考研高數不定式求極限解題方法

　　高數不定式求極限是考研中出現的最多的，也是經常考的，把出題點的做題方法多研究研究，對考研還是有很大的幫助的，今天小編給大家整理了一些知識，希望對大家有所幫助。

　　不定式求極限問題的方法

　　2018考研數學高數裡要牢記的知識點

　　1.函式、極限與連續

　　重點考查極限的計算、已知極限確定原式中的未知引數、函式連續性的討論、間斷點型別的判斷、無窮小階的比較、討論連續函式在給定區間上零點的個數、確定方程在給定區間上有無實根。

　　2.一元函式微分學

　　重點考查導數與微分的定義、函式導數與微分的計算***包括隱函式求導***、利用洛比達法則求不定式極限、函式極值與最值、方程根的個數、函式不等式的證明、與中值定理相關的證明、在物理和經濟等方面的實際應用、曲線漸近線的求法。

　　3.一元函式積分學

　　重點考查不定積分的計算、定積分的計算、廣義積分的計算及判斂、變上限函式的求導和極限、利用積分中值定理和積分性質的證明、定積分的幾何應用和物理應用。

　　4.向量代數與空間解析幾何***數一***

　　主要考查向量的運算、平面方程和直線方程及其求法、平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，並會利用平面、直線的相互關係***平行、垂直、相交等******解決有關問題等，該部分一般不單獨考查，主要作為曲線積分和曲面積分的基礎。

　　5.多元函式微分學

　　重點考查多元函式極限存在、連續性、偏導數存在、可微分及偏導連續等問題、多元函式和隱函式的一階、二階偏導數求法、有條件極值和無條件極值。另外，數一還要求掌握方向導數、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。

　　6.多元函式積分學

　　重點考查二重積分在直角座標和極座標下的計算、累次積分、積分換序。此外，數一還要求掌握三重積分的計算、兩類曲線積分和兩種曲面積分的計算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

　　7.無窮級數***數一、數三***

　　重點考查正項級數的基本性質和斂散性判別、一般項級數絕對收斂和條件收斂的判別、冪級數收斂半徑、收斂域及和函式的求法以及冪級數在特定點的展開問題。

　　8.常微分方程及差分方程

　　重點考查一階微分方程的通解或特解、二階線性常係數齊次和非齊次方程的特解或通解、微分方程的建立與求解。此外，數三考查差分方程的基本概念與一介常係數線形方程求解方法。數一還要求會伯努利方程、尤拉公式等。

　　第一，極限的定義。理解數列極限和函式極限的定義，最好記住其定義。

　　第二，極限的性質。唯一性，有界性，保號性和保不等式性要理解，重點理解保號性和保不等式性，在考研真題裡面經常考查，而性質的本身並不難理解，關鍵是在做題目的時候怎麼能想到，所以同學們在做題目的時候可以看看什麼情況下利用了極限的保號性，例如：題目中有一點的導數大於零或者小於零，或者給定義數值，可以根據這個數值大於零或小於零，像這樣的情況，就可以寫出這一點的導數定義，利用極限的保號性，得出相應的結論，切記要根據題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學們在做題時多去總結。

　　第三，極限的計算。這一部分是重中之重，這也是三大計算中的第一大計算，每年必考的題目，所以需要同學們能夠熟練地掌握並會計算不同型別的極限計算。首先要知道基本的極限的計算方法，比如：四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、重要極限、單側極限、夾逼定理、單調有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計算的注意事項及拓展，比如：四則運算中掌握“抓大頭”思想***兩個多項式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計算結果即可***，等價無窮小替換中要掌握等價無窮小替換隻能在乘除法中直接應用，加減法中不能直接應用，如需應用必須加附加條件，計算中要掌握基本的等價無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎麼推廣，也就是將等價無窮小替換公式中的x用f***x***來替換，並且要驗證在x趨於某一變化過程中f***x***會否趨近於零，滿足則可以利用推廣後的等價無窮替換公式，否則不能。

　　下面給出推廣後公式：f***x***→0,f***x***～sinf***x***～arcsinf***x***～tanf***x***～arctanf***x***～expf***x***-1～ln***f***x***+1***,1-cosf***x***～0.5***f***x******2,***1+f***x******a～af***x***。

　　第三要能將變形的無窮小替換公式轉化為標準形式，比如：公式中固定出現的“1”和f***x***為無窮小量。希望同學們在做題目的時候多加註意，熟能生巧。

　　極限的第三種方法就是洛必達法則。首先，要想在極限中使用洛必達法則就必須要滿足洛必達法則，說到這裡有很多同學會打個問號，什麼法則，不就是上下同時求導?其實不盡然。

　　洛必達有兩種，無窮比無窮，零比零，分趨近一點和趨近於無窮兩種情況，以趨近於一點來說明法則條件，

　　條件一：零比零或者無窮比無窮***0/0，∞/∞***;條件二：趨近於這一點的去心領域內可導，且分母導數不為零;條件三：分子導數比分母導數的極限存在或者為無窮，則原極限等於導數比的極限。

　　在這裡要注意極限計算中使用洛必達法則必須同時滿足這三個條件，缺一不可，特別要注意條件三，導數比的極限一定是存在或者為無窮，不能把無窮認為是極限不存在，因為極限不存在還包括極限不存在也不為無窮這種情況，比如：x趨近於零，sin***1/x***的極限不存在也不為無窮。每次使用都必須驗證三條件是否同時滿足。

　　再來看看重要極限，重要極限有兩個，一個是x趨近於零時，sinx/x趨近於零，另一個是x趨近於零時，***1+x***1/x趨近於e，或者寫成x趨近於無窮，***1+1/x***x趨近於e***1∞形式***，總結起來就是***1+無窮小量***無窮小量的倒數，所以要記住重要極限的特點，並可以將其推廣，即把x換成f***x***，在f***x***趨近零，sinf***x***/f***x***趨近於零，***1+f***x******1/f***x***趨近於e，或f***x***趨近無窮，***1+1/f***x******f***x***趨近於e，還要注意當給你冪指函式的極限計算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應的形式就可以得出結論。

　　這裡還要特別的提一下幾個未定式***∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞***，這五個未定式需要轉化為0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通過通分、提取或者代換將其轉化，0·∞可以將0或者∞放在分母上，以實現轉化，1∞，00，∞∞利用對數恆等變化來實現轉化，其中1∞還可以利用重要極限計算。

　　綜上所述，等價無窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉化為標準形式，並且給定一個極限首要任務就是利用等價無窮替換公式化簡。洛必達法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉化為0/0或∞/∞，計算時注意滿足洛必達法則的三個條件，希望同學們可以掌握基礎，靈活地解決不同型別的極限。