山西省太原市高二期末文理科數學試卷
學生免不了要做大量的試卷,這樣比較容易讓學生適應高考,下面的小編將為大家帶來山西太原的高二的數學試卷的介紹,希望能夠幫助到大家。
山西省太原市高二期末理科數學試卷
一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分.在每個小題給出的四個選項中,有且只有一項符合題目要求.
1.命題“若x2,則x1”的逆否命題是*** ***
A.若x2,則x1 B.若x2,則x1 C.若x1,則x2 D.若x1,則x2
2.拋物線y2=8x的準線方程是*** ***
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
3.已知空間向量=***0,1,1***,=***﹣1,0,1***,則與的夾角為*** ***
A. B. C. D.
4.焦點在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是*** ***
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
5.已知兩條直線a,b和平面α,若bα,則ab是aα的*** ***
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
6.已知橢圓C經過點***1,0***,***0,2***,則橢圓C的標準方程為*** ***
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
7.已知橢圓=1***0b<2***的左、右焦點分別為F1,F2,直線l過F2且與橢圓相交於不同的兩點A,B,那麼ABF1的周長*** ***
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值,與直線l的傾斜角大小有關
D.不是定值,與b取值大小有關
8.如圖,在四面體ABCD中,=,點M在AB上,且AM=AB,點N是CD的中點,則=*** ***
A. B. C. D.
9.對於雙曲線C1:=1和C2:=1,給出下列四個結論:
***1***離心率相等;***2***漸近線相同;***3***沒有公共點;***4***焦距相等,其中正確的結論是*** ***
A.***1******2******4*** B.***1******3******4*** C.***2******3******4*** D.***2******4***
10.已知=***1,2,3***,=***2,1,2***,=***1,1,2***,點Q在直線OP上運動,則當取得最小值時,點Q的座標為*** ***
A. B. C. D.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在*** ***
A.一個橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個圓上
12.已知p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,那麼命題“pq”為真命題的充要條件是*** ***
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.***4分***雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
14.***4分***命題“若x|≠3,則x3”的真假為 .***填“真”或“假”***
15.***4分***橢圓的焦點為F1,F2,點P在橢圓上,若PF1|=4,F1PF2的大小為 .
16.***4分***如圖,三稜柱ABC﹣A1B1C1中,點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點,A1O=2,ABBC,AB=BC=點P線上段A1B上,且cosPAO=,則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
三、解答題:本大題共7小題,共48分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.***8分***已知命題p:x∈R,x|+x≥0;q:關於x的方程x2mx+1=0有實數根.
***1***寫出命題p的否定,並判斷命題p的否定的真假;
***2***若命題“pq”為假命題,求實數m的取值範圍.
18.***10分***已知空間四點A***2,0,0***,B***0,2,1***,C***1,1,1***,D***﹣1,m,n***.
***1***若ABCD,求實數m,n的值;
***2***若mn=1,且直線AB和CD所成角的餘弦值為,求實數m的值.
19.***10分***已知拋物線y2=2px***p0***上一點M***1,y***到焦點F的距離為.
***1***求p的值;
***2***若圓***x﹣a***2y2=1與拋物線C有四個不同的公共點,求實數a的取值範圍.
20.***10分***如圖,在三稜錐P﹣ABC中,PC平面ABC,ACB=45°,BC=2,AB=2.
***1***求AC的長;
***2***若PC=,點M在側稜PB上,且,當λ為何值時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
21.如圖,在三稜錐P﹣ABC中,PC平面ABC,PAC=30°,ACB=45°,BC=2,PAAB.
***1***求PC的長;
***2***若點M在側稜PB上,且,當λ為何值時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
22.***10分***已知橢圓E:=1***ab>0***的離心率為,右焦點為F,橢圓與y軸的正半軸交於點B,且BF|=.
***1***求橢圓E的方程;
***2***若斜率為1的直線l經過點***1,0***,與橢圓E相交於不同的兩點M,N,在橢圓E上是否存在點P,使得PMN的面積為,請說明理由.
23.已知橢圓E:=1***ab>0***的離心率為,過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為.
***1***求橢圓E的方程;
***2***斜率為k的直線l經過原點,與橢圓E相交於不同的兩點M,N,判斷並說明在橢圓E上是否存在點P,使得PMN的面積為.
2016-2017學年山西省太原市高二***上***期末數學試卷***理科***
參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共12小題,每小題3分,共36分.在每個小題給出的四個選項中,有且只有一項符合題目要求.
1.命題“若x2,則x1”的逆否命題是*** ***
A.若x2,則x1 B.若x2,則x1 C.若x1,則x2 D.若x1,則x2
【分析】根據逆否命題的定義,結合已知中的原命題,可得答案.
【解答】解:命題“若x2,則x1”的逆否命題是“若x1,則x2”,
故選:C
【點評】本題考查的知識點是四種命題,難度不大,屬於基礎題.
2.***2017•和平區模擬***拋物線y2=8x的準線方程是*** ***
A.x=2 B.y=2 C.x=﹣2 D.y=﹣2
【分析】利用拋物線的準線方程求解即可.
【解答】解:拋物線y2=8x的準線方程是x=﹣=﹣2,
故選:C
【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用,基本知識的考查.
3.已知空間向量=***0,1,1***,=***﹣1,0,1***,則與的夾角為*** ***
A. B. C. D.
【分析】由已知中向量,,求出兩個向量的模和數量積,代入夾角餘弦公式,可得答案.
【解答】解:空間向量=***0,1,1***,=***﹣1,0,1***,
與的夾角θ滿足,
cosθ===,
θ=,
故選:A
【點評】本題考查的知識點是向量的數量積運算,向量的夾角,向量的模,難度中檔.
4.焦點在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是*** ***
A.x2﹣=1 B.=1 C.=1 D.y2﹣=1
【分析】利用焦點在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程,結合選項,即可得出結論.
【解答】解:由題意,焦點在x軸上,且漸近線方程為y=2x的雙曲線的方程是x2﹣=1,
故選A.
【點評】本題考查雙曲線的方程與性質,比較基礎.
5.***2013•泉州二模***已知兩條直線a,b和平面α,若bα,則ab是aα的*** ***
A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【分析】我們先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假,然後利用充要條件的定義,我們易得到ab是aα的關係.
【解答】解:當bα是
若ab時,a與α的關係可能是aα,也可能是aα,即aα不一定成立,故ab⇒a∥α為假命題;
若aα時,a與b的關係可能是ab,也可能是a與b異面,即ab不一定成立,故aα⇒a∥b也為假命題;
故ab是aα的既不充分又不必要條件
故選D
【點評】本題考查的知識點是充要條件,直線與平面平行關係的判斷,先判斷ab⇒a∥α與aα⇒a∥b的真假,然後利用充要條件的定義得到結論是證明充要條件的常規方法,要求大家熟練掌握.
6.已知橢圓C經過點***1,0***,***0,2***,則橢圓C的標準方程為*** ***
A.x2=1 B.y2=1 C.x2=1 D.y2=1
【分析】橢圓C經過點***1,0***,***0,2***,則橢圓C的焦點在y軸上,設標準方程為=1***ab>0***.即可得出.
【解答】解:橢圓C經過點***1,0***,***0,2***,
則橢圓C的焦點在y軸上,設標準方程為=1***ab>0***.
則a=2,b=1.
橢圓C的標準方程為=1.
故選:C.
【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質,考查了推理能力與計算能力,屬於基礎題.
7.已知橢圓=1***0b<2***的左、右焦點分別為F1,F2,直線l過F2且與橢圓相交於不同的兩點A,B,那麼ABF1的周長*** ***
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值,與直線l的傾斜角大小有關
D.不是定值,與b取值大小有關
【分析】由題意畫出圖形,可得ABF1的周長為4a,則答案可求.
【解答】解:如圖,
橢圓=1***0b<2***,
橢圓的長軸長為2a=4,
ABF1的周長=4a=8.
故選:B.
【點評】本題考查橢圓的定義,考查數形結合的解題思想方法,是基礎題.
8.如圖,在四面體ABCD中,=,點M在AB上,且AM=AB,點N是CD的中點,則=*** ***
A. B. C. D.
【分析】由已知可得==++,進而得到答案.
【解答】解:點M在AB上,且AM=AB,點N是CD的中點,
=,=,
=+=++,
又=,
=,
故選:B.
【點評】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用,向量的線性運算,難度中檔.
9.對於雙曲線C1:=1和C2:=1,給出下列四個結論:
***1***離心率相等;***2***漸近線相同;***3***沒有公共點;***4***焦距相等,其中正確的結論是*** ***
A.***1******2******4*** B.***1******3******4*** C.***2******3******4*** D.***2******4***
【分析】利用方程,分別計算離心率、漸近線、焦距,即可得出結論.
【解答】解:由題意,雙曲線C1:=1,C2:=1,
***1***離心率分別為,;***2***漸近線相同,為y=x;***3***沒有公共點;***4***焦距相等,為10,
故選C.
【點評】本題考查雙曲線的性質,考查學生的計算能力,比較基礎.
10.已知=***1,2,3***,=***2,1,2***,=***1,1,2***,點Q在直線OP上運動,則當取得最小值時,點Q的座標為*** ***
A. B. C. D.
【分析】可先設Q***x,y,z***,由點Q在直線OP上可得Q***λ,λ,2λ***,則由向量的數量積的座標表示可得=2***3λ2﹣8λ5***,根據二次函式的性質可求,取得最小值時的λ,進而可求Q
【解答】解:設Q***x,y,z***
由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得,則有Q***λ,λ,2λ***
,
當=***1﹣λ******2﹣λ******2﹣λ******1﹣λ******3﹣2λ******2﹣2λ***=2***3λ2﹣8λ5***
根據二次函式的性質可得當時,取得最小值此時Q
故選:C
【點評】本題主要考查了平面向量的共線定理的應用,解題的關鍵是由點Q在直線OP上可得存在實數λ使得,進而有Q***λ,λ,2λ***,然後轉化為關於λ的二次函式,根據二次函式知識求解最值,體現了轉化思想在解題中的應用.
11.與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切的圓的圓心在*** ***
A.一個橢圓上 B.雙曲線的一支上
C.一條拋物線上 D.一個圓上
【分析】設動圓P的半徑為r,然後根據動圓與圓x2y2=1及圓x2y2﹣8x12=0都外切得PF|=2+r、PO|=1+r,再兩式相減消去引數r,則滿足雙曲線的定義,問題解決.
【解答】解:設動圓的圓心為P,半徑為r,而圓x2y2=1的圓心為O***0,0***,半徑為1;圓x2y2﹣8x12=0的圓心為F***4,0***,半徑為2.
依題意得PF|=2+r,PO|=1+r,則PF|﹣PO|=***2r***﹣***1r***=1FO|,所以點P的軌跡是雙曲線的一支.
故選B.
【點評】本題主要考查圓與圓的位置關係,考查雙曲線的定義,屬於基礎題.
12.已知p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,那麼命題“pq”為真命題的充要條件是*** ***
A.a﹣2或a=1 B.a﹣2或1a≤2 C.a1 D.﹣2a≤1
【分析】p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,可得a***x2***min.q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,則0,解得a,即可得出命題“pq”為真命題的充要條件.
【解答】解:p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,a≤***x2***min,a≤1.
q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,則=4a2﹣4***2﹣a***0,解得a1,或a﹣2.
那麼命題“pq”為真命題的充要條件是,解得a=1或a﹣2.
故選:A.
【點評】本題考查了不等式的解法、充要條件的判定、函式的性質、一元二次方程的實數根與判別式的關係,考查了推理能力與計算能力,屬於中檔題.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.
13.***4分***雙曲線x2﹣y2=1的離心率為 .
【分析】根據題意,由雙曲線的方程分析可得a=1,b=1,結合雙曲線的幾何性質可得c的值,進而由離心率計算公式計算可得答案.
【解答】解:根據題意,雙曲線的方程為x2﹣y2=1,變形可得﹣=1,
則a=1,b=1,
則有c==,
則其離心率e==,
故答案為:.
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質,要從雙曲線的標準方程分析得到a、b的值.
14.***4分***命題“若x|≠3,則x3”的真假為 真 .***填“真”或“假”***
【分析】若x|≠3,則x3且x﹣3,x≠3
【解答】解:若x|≠3,則x3且x﹣3,x≠3,
故答案為:真
【點評】本題考查了命題真假的判定,屬於基礎題.
15.***4分******2014•開封一模***橢圓的焦點為F1,F2,點P在橢圓上,若PF1|=4,F1PF2的大小為 120° .
【分析】由PF1|+|PF2|=6,且PF1|=4,易得PF2|,再利用餘弦定理,即可求得結論.
【解答】解:PF1|+|PF2|=2a=6,PF1|=4,
PF2|=6﹣PF1|=2.
在F1PF2中,cosF1PF2==﹣,
F1PF2=120°.
故答案為:120°
【點評】本題主要考查橢圓定義的應用及焦點三角形問題,考查餘弦定理的運用,考查學生的計算能力,屬於基礎題.
16.***4分***如圖,三稜柱ABC﹣A1B1C1中,點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點,A1O=2,ABBC,AB=BC=點P線上段A1B上,且cosPAO=,則直線AP與平面A1AC所成角的正弦值為 .
【分析】取AA1的中點H,連結PO,PH,AN.則PH面AA1C,APO為直角三角形,且cosPAO=,得AP
PAH為直線AP與平面A1AC所成角,sinPAH=.
【解答】解:AB⊥BC,AB=BC=,AC=2,AO=1.
點A1在平面ABC內的射影O為AC的中點,A1O=2,ABBC,
AO,BO,A1O互相垂直,即面ABC,面AA1C,面A1OB互相垂直,
取AA1的中點H,連結PO,PH,AN.則PH面AA1C
APO為直角三角形,且cosPAO=,AP=,
PAH為直線AP與平面A1AC所成角,sinPAH=.
故答案為:
【點評】本題考查了空間角的求解,屬於中檔題.
三、解答題:本大題共7小題,共48分.解答應寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.
17.***8分***已知命題p:x∈R,x|+x≥0;q:關於x的方程x2mx+1=0有實數根.
***1***寫出命題p的否定,並判斷命題p的否定的真假;
***2***若命題“pq”為假命題,求實數m的取值範圍.
【分析】***1***命題p的否定:存在x0R,x0|+x0<0.容易判斷真假.
***2***命題p:x∈R,x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題,可得q為假命題.因此關於x的方程x2mx+1=0沒有實數根.因此0,解得m範圍.
【解答】解:***1***命題p的否定:存在x0R,x0|+x0<0.是一個假命題.
***2***命題p:x∈R,x|+x≥0是真命題;命題“pq”為假命題,q為假命題.
因此關於x的方程x2mx+1=0沒有實數根.=m2﹣40,解得﹣2m<2.
實數m的取值範圍是***﹣2,2***.
【點評】本題考查了絕對值不等式的解法、充要條件的判定、一元二次方程的實數根與判別式的關係,考查了推理能力與計算能力,屬於中檔題.
18.***10分***已知空間四點A***2,0,0***,B***0,2,1***,C***1,1,1***,D***﹣1,m,n***.
***1***若ABCD,求實數m,n的值;
***2***若mn=1,且直線AB和CD所成角的餘弦值為,求實數m的值.
【分析】***1***=***﹣2,2,1***,=***﹣2,m﹣1,n﹣1***,利用ABCD,即可求實數m,n的值;
***2***若mn=1,且直線AB和CD所成角的餘弦值為,即=,即可求實數m的值.
【解答】解:***1***=***﹣2,2,1***,=***﹣2,m﹣1,n﹣1***,
AB∥CD,
m﹣1=2,n﹣1=1,
m=3,n=2;
***2***由題意,=,mn=1,
m=3.
【點評】本題考查空間角的計算,考查向量知識的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬於中檔題.
19.***10分***已知拋物線y2=2px***p0***上一點M***1,y***到焦點F的距離為.
***1***求p的值;
***2***若圓***x﹣a***2y2=1與拋物線C有四個不同的公共點,求實數a的取值範圍.
【分析】***1***根據拋物線的性質即可求出;
***2***聯立方程組,根據題意可得,解得即可.
【解答】解:***1***拋物線y2=2px***p0***上一點M***1,y***到焦點F的距離為.
則1=,
解得p=,
***2***由***1***以及已知得,
即4x2***1﹣8a***x4a2﹣4=0有兩個不相等的實數根,
則,
解得1a<,
則實數a的取值範圍為***1,***
【點評】本題考查圓與拋物線的位置關係,考查學生分析轉化問題的能力,考查計算能力,正確合理轉化是關鍵.
20.***10分***如圖,在三稜錐P﹣ABC中,PC平面ABC,ACB=45°,BC=2,AB=2.
***1***求AC的長;
***2***若PC=,點M在側稜PB上,且,當λ為何值時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】***1***由已知條件利用餘弦定理,利能求出AC.
***2***以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角座標系,求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量,利用向量法能求出當λ=1時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解::***1***在ABC中,
由余弦定理得AB2=BC2AC2﹣2BCAC×cos∠ACB,
得4=8AC2+﹣4AC,解得AC=2.
***2***PC⊥平面ABC,PAAB,AB⊥AC,
以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角座標系,
B***2,0,0***,C***0,2,0***,P***0,2,***,
點M在側稜PB上,且=,
M***,,***,
設平面ACM的一個法向量為=***x,y,z***,
則,取z=1,得=***﹣,0,1***,
平面ABC的一個法向量=***0,0,1***,
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°,
cos30°===,
解得λ=1或λ=﹣1***舍***,
當λ=1時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點評】本題考查線段長的求法,考查滿足條件的實數值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
21.如圖,在三稜錐P﹣ABC中,PC平面ABC,PAC=30°,ACB=45°,BC=2,PAAB.
***1***求PC的長;
***2***若點M在側稜PB上,且,當λ為何值時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【分析】***1***以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角座標系,利用向量法能求出PC.
***2***求出平面ACM的一個法向量和平面ABC的一個法向量,利用向量法能求出當λ=1時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【解答】解:***1***PC⊥平面ABC,PAAB,AB⊥AC,
以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,過A作平面ABC的垂線為z軸,建立空間直角座標系,
PA⊥AB,=0,
******•******==0,
PC⊥平面ABC,•=0,=0,
﹣|•||cos∠ACB+||2=0,
即﹣,
解得AC=2,
在Rt中,PC=ACsin30°=.
***2***B***2,0,0***,C***0,2,0***,P***0,2,***,
點M在側稜PB上,且,
M***,,***,
設平面ACM的一個法向量為=***x,y,z***,
則,取z=1,得=***﹣***,
平面ABC的一個法向量=***0,0,1***,
二面角B﹣AC﹣M的大小為30°,
cos30°==,
解得λ=1或λ=﹣1***舍***,
當λ=1時,二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
【點評】本題考查線段長的求法,考查滿足條件的實數值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
22.***10分***已知橢圓E:=1***ab>0***的離心率為,右焦點為F,橢圓與y軸的正半軸交於點B,且BF|=.
***1***求橢圓E的方程;
***2***若斜率為1的直線l經過點***1,0***,與橢圓E相交於不同的兩點M,N,在橢圓E上是否存在點P,使得PMN的面積為,請說明理由.
【分析】***1***由題意求得a,c的值,結合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
***2***設出P點座標及直線l的方程,由PMN的面積為求得點P到直線l的距離為1,再設出過點P與直線l平行的直線l1:y=xm.與橢圓方程聯立,由判別式等於0求得m值,再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離,與1比較得答案.
【解答】解:***1***由題意,,得c=1,b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為:;
***2***存在.
設點P***x,y***,直線l的方程為y=x﹣1.
由,得M***0,﹣1***,N******,
則MN|=.
則點P到直線l的距離為.
設過點P與直線l平行的直線l1:y=xm.
聯立,得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12***2m2﹣2***=0,解得m=.
當m=時,l與l1之間的距離為1;
當m=﹣時,l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點P,使得PMN的面積為.
【點評】本題考查橢圓的簡單性質,考查了直線與橢圓位置關係的應用,屬中檔題.
23.已知橢圓E:=1***ab>0***的離心率為,過焦點垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為.
***1***求橢圓E的方程;
***2***斜率為k的直線l經過原點,與橢圓E相交於不同的兩點M,N,判斷並說明在橢圓E上是否存在點P,使得PMN的面積為.
【分析】***1***由題意求得a,c的值,結合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;
***2***設出P點座標及直線l的方程,由PMN的面積為求得點P到直線l的距離為1,再設出過點P與直線l平行的直線l1:y=xm.與橢圓方程聯立,由判別式等於0求得m值,再結合兩平行線間的距離公式求出l與l1之間的距離,與1比較得答案.
【解答】解:***1***由題意,,得c=1,b2=a2﹣c2=1.
則橢圓E的方程為:;
***2***存在.
設點P***x,y***,直線l的方程為y=x﹣1.
由,得M***0,﹣1***,N******,
則MN|=.
則點P到直線l的距離為.
設過點P與直線l平行的直線l1:y=xm.
聯立,得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12***2m2﹣2***=0,解得m=.
當m=時,l與l1之間的距離為1;
當m=﹣時,l與l1之間的距離為1.
則在橢圓E上存在點P,使得PMN的面積為.
【點評】本題考查橢圓的簡單性質,考查了直線與橢圓位置關係的應用,屬中檔題.
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