初中等角三角形綜合知識歸納

　　幾何可以說佔了初中數學的半壁江山，囊括了包括等角三角形在內的無數重點知識、難點知識、無數的中考考點。為此，以下是小編分享給大家的初中等角三角形綜合知識，希望可以幫到你!

　　初中等角三角形綜合知識

　　第一章圖形的初步認識

　　考點一、線段垂直平分線，角的平分線，垂線

　　1、線段垂直平分線的性質定理及逆定理

　　垂直於一條線段並且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

　　線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

　　2、角的平分線及其性質

　　一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。角的平分線有下面的性質定理：

　　***1***角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

　　***2***到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

　　3垂線的性質：

　　性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

　　性質2：直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。考點二、平行線

　　1、平行線的概念

　　在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。同一平面內，兩條直線的位置關係只有兩種：相交或平行。

　　4、平行線的性質

　　***1***兩直線平行，同位角相等;***2***兩直線平行，內錯角相等;***3***兩直線平行，同旁內角互補。

　　考點三、投影與檢視

　　1、投影

　　投影的定義：用光線照射物體，在地面上或牆壁上得到的影子，叫做物體的投影。平行投影：由平行光線***如太陽光線***形成的投影稱為平行投影。

　　中心投影：由同一點發出的光線所形成的投影稱為中心投影。

　　2、檢視

　　當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的影象叫做物體的一個檢視。物體的三檢視特指主檢視、俯檢視、左檢視。

　　主檢視：在正面內得到的由前向後觀察物體的檢視，叫做主檢視。

　　俯檢視：在水平面內得到的由上向下觀察物體的檢視，叫做俯檢視。

　　左檢視：在側面內得到的由左向右觀察物體的檢視，叫做左檢視，有時也叫做側檢視。

　　第二章三角形

　　考點一、三角形

　　1、三角形的分類

　　三角形按邊的關係分類如下：

　　不等邊三角形

　　三角形底和腰不相等的等腰三角形

　　等腰三角形

　　等邊三角形

　　三角形按角的關係分類如下：

　　直角三角形***有一個角為直角的三角形***

　　三角形銳角三角形***三個角都是銳角的三角形***

　　斜三角形

　　鈍角三角形***有一個角為鈍角的三角形***

　　把邊和角聯絡在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。

　　2、三角形的三邊關係定理及推論

　　***1***三角形三邊關係定理：三角形的兩邊之和大於第三邊。

　　推論：三角形的兩邊之差小於第三邊。

　　3、三角形的內角和定理及推論

　　三角形的內角和定理：三角形三個內角和等於180°。

　　推論：

　　①直角三角形的兩個銳角互餘。

　　②三角形的一個外角等於和它不相鄰的來兩個內角的和。

　　③三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。

　　注：在同一個三角形中：等角對等邊;等邊對等角;大角對大邊;大邊對大角。

　　4、三角形的面積

　　三角形的面積=1×底×高 2

　　考點二、全等三角形

　　1、全等三角形的概念

　　能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。。

　　2、三角形全等的判定

　　三角形全等的判定定理：

　　***1***邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等***可簡寫成“邊角邊”或“SAS ”***

　　***2***角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等***可簡寫成“角邊角”或“ASA ”***

　　***3***邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等***可簡寫成“邊邊邊”或“SSS ”***。直角三角形全等的判定：

　　對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL 定理***斜邊、直角邊定理***：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等***可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL ”***

　　3、全等變換

　　只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。

　　全等變換包括一下三種：

　　***1***平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

　　***2***對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換。

　　***3***旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換。考點三、等腰三角形

　　1、等腰三角形的性質

　　***1***等腰三角形的性質定理及推論：

　　定理：等腰三角形的兩個底角相等***簡稱：等邊對等角***

　　推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊並且垂直於底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

　　推論2：等邊三角形的各個角都相等，並且每個角都等於60°。

　　2、三角形中的中位線

　　連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

　　***1***三角形共有三條中位線，並且它們又重新構成一個新的三角形。

　　***2***要會區別三角形中線與中位線。

　　三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半。

　　三角形中位線定理的作用：

　　位置關係：可以證明兩條直線平行。

　　數量關係：可以證明線段的倍分關係。

　　常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

　　結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

　　結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

　　結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

　　結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

　　結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

　　第三章解直角三角形

　　考點一、直角三角形的性質

　　1、直角三角形的兩個銳角互餘

　　2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。

　　3、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半

　　4直角三角形兩直角邊a ，b 的平方和等於斜邊c 的平方，即

　　a 2+b 2=c 2

　　5、攝影定理

　　在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中

　　項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項

　　∠ACB=90

　　CD 2=AD ∙BD

　　AC 2=AD ∙AB

　　CD ⊥BC 2=BD ∙AB

　　6、常用關係式

　　由三角形面積公式可得：

　　AB ∙CD=AC∙BC

　　考點二、銳角三角函式的概念 ***3~8分***

　　1、如圖，在△ABC 中，∠C=90°

　　①sin A =∠A 的對邊a = 斜邊c

　　∠A 的鄰邊b = 斜邊c ②cos A =

　　③tan A =∠A 的對邊a = ∠A 的鄰邊b

　　∠A 的鄰邊b =

　　∠A 的對邊a ④cot A =

　　***1***互餘關係：sinA=cos***90°—A*** ，cosA=sin***90°—A*** ，tanA=cot***90°—A*** ，cotA=tan***90°—A***

　　***2***平方關係：sin A +cos A =1

　　***3***倒數關係：tanA ∙tan***90°—A***=1

　　***4***弦切關係：tanA=22sin A cos A

　　初中等角三角形做題技巧

　　一般來說考試中線段和角相等需要證明兩個三角形全等，故我們可以採取逆思維的方式。來想要證全等，則需要什麼***AAS/ASA/SAS等***。在我看來，覺得先邊看題邊看圖，做到數形結合，弄明白題意，找出我們要求解的實質的問題。例如要我們求線段相等或角相等，我們就要轉化成證明兩個三角形全等。我覺得分析題意很重要，一定要使學生學會分析，就如“授之以魚不如授之以漁。”

　　我們已經具備了有關線的初步知識，轉而探索具有更美妙、更復雜性質的形。對於三角形，一方面要研究一個圖形中不同元素***邊、角***間的性質，另一方面要關注兩個圖形間的關係。兩個圖形關係的有關全等的內容，則是平面幾何中的一個重點，是證明線段相等、角相等以及面積相等的有力工具。那麼如何學好三角形全等的證明呢?這就要勤思考，小步走，進行由易到難的訓練，實現由模仿證明到獨立推理、由實***題目已有現成圖形***到虛***要自己畫圖形或需要新增輔助線***的昇華。具體可分為三步走：

　　第一步，學會解決只證一次全等的簡單問題，重在模仿。這期間要注意模仿課本例題的證明，使自己的證明格式標準，語言準確，過程簡練。如證明兩個三角形全等，一定要寫出在哪兩個三角形，這既方便批閱者，更為以後在複雜圖形中有意識去尋找需要的全等三角形打下基礎;同時要注意頂點的對應，以防對應關係出錯;證全等所需的三個條件，要用大括號括起來;每一步要填注理由，訓練思維的嚴密性。通過一段時間的訓練，對證明方向明確、內容變化少的題目，要能熟練地獨立證明，切實邁出堅實的第一步。

　　第二步，能在一個題目中兩次用全等證明過渡性結論和最終結論，學會分析。在學習直角三角形全等、等腰三角形時逐步加深難度，學會一個題目中兩次證全等，特別要學會用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強，條理清楚，結合綜合法，能有效解決較複雜的題目。同時，這時的題目一般都不只一種解法，要力求一題多解，比較優劣，總結規律。

　　第三步，學會命題的證明，初步掌握新增輔助線的常用方法。命題的證明可全面錘鍊數學語言***包括圖形語言***的運用能力，輔助線則在已知和未知間架起一座溝通的橋樑，這都有一定的難度，切勿放鬆努力，前功盡棄。同時要熟悉一些基本圖形的性質，如“角平分線+垂直=全等三角形”。證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時學習中就要積累在哪些情況下存在或可推出邊等***或線段等***、角等。爛熟於心，應用起來自然會得心應手。

　　只要一步步紮實做好這些工作，就會在“邊邊角角”中發現幾何的奧妙，大增學習的興趣。通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。