加強數形結合提高學生解題能力

　　一、 緒論

　　恩格斯說過：“數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學”.數學中的兩大研究物件“數”和“形”的矛盾統一是數學發展的內在因素.數形結合是貫穿於數學發展的一條主線，使數學在實踐中的應用更加廣泛和深遠.一方面，藉助於圖形的性質將許多抽象的數學概念和數量關係形象化、簡單化，給人以直觀感;另一方面，將圖形問題轉化為代數問題，可以獲得準確的結論.“數”和“形”的資訊轉換、相互滲透，不僅使解題簡潔明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開闢了一條重要的途徑.數形結合是連線“數”和“形”的“橋”，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的數學思想.高中數學學習中，數形結合的思想更是貫穿始終.

　　二、研究的目的和意義

　　數是形的抽象概括，形是數的直觀表現.華羅庚教授說：“數缺形時少直覺，形少數時難入微.數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”數形結合就是充分運用數的嚴謹和形的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述、代數的論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法.數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.

　　數形結合思想方法是中學數學基礎知識的精髓之一，是把許多知識轉化為能力的“橋”.在高中數學教學中，許多抽象問題學生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導學生進行數形結合，轉化為直觀、易感知的問題，學生就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗，增強學生學習數學的信心.尤其是對於較難問題，學生若能獨立解決或在老師的啟發和引導下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發學生學習數學的熱情、興趣和積極性.同時，學生一旦掌握了數形結合法，並不斷進行嘗試、運用，許多問題就能迎刃而解.

　　三、數形結合在提高學生解題能力中的作用

　　作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關係，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”. 其中數形結合的重點是研究“以形助數”.

　　根據數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種數形結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到順利解決.

　　***一***“以形助數”

　　點評:運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免複雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，以開拓自己的

　　思維視野.

　　點評:數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質,簡化計算.

　　點評:許多函式的最值問題，存在著幾何背景，藉助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數形結合中找出問題的邏輯關係，啟發思維，難題巧解.

　　點評:向量具有一套良好的運算性質，通過建立直角座標系可以把幾何圖形的性質轉化為向量運算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運算，藉助數的精確與規範嚴密性闡明瞭立體幾何的屬性，既簡化了空間想象能力難的問題，又顯得特別簡潔.

　　在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義;第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化;第三是正確確定引數的取值範圍.

　　四、數學教學中滲透數形結合思想

　　數形結合是高中數學新課程所滲透的重要思想方法之一.新教材中的內容能很好地培養和發展學生的數形結合思想.教材中這一思想方法的滲透對發展學生的解題思路、尋找最佳解題方法有著指導性的作用，可對問題進行正確的分析、比較、合理聯想，逐步形成正確的解題觀，還可在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數學認知能力，並提升對現實世界的認識能力，從而提高數學素養，不斷完善自己.

　　新課標的教學內容早已全面實施，按新課標的教學大綱要求與知識點傳授的層次性來看，數形結合法教學主要經歷三個階段：

　　第一階段是數形對應，它是數形結合基礎，主要是通過平時概念的教學逐步滲透，讓學生通過學習、訓練、體會、逐步領悟和掌握.一方面，實數與數軸上的點的對應，平面上點與有序實數對間的對應，函式與圖象的對應，曲線與方程的對應等，以及以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、三角函式等等都為數形結合創造了條件，提供了理論支撐.另一方面，高中數學概念具有較強的抽象性、概括性，學生在理解時有較大的難度.可以藉助形的幾何直觀性來達到幫助學生理解的目的.例如，將函式與圖象結合起來,用幾何方法表述函式關係來幫助學生理解函式的抽象.

　　第二階段是數形轉化，它體現了數與形關係在解決問題過程中，如何作為一種方法而得到運用.數學問題是開展數學思維的前提,解決問題的過程,本質上就是一個思維訓練的過程.我們可以將數形結合滲透在問題的解決過程中,主要體現在以下三個方面：

　　***1***以形助數體會形在問題解決中的直觀性 ;

　　***2***以數助形體會數的論證在問題解決中的簡潔性;

　　***3***數形結合體會兩者的統一性 .

　　第三階段是數形分工，這是把應用數形結合思想作為解決問題中的一種策略.例如，高三複習中重點開設數形結合思想方法專題，以達到系統鞏固的目的.

　　縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，往往事半功倍.因此，高中數學教學中必須加強數形結合，提高學生數學素質與解題能力.