大學數學方面論文範文
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篇1
趙爽的數學哲學思想與應用價值
摘要：趙爽是東漢末年至三國時期的著名數學家，他在《周髀算經》的註文中提出許多新的數學見解。同時，他的數學思想及方法對中國整個數學體系的形成及發展都有著重要的作用。
關鍵詞：唐代 絲綢之路 極盛而衰 歷史演變。
趙爽是東漢末年至三國時期的著名數學家，同時也是中國歷史上著名的天文學家，他大約生活在 3 世紀，生卒不詳。他在數學上的成就主要表現為對勾股定理簡潔的證明，重差術的理論，一元二次方程的求解及根與係數的關係四個方面的貢獻。2 世紀，趙爽開始深入研究《周髀算經》，該書是中國歷史上最古老的天文學著作，其中就有對“勾股圓方圖”的註釋，總結出中國古代的勾股定理，這是對中國數學史的巨大貢獻。另外，趙爽還在此基礎上進行了創新，提出了新的證明公式。趙爽在數學方面的成就主要體現其所撰寫的《勾股圓方圖》，是中國歷史上第一次明確給出勾股定理明確證明的著作，而且這種證明簡單實用，至今仍在沿用。趙爽還創造出世界上最早的求根公式，並對《九章算術》中的分數計算方法上升到理論高度，創立了“齊同術”,足見稱其為數學宗師是非常恰當的。
一、趙爽數學思想產生的社會背景。
1.來源於人類實踐活動的數學思想。趙爽在《周髀算經》的註文中提到“:大禹治水，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，勾股之所由生也。”這就說明，大禹治水時期便採用了疏通河流的辦法使大水流往大海，而無“浸溺逆”,這也是勾股定理產生的重要原因。趙爽的這一思想與古希臘數學家歐弟姆斯對幾何學的產生的思路不謀而合，歐弟姆斯曾說“:幾何學是埃及人發現的，是在測量土地的過程中產生的，因為那時候的尼羅河氾濫成災，經常沖毀良田，這種幾何學的測量技術是必要的。”[1]17所以，幾何學起源於土地測量，一般從事農業生產的民族都有著豐富的幾何學知識。恩格斯曾說，數學是根據人的需要產生的，是從丈量土地面積、計算器具容積中產生的，是一種有目的改造客觀世界的活動中產生的。所以，趙爽的數學思想也來源於實際，以滿足於客觀世界的需要。
2.吳國推行發展教育的文教政策。根據史料考證，趙爽為三國時期吳國人，由於當時吳國為戰事需要採取了一系列發展生產的措施，使得社會經濟有了較大的進步。同時，在思想及文學領域也出現了秦漢以來前所未有的局面，其中數學思想的進展尤為明顯。當時的吳國推行了發展數學教育的文教政策，孫權於黃武三年推行“改四分，用乾象曆，詔令教學諸子”.永安二年，孫休推行教學為先的政策“,道世冶性，為時養器”.當時吳國推行的這些教育建國，培養人才的措施，極大推進了社會的發展及經濟的繁榮。當時，吳國還在地方設立官學“,濟陽人篤學好古，瑜厚之，使百人受業，遂立學官”.雖然吳國“學官”措施推行並沒多久，但當時確實出現許多的數學及天文人才，如陳馳善九章術，與漢代許商、王柔並稱。除官學之外，吳國也非常流行私學，如“虞凡講學不倦，門徒數百人，又為《老子》、《荀子》、《國語》訓注”.吳國的私學者多潛心學術，熱愛教學工作，對教育事業全心投入，《周髀算經注》中就有“後學之徒知數皆然”[2]73.
二、趙爽的數學哲學思想與應用價值。
1.“數形”與“歸納、演繹”統一的思想。趙爽在《周髀算經注》中提到“:數之法理出於方圓，方圓者天地之形狀，陰陽之數，陳方圓之形，以見其象，因奇偶之數，以制其法。物有方圓，數有奇偶，天動為圓其數奇，地靜為方其數偶。”所以，趙爽的天地之形含有幾何方面的內容，同時，數之法出於圓方也含有代數思想。就是說，通過數的計算，著重考察圖形中數的關係，通過得出的數值來解決實際生活問題。同時，也可以通過“形”的直觀解決數的演算法，這就將數形完美結合在一起。其實，數與形的結合並不是偶然產生的，中國作為一個農業大國，在丈量土地、儲存糧食、開挖水渠時都會遇到大量關於面積、體積的問題，如用代數方法解決幾何問題將起到事半功倍的效果。實際上，數與形並不是完全分開的，在計算長度、面積的時候就很容易將兩者聯絡起來。趙爽的《周髀算經注》便體現這種數形統一的思想。
歸納是將特殊或個別的事物中概括出一般性的結論，而演繹則是由一般原理推出個別或特殊事物的結論。歸納與演繹是人們認識事物過程中相輔相成的兩個方面。趙爽的數學思想中包含歸納、演繹統一的思想，在其《周髀算經》註文中提到“:善哉，言明曉之意，所謂問一事而萬事達。”這裡的“問一事而萬事達”就是從個別到一般的歸納思維過程。他還曾提到“:引而伸之，觸類而長之，天下事畢矣。”[3]77這又從一般原理引申出個別的演繹思維過程。所以，趙爽在數學研究中將歸納與演繹兩者統一起來“,勾股各自乘，並之為弦實，開方除之即為弦”.這就是從個別到一般的推理過程。所以，驗證數學命題的真偽就需要通過演繹推理來實現。趙爽在其《勾股圓方圖注》中有十多個命題，並全部採用演繹推理的方式給出了證明。
2.“變與不變”的思維方法及“實用”的數學思想。客觀事物是不斷髮生變化的，且事物的大多數性質也會發生改變，而有些性質卻相對穩定，這就是變與不變的性質，即事物的相對穩定性。趙爽在證明勾股定理的過程中，就是將圓形進行“割補”,其面積卻保持不變，這即為“變與不變”數學思維，趙爽通過“割補”的方式證明勾股定理是非常巧妙的，他說“形詭而量均，體殊而數齊”,即體形雖然有差異，但數量是不變的。將一個形體首先分割為有限的分體，然後再拼湊起來，便成為一個與它等面積的新個體。趙爽的這一“變與不變”思想對中國古代幾何的發展有著重要影響。劉徽在其《九章算術注》中將這種出入相補的思想視作以後“演段法”的基礎。中國傳統數學的平面幾何問題一般都採用這種“出入相補”的拼湊方法進行處理。直到 12 世紀，國外才有關於趙爽這種“割補”方法的證明，由當時印度數學家巴斯卡蘭給出，晚於趙爽的近九百多年。
數學來源於實際並應用於實際，作為一門研究空間形式與數量關係的科學，數學有廣泛的用途。中國古代傳統數學是以實用為目的的，其內容大多與生產及生活實際相關，並廣泛用於生產生活各方面，這也使得中國傳統數學長期處於世界數學的領先地位。趙爽也有著深厚的數學實用思想，他在《周髀算經》的註文中提到“:萬事萬物圓方用矣，大匠造制而有規矩。”所以，他明確指出圓方的設計可用於萬事萬物“,大匠造制”則充分說明數學應用的廣泛性及其價值意義。
三、趙爽的數學成就及重要歷史貢獻。
1.《周髀算經注》透析了數學之理。南宋數學家稱趙爽為“乘勾股竹黃之實，以近開方之妙，百世之下莫人能及，算學宗師也”.趙爽在他的《周髀算經注》中詳細註解了勾股術法之妙，透析了數學教育之理。根據史料考證，趙爽曾經深入研究了劉洪撰寫的《乾象曆》及天文學家張衡的《靈憲》等著作，並多次談及算學之術。在出入相補方面，圖形的總面積總保持不變，這就是趙爽創立的“割補之術”.同時，他還為《九章算術》進行了註釋，並將其歸納為出入相補原理，這也成為後世“演段術”形成的重要基礎。另外，趙爽還在其註文中提到與韋達定理類似的結果，並進一步研究一元二次方程的解法，證明了與其相關的二十多個命題。其實，趙爽還是一個未脫離體力勞動的數學家，他曾說自己一直在從事體力勞動的時候進行《周髀》的研究工作，最終完成了《周髀算經注》。該作品大約成書於前 100 年前後，是一部關於構圖定律、分數運算的數學著作。在《周髀算經注》中，趙爽對原作的經文進行逐段逐句的解讀，其中尤以勾股圓方圖最為精彩，簡練的五百多字高度概括了《周髀算經》的主要內容。
2.推動中國傳統數學思想的發展。在相當長的時間內，中國的數學長期處於世界領先地位。數學作為一門研究空間與數量關係的學科，有著現實的應用需要，中國傳統數學體系就是在此基礎上建立的，並廣泛應用於社會實際。趙爽的數學思想極大地推動了中國傳統數學的發展，同時在傳統數學思想的影響下，趙爽在其《周髀算經》的註文中多次證明了數學的實際操作意義及應用的廣泛性。趙爽曾指出，為了有效解決實際問題，通過考察圖形中的數量關係及運算關係，就可以得到人們所需要的數值。趙爽認為“:夫高者莫大於天，厚廣者莫廣於地，皆可導儀驗其長短。”他將自然界看作是一個相互聯絡的物質集合，並可以通過儀器間接測量出來。趙爽認為數學能應用於天地之道，神明之德，這是其承襲中國曆代數學家思想的反映。他對商高的測量方法中提到“:以水繩之，慎毫釐之差，防千里之失，既可追求情理，又可造制畫方。”[4]57這段內容記述了趙爽通過勾股定理進行測量的方法，充分體現其經世致用的實用思想。
3.數學與數學教育方面的創新。《周髀算經》採用問答的形式，由此可知其屬於數學教材，而趙爽的《周髀算經注》則屬於數學教材的指導用書，他在《周髀算經注》中的“統敘群倫，裁製萬物”思想，展示其先進的數學教育思想。《周髀算經》中有對勾股定理經典的描述，即“勾廣三，股修四，徑隅五”.然而，在趙爽的註文中則給出了勾股定理的一般形式，即“勾股各自乘，並之為弦實”,這就將數學知識推廣開來。趙爽繼承了孔子的啟發式教學模式“,凡教之道， 舉一隅，反之以三也”.他還根據自己多年的數學教學經驗，總結出數學教育的一般規律，最後達到“啟發”的效果。其實，學習是一項艱苦的智力勞動，只有學思結合才能最終完成“,不精思，不學習，則言吾無隱”.所以，趙爽一直反對反而不思的學習方式，並提倡“精思、善思、深思”,這樣才能開闊思維。“言吾無隱”便是引用孔子的教學思想，即“盡其知”,毫無隱瞞。所以，趙爽還是一位“不隱其學”的數學教育家。趙爽的“熟思”理念，就是強調要發展學生的思維，調動其學習的積極性，同時引導學生獨立思考。由此可知，趙爽不但在數學上有著極高的造詣，而且還是在數學教育上有著較高水平的數學大師。在數學教育上，趙爽的“貫幽人微，鉤深致遠”思想，便是對數學學習過程及學生心理狀態的把握。他總結的“審問、累思、所學、通類、精習”五個學習環節是一種由感性到理性的認識過程，這也是儒家學習論的核心。
參考文獻：
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[3]童建華。算學宗師趙爽的數學教育思想[J].西南民族大學學報，2009***1***。
[4]郭樹春。中國科學技術典籍通匯[M].河南教育出版社，2005***5***。
篇2
淺談數學概念在數學中的備課
摘要：淺談數學概念課在教學的備課中應做好兩點工作：1、吃透教材;2、把握住“概念教學”的三個環節。
關鍵詞：通讀教材;閱讀資料;三個環節
中學數學知識可分成三大部分：數學概念、數學命題和數學論證。對“數學概念”的理解程度直接影響著另外兩大部分數學知識的學習。關於這個認識，我們數學教師應有同感，也應付諸於數學實踐，更應該圍繞“數學概念”教學的程式做大量的準備工作。本文僅以“學術概念”的教學備課這方面，談一下個人所見，僅供參考。
中學“數學概念”的備課工作，應重點解決一下兩個問題：
1通讀教材，廣泛閱讀相關資料，為“吃透”教材理解、掌握概念，打下堅實基礎。
備課中，首先通讀教材，是數學概念教學的必要條件，教師須自覺地依據教材、大綱進行教學。對教材中出現的知識點，表述方法等相關內容，如有異議，就必須以誠懇的態度，堅強的毅力去研究、探索，充分理解教材中的意圖。例如：關於“絕對值”的概念。數學教師都有一種直觀通俗的理解。所謂絕對值，就是去掉性質符號的數。如+4***或-4***的絕對值，就是去掉“+4***或-4***”前的“+”或“-”號的數4。同時教材又用黑體字定義“一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離”。這是絕對值的幾何意義，而後又從代數的角度做進一步的說明：***1***正數的絕對值是它本身***2***負數的絕對值是它的相反數***3***零的絕對是是零;並利用字母表示數，用式子給出了絕對值的代數形式的定義。而以前的教材是通過聯絡生活的例項直接引出絕對值的代數意義，這種“代數定義”的說法教材中並沒有，這是教參中“指出”的。“指出”的言外之意是指絕對值還有個幾何定義。現行教材便採取的是這個幾何定義。前後教材對絕對值概念的解釋是不同的，但對現行教材的意圖稍加思索，自然是便於學生接受和理解絕對值的概念。因此，教師在備課時應重點向學生闡明幾何意義。以便學生在今後的學習中應用。
另外，對於每一個重點，難點概念，教師應儘量做到“博覽群書”，也只有這樣，才能真正具備駕馭教材的能力，也沒有一個不是受益於廣泛閱讀的教師。因此，教師應廣泛閱讀相關資料，拓寬知識視野，注重知識積累，發揮自己的特長，以不斷適應新的教育現實。
2把握住“概念教學”的三個環節
數學概念的教學在經過“博覽”步驟之後，應及時轉入“精取”階段，把握好“概念教學”的三個環節。
第一：準確地掌握概念的內涵與外延。所謂內涵，就是概念的基本屬性。它的本質屬性無疑是核心，是區別於其他事物的根本。沒有對概念本質屬性的深刻理解和牢固記憶，就談不上掌握和理解概念。例如：關於“等式”這一概念，教材上講“表示相等關係的式子叫等式”，教材上對之並沒有進一步的說明，但我們備課時一定要搞清等式的本質。它也是“判斷一件事情的語句”，就其本質而言，一個等式就是一個命題，它有真假之分，等式也有成立的等式，也有不成立的等式。這一點對學生來講更難理解，教師應下功夫向學生闡述清楚。否則會影響學生學習其他知識。
內涵的探究重要，外延的研究也不可缺少。所謂外延，是指概念所涉及物件的範圍界限，兩者結合起來，有主次分明之別。相互補充，才能全面實現明確概念的目的。因此在講解概念內涵的同時，也應及時研究其外延，並對其外延不同程度的給出定義。例如：“代數式”這個概念，教材上先後從其內涵上定義了代數式、單項式、多項式，這事實上就其外延而講它們都是整式。但作為教師應考慮到代數式分別有有理式和無理式兩大類，有理式可分為整式和分式兩類，這個外延分類的知識結構要牢固掌握，作為教師應站在較高的角度把握知識結構，以便為以後學生學習其他知識埋下伏筆，同時講玩某一概念的本質屬性後，應及時總結，引導學生從外延的角度進一步搞清概念之間的聯絡。
第二：搞清概念在其所處知識體系中的地位及作用，也就是它所屬的型別，它與其他概念之間的聯絡等。中學數學之間的聯絡一般是從其外延開始，發生了縱向上的主從關係和橫向上的同一交叉，並列對立等邏輯關係。這些邏輯關係的存在是不可忽視的。例如：點和圓、直線和圓、圓和圓、多邊形和圓之間的關係，就是一種很系統的圖形之間的位置關係。這種系統的位置關係教師在備課時若不能以系統的觀點去認真備課，那麼無論從哪方面來講，都是沒有吃透教材，也不會產生最佳教學效果。
第三，準確地掌握“數學概念”在定義、名稱及符號在不同層次的識記資訊。
每個數學概念都有定義和名稱，多數情況下還有它自己的符號。概念的定義是揭示其內涵的語言表達方式，名稱是人們在使用概念時對它的簡稱。符號則是人們書寫或記錄概念時所採用的一種簡記標誌。一個概念有了自己的意義，可使人們對概念有一個賴以進行判斷推理和交流思想的基準和形象。有了名稱不但表述起來語言精練，而且簡明易懂，有了符號，不但書寫方便，而且直觀醒目。總之，三者都是直接或間接反映或表述同一內容——概念的本質屬性的，是密不可分的。在概念教學及備課過程中，教師必須掌握好這三種識記資訊。以促使某些數學能力的形成和發展。