還要保證根號裡的式子大於零，

　　底數則要大於0且不為1

　　對數函式的底數為什麼要大於0且不為1

　　在一個普通對數式裡 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值的。但是，根據對數定義: logaa=1;如果a=1或=0那麼logaa就可以等於一切實數***比如log1 1也可以等於2，3，4，5，等等***第二，根據定義運算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那麼這個等式兩邊就不會成立 ***比如，log***-2*** 4^***-2*** 就不等於***-2****log***-2*** 4;一個等於4，另一個等於-4***

　　對數函式的一般形式為 y=log***a***x，它實際上就是指數函式的反函式，可表示為x=a^y。因此指數函式裡對於a的規定，同樣適用於對數函式。

　　右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：

　　可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。

　　***1*** 對數函式的定義域為大於0的實數集合。

　　***2*** 對數函式的值域為全部實數集合。

　　***3*** 函式影象總是通過***1，0***點。

　　***4*** a大於1時，為單調增函式，並且上凸;a小於1大於0時，函式為單調減函式，並且下凹。

　　***5*** 顯然對數函式無界。

　　對數函式的常用簡略表達方式：

　　***1***log***a******b***=log***a******b***

　　***2***lg***b***=log***10******b***

　　***3***ln***b***=log***e******b***

　　對數函式的運算性質：

　　如果a〉0，且a不等於1,M>0,N>0，那麼：

　　***1***log***a******MN***=log***a******M***+log***a******N***;

　　***2***log***a******M/N***=log***a******M***-log***a******N***;

　　***3***log***a******M^n***=nlog***a******M*** ***n屬於R***

　　***4***log***a^k******M^n

　　***=***n/k***log***a******M*** ***n屬於R***

　　***5***log***a***M×log***a***N=log***a******M+N***

　　***6***log***a***M÷log***a***N=log***a******M-N***

　　對數與指數之間的關係

　　當a大於0,a不等於1時,a的X次方=N等價於log***a***N

　　log***a^k******M^n***=***n/k***log***a******M*** ***n屬於R***

　　換底公式 ***很重要***

　　log***a******N***=log***b******N***/log***b******a***= lnN/lna=lgN/lga

　　ln 自然對數以e為底

　　lg 常用對數以10為底

　　[編輯本段]對數的定義和運算性質

　　一般地，如果a***a大於0，且a不等於1***的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log***a******N***=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

　　底數則要大於0且不為1

　　對數的運算性質：

　　當a>0且a≠1時,M>0,N>0，那麼：

　　***1***log***a******MN***=log***a******M***+log***a******N***;

　　***2***log***a******M/N***=log***a******M***-log***a******N***;

　　***3***log***a******M^n***=nlog***a******M*** ***n∈R***

　　***4***換底公式：log***A***M=log***b***M/log***b***A ***b>0且b≠1***

　　對數與指數之間的關係

　　當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒***a***N ***對數恆等式***

　　對數函式的常用簡略表達方式：

　　***1***log***a******b***=log***a******b***

　　***2***常用對數:lg***b***=log***10******b***

　　***3***自然對數:ln***b***=log***e******b***

　　e=2.718281828... 通常情況下只取e=2.71828 對數函式的定義

　　對數函式的一般形式為 y=㏒***a***x，它實際上就是指數函式的反函式***圖象關於直線y=x對稱的兩函式互為反函式***，可表示為x=a^y。因此指數函式裡對於a的規定***a>0且a≠1***，同樣適用於對數函式。

　　右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：

　　可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。

　　[編輯本段]性質

　　定義域：***0，+∞***值域：實數集R

　　定點：函式影象恆過定點***1，0***。

　　單調性：a>1時，在定義域上為單調增函式，並且上凸;

　　0<a<1時，在定義域上為單調減函式，並且下凹。

　　奇偶性：非奇非偶函式，或者稱沒有奇偶性。

　　週期性：不是周期函式

　　零點：x=1

　　注意：負數和0沒有對數。

　　兩句經典話：底真同對數正

　　底真異對數負

　　冪函式形如y=x^a***a為常數***的函式，[即以底數為自變數指數為常量的函式稱為冪函式。]

　　當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對於a取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函式裡，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。

　　對於a的取]值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們

　　知道如果a=p/q，且p/q為既約分數***即p、q互質***，q和p都是整數，則x^***p/q***=q次根號***x的p次方***，如果q是奇數，函式的定義域是R，如果q是偶數，函式的定義域是[0,+∞***。當指數a是負整數時，設a=-k，則x=1/***x^k***，顯然x≠0，函式的定義域是***-∞，0***∪***0,+∞***。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

　　排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意[實數;

　　排除了為0這種可能，即對於x<0或x>0的所有實數，q不[能是偶數;

　　排除了為負數這種可能，即對於x為大於或等於0的所有實數，a就不能是負數。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數;

　　如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0 的所有實數。

　　在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。

　　在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。

　　而只有a為正數，0才進入函式的值域。

　　由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，

　　因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況.

　　可以看到：