中國的行政區劃
[拼音]:ziyou bianjie wenti
[外文]:free boundary problem
一個偏微分方程的定解問題,若其定解區域的部分邊界是待定的,它和定解問題的解彼此相關且必須同時確定。這類定解問題,人們稱之為自由邊界問題,其待定邊界稱為自由邊界。在自由邊界上,除了需要給定通常的定解條件以外,還必須增加一個邊界條件。所有自由邊界問題都是非線性問題。
斯蒂芬問題是一個考慮到相轉換的熱傳導問題。以一維的冰-水的熱傳導問題為例,假設u1、u2分別表示水溫和冰溫,x=h(t)表示相截面(自由邊界),在它上面的水溫和冰溫為已知,且滿足熱平衡條件;
式中L和ki(i=1,2)是物理常數,第二個條件稱為斯蒂芬條件,是J.斯蒂芬於1889年給出的。這類尋求水溫、冰溫以及相截面的熱傳導方程自由邊界問題,稱為斯蒂芬問題(二相)。如果引進表示內能的焓的概念,那麼根據能量守恆定律,熱傳導方程和斯特範條件可以統一為一個積分等式
式中u是溫度,β(u)是焓,
(sg u是符號函式),
此時自由邊界x=h(t)以及斯蒂芬條件作為解 u的弱間斷線和間斷條件由該積分等式直接匯出。在連續可微意義下適合熱傳導方程和斯蒂芬條件的解稱為古典解;在索伯列夫廣義微商意義下適合上述積分等式的解稱為廣義解。
關於斯蒂芬問題的系統理論研究是從20世紀40年代開始的。迄今對一維問題已有較完整的成果,如廣義解和古典解的存在惟一性,自由邊界x=h(t)的無窮次可微性,以及在適當條件下自由邊界x=h(t)的凸性、解析性和漸近性等。對多維問題,一般不存在整體古典解,除了已經知道廣義解的存在惟一性和連續性以外,其他方面還在研究。
自由邊界除了表現為相截面以外,也可以被定義為解與某一已知函式的分離集(或重合集)的邊界。
考慮在外力作用下繃在已知障礙上的膜平衡問題。設u是膜在垂直方向的位移,則由最小勢能原理,u∈K,它使下述泛函取極值:
其中
是索伯列夫空間,g(x,y)是已知障礙,
ƒ(x,y)是垂直方向的外力。集合{(x,y)|u>g}稱為分離集。它的邊界是自由邊界。在自由邊界上,u適合邊界條件u=g,墷u=墷g。對於這個問題已有較系統的成果,如解的存在惟一性和正則性,特別是關於障礙g(x,y)的適當假設下自由邊界的正則性等。
自由邊界問題的研究有著廣泛的實際背景。除了上述兩類自由邊界問題,在滲流力學、等離子物理、塑性力學、射流等方面都提出了各種不同形式的定常和不定常自由邊界問題。