人教版高一數學函式知識點

　　函式是高一數學科目中非常重要的內容，需要重點掌握相關知識點，下面是小編給大家帶來的高一數學函式知識點，希望對你有幫助。

　　

　　一、一次函式定義與定義式：

　　自變數x和因變數y有如下關係：

　　y=kx+b

　　則此時稱y是x的一次函式。

　　特別地，當b=0時，y是x的正比例函式。

　　即：y=kx***k為常數，k≠0***

　　二、一次函式的性質：

　　1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

　　即：y=kx+b***k為任意不為零的實數b取任何實數***

　　2.當x=0時，b為函式在y軸上的截距。

　　三、一次函式的影象及性質：

　　1.作法與圖形：通過如下3個步驟

　　***1***列表;

　　***2***描點;

　　***3***連線，可以作出一次函式的影象——一條直線。因此，作一次函式的影象只需知道2點，並連成直線即可。***通常找函式影象與x軸和y軸的交點***

　　2.性質：***1***在一次函式上的任意一點P***x，y***，都滿足等式：y=kx+b。***2***一次函式與y軸交點的座標總是***0，b***，與x軸總是交於***-b/k，0***正比例函式的影象總是過原點。

　　3.k，b與函式影象所在象限：

　　當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

　　當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

　　當b>0時，直線必通過一、二象限;

　　當b=0時，直線通過原點

　　當b<0時，直線必通過三、四象限。

　　特別地，當b=O時，直線通過原點O***0，0***表示的是正比例函式的影象。

　　這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

　　四、確定一次函式的表示式：

　　已知點A***x1，y1***;B***x2，y2***，請確定過點A、B的一次函式的表示式。

　　***1***設一次函式的表示式***也叫解析式***為y=kx+b。

　　***2***因為在一次函式上的任意一點P***x，y***，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　***3***解這個二元一次方程，得到k，b的值。

　　***4***最後得到一次函式的表示式。

　　五、一次函式在生活中的應用：

　　1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函式。s=vt。

　　2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。

　　六、常用公式：

　　1.求函式影象的k值：***y1-y2***/***x1-x2***

　　2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

　　3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

　　4.求任意線段的長：√***x1-x2***’2+***y1-y2***’2***注：根號下***x1-x2***與***y1-y2***的平方和***

　　二次函式

　　I.定義與定義表示式

　　一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

　　y=ax’2+bx+c

　　***a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.***

　　則稱y為x的二次函式。

　　二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

　　II.二次函式的三種表示式

　　一般式：y=ax’2+bx+c***a，b，c為常數，a≠0***

　　頂點式：y=a***x-h***’2+k[拋物線的頂點P***h，k***]

　　交點式：y=a***x-x₁******x-x₂***[僅限於與x軸有交點A***x₁，0***和B***x₂，0***的拋物線]

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係:

　　h=-b/2ak=***4ac-b’2***/4ax₁,x₂=***-b±√b’2-4ac***/2a

　　III.二次函式的影象

　　在平面直角座標系中作出二次函式y=x’2的影象，

　　可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。

　　IV.拋物線的性質

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

　　x=-b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸***即直線x=0***

　　2.拋物線有一個頂點P，座標為

　　P***-b/2a，***4ac-b’2***/4a***

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b’2-4ac=0時，P在x軸上。

　　3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時***即ab>0***，對稱軸在y軸左;

　　當a與b異號時***即ab<0***，對稱軸在y軸右。

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交於***0，c***

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ=b’2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ=b’2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ=b’2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數***x=-b±√b’2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a***

　　V.二次函式與一元二次方程

　　特別地，二次函式***以下稱函式***y=ax’2+bx+c，

　　當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程***以下稱方程***，

　　即ax’2+bx+c=0

　　此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。

　　函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

　　1.二次函式y=ax’2，y=a***x-h***’2，y=a***x-h***’2+k，y=ax’2+bx+c***各式中，a≠0***的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：

解析式	頂點座標	對稱軸
y=ax’2	***0，0***	x=0
y=a***x-h***’2	***h，0***	x=h
y=a***x-h***’2+k	***h，k***	x=h
y=ax’2+bx+c	***-b/2a，[4ac-b’2]/4a***	x=-b/2a

　　當h>0時，y=a***x-h***’2的圖象可由拋物線y=ax’2向右平行移動h個單位得到，

　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

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