崇禎曆書
[拼音]：BMO kongjian
[英文]：BMO space
有界平均振動空間的簡稱。這是 1961年由 ƒ.約翰和L.尼倫伯格在研究橢圓型偏微分方程的解時所引進的一類函式空間。 它包含著空間L∞（
R
n），又是哈代空間H1（R
n）的對偶空間 （見<H
p 空間）。設ƒ（x）為定義於R
n上的區域性可積函式，Q
為R
n中邊平行座標軸的任一立方體，│Q
│為其體積，ƒ（x）同ƒ(x)在Q
上的平均值
的偏差用│ƒ(x)-ƒQ│表示， 它在
Q
上的平均值
，叫做ƒ(x)在
Q
上的平均振幅。如果ƒ(x)滿足條件
就稱ƒ(x)具有有界的平均振幅，並記作ƒ∈BMO。由上述定義看出，任一
R
。
BMO空間與巴拿赫空間
對任一ƒ∈BMO，如定義
，可以證明
為一準範數。事實上，
當且僅當ƒ(x)為一常數。因此，當BMO空間中的兩個函式ƒ1和ƒ2相差一常數時，規定這兩個函式是等同的，在這個規定之下，
便成為範數，而且BMO空間為一巴拿赫空間。
約翰－尼倫伯格不等式
由 BMO空間的定義容易驗證：如果存在兩正常數A和α，使得對於一切的立方體
Q
均滿足
式中左邊為勒貝格測度，那麼ƒ∈BMO。約翰和尼倫伯格指出上述不等式本質上可以用來刻畫BMO空間的特徵。這就是存在著兩正常數A和α，使得對於任一ƒ∈BMO，立方體
，以及α>0，成立不等式
費弗曼－施坦分解
另一個涉及BMO空間構造特徵是由 C.L.費弗曼和 E.M.施坦給出的：ƒ∈BMO當且僅當ƒ=u+堝，此處u，υ∈L∞，堝為υ的希爾伯特變換。這個事實表明，判斷一個函式是否屬於BMO空間，可以純粹用調和分析的語言來表述與刻畫。因此，這個事實也就成為揭示BMO空間和調和分析之間內在關係的紐帶，並且這方面的進一步研究成為當代調和分析的重要研究課題之一。
費弗曼－施坦定理
關於BMO空間的研究，特別要提出費弗曼和施坦的下述結果:哈代空間H1(
R
n)的對偶空間為BMO空間，記作
。可以說，由於這個事實的發現，BMO空間便成為調和分析的重要角色。
應用
由於BMO空間是H1的對偶空間，因此許多涉及H1的問題通過這個對偶關係可以用 BMO空間的性質去處理，於是BMO空間就成為研究 H1許多問題的一個新工具。例如，研究運算元
T
從H1到L1的有界性，要建立不等式
(*)由
以及關係式
可知：
。
於是，為使關係式(*)成立，只須證明
。
這就把研究運算元從H1到L1的有界性問題轉化為研究其共軛運算元慘從L∞到BMO空間的有界性問題了。另一個應用是，BMO空間在許多調和分析問題的研究中，可以成為空間L∞的合適代替。例如，傅立葉分析中的許多古典的運算元
T
具有從Lp到Lp的有界性(1<p<∞)，也就是說不等式
成立。但當p=∞時，結論卻不成立。其原因是由於當ƒ∈L∞時，經過運算元
T
作用後的像T
ƒ不一定在L∞內。包含關係
使人們想到，映像
T
ƒ雖不在L∞內，但有可能在BMO空間內，如果這是正確的話，說明運算元T
有可能具有從L∞到BMO空間的有界性。例如希爾伯特變換H雖不滿足
，
但成立著
。因此，當運算元