八年級期末考試卷數學

　　初二階段是我們一生中學習的“黃金時期”。期末考試就要到了，現在的時間對同學們尤其重要。下面是小編為大家精心整理的，僅供參考。

　　

　　一、填空題***每小題2分，共20分***

　　1.已知空氣的單位體積質量為0.00124g/cm3，將它用科學記數表示為　　g/cm3.

　　2.計算：***﹣ ***2015×[*** ***1007]2=　　　　.

　　3.分解因式：﹣x2+4xy﹣4y2=　　　　　　.

　　4.若等腰三角形兩邊長分別為8，10，則這個三角形的周長為　　　　　　.

　　5.三角形三內角的度數之比為1：2：3，最大邊的長是8cm，則最小邊的長是　　　cm.

　　6.一個多邊形內角和是一個四邊形內角和的4倍，則這個多邊形的邊數是　　　.

　　7.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線MN交AC於D，CD=1cm，連線BD，則AC的長為　　cm.

　　8.若a+b=7，ab=12，則a2+b2的值為　　　　　　.

　　9.如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC於D，且AB+BD=DC，那麼∠C=　　度.

　　10.已知：a+ =5，則 =　　　　.

　　二、選擇題：***每小題2分，共20分***

　　11.下列計算正確的是***　　***

　　A. x2+x3=x5 B. x2•x3=x6 C. ***x2***3=x5 D. x5÷x3=x2

　　12.下面有4個汽車標誌圖案，其中是軸對稱圖形的是***　　***

　　A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③

　　13.已知點P***1，a***與Q***b，2***關於x軸成軸對稱，則a﹣b的值為***　　***

　　A. ﹣1 B. 1 C. ﹣3 D. 3

　　14.如圖，△ABC≌△A DE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數為***　　***

　　A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°

　　15.下列各式變形中，是因式分解的是***　　***

　　A. a2﹣2ab+b2﹣1=***a﹣b***2﹣1 B. 2x2+2x=2x2***1+ ***

　　C. ***x+2******x﹣2***=x2﹣4 D. x4﹣1=***x2+1******x+1******x﹣1***

　　16.若分式 的值為零，則x等於***　　***

　　A. ﹣1 B. 1 C. ﹣1或1 D. 1或2

　　17.等腰三角形的一個角是48°，它的一個底角的度數是***　　***

　　A. 48° B. 48°或42° C. 42°或66° D. 48°或66°

　　18.下列命題中，正確的是***　　***

　　A. 三角形的一個外角大於任何一個內角

　　B. 三角形的一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形

　　C. 兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等

　　D. 三角形的三條高都在三角形內部

　　19.不能用尺規作出唯一三角形的是***　　***

　　A. 已知兩角和夾邊 B. 已知兩邊和夾角

　　C. 已知兩角和其中一角的對邊 D. 已知兩邊和其中一邊的對角

　　20.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC於P點，若AB=5cm，BC=3cm，則△PBC的周長等於***　　***

　　A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm

　　三.解答題***本題7小題，共60分***

　　21 .計算：

　　***1******﹣2xy2***2÷*** xy***

　　+b﹣4a2b÷b.

　　22.因式分解：

　　***1***2﹣***x+2y***2

　　***a﹣b***2+4ab.

　　23.先化簡代數式 ，再從﹣2，2，0三個數中選一個恰當的數作為a的值代入求值.

　　24.解方程：

　　25.如圖，在平面直角座標系XOY中，A***﹣1，5***，B***﹣1，0***，C***﹣4，3***.

　　***1***請畫出△ABC關於y軸對稱的△A′B′C′***其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應點，不寫畫法***;

　　直接寫出A′，B′，C′三點的座標：A′***　　***，B′***　　***，C′*** 　　***

　　***3***計算△ABC的面積.

　　26.如圖***1***，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥A B，垂足為D.AF平分∠CAB，交CD於點E，交CB於點F

　　***1***求證：CE=CF.

　　將圖***1***中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖所示.試猜想：BE′與CF有怎樣的數量關係?請證明你的結論.

　　27.某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的 倍，購進數量比第一次少了30支.

　　***1***求第一次每支鉛筆的進價是多少元?

　　若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢後獲利不低於420元，問每支售價至少是多少元?

　　參考答案

　　一、填空題***每小題2分，共20分***

　　1.已知空氣的單位體積質量為0.00124g/cm3，將它用科學記數表示為 　1.24×10﹣3　g/cm3.

　　考點： 科學記數法—表示較小的數.

　　分析： 絕對值小於1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前 面的0的個數所決定.

　　解答： 解：0.00124=1.24×10﹣3.

　　故答案為：1.24×10﹣3.

　　點評： 本題考查用科 學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

　　2.計算：***﹣ ***2015×[*** ***1007]2=　﹣ 　.

　　考點： 冪的乘方與積的乘方.

　　分析： 先根據冪的乘方進行計算，再根據積的乘方進行計算，最後求出即可.

　　解答： 解：***﹣ ***2015×[*** ***1007]2

　　=***﹣ ***2015×*** ***2014

　　=[***﹣ ***× ]2014×***﹣ ***

　　=12014×***﹣ ***

　　=﹣ ，

　　故答案為：﹣ .

　　點評： 本題考查了冪的乘方和積的乘方的應用，能靈活運用運演算法則進行計算是解此題的關鍵，注意：am•bm=***ab***m.

　　3.分解因式：﹣x2+4xy﹣4y2=　﹣***x﹣2y***2　.

　　考點： 提公因式法與公式法的綜合運用.

　　分析： 先提取公因式﹣1，再根據完全平方公式進行二次分解.完全平方公式：a2﹣2ab+b2=***a﹣b***2.

　　解答： 解：﹣x2+4xy﹣4y2，

　　=﹣***x2﹣4xy+4y2***，

　　=﹣***x﹣2y***2.

　　故答案為：﹣***x﹣2y***2.

　　點評： 本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式後利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底.

　　4.若等腰三角形兩邊長分別為8，10，則這個三角形的周長為　26 或28　.

　　考點： 等腰三角形的性質;三角形三邊關係.

　　分析： 分腰長為8和10兩種 情況，可求得三角形的三邊，再利用三角形的三邊關係進行驗證，可求得其周長.

　　解答： 解：

　　當腰長為8時，則三角形的三邊長分別為8、8、10，滿足三角形的三邊關係，此時周長為26;

　　當腰長為10時，則三角形的三邊長分別為10、10、8，滿足三角形的三邊關係，此時周長為28;

　　綜上可知三角形的周長為26或28，

　　故答案為：26或28.

　　點評： 本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關鍵，注意利用三角形的三邊關係進行驗證.

　　5.三角形三內角的度數之比為1：2：3，最大邊的長是8cm，則最小邊的長是　4　cm.

　　考點： 含30度角的直角三角形.

　　分析： 先求出三角，再解直角三角形求邊.

　　解答： 解：三角形三內角的度數之比為1：2：3，

　　則最小的角是30度，最大角是直角，

　　因而最小邊是30°的銳角所對的邊，等於斜線的一半是4cm.

　　故填4cm.

　　點評： 本題主要考查了直角三角形中.30度的銳角所對的直角邊 等於斜邊的 一半.

　　6.一個多邊形內角和是一個四邊形內角和的4倍，則這個多邊形的邊數是　10　.

　　考點： 多邊形內角與外角.

　　分析： 多邊形的外角和是360度，多邊形的外角和是內角和的4倍，則多邊形的內角和是360×4=1440度，再由多邊形的內角和列方程解答即可.

　　解答： 解：設這個多邊形的邊數是n，由題意得，

　　***n﹣2***×180°=360°×4

　　解得n=10.

　　故答案為：10.

　　點評： 本題主要考查了多邊形的內角和定理與外角和定理，熟練掌握定理是解題的關鍵.

　　7.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線MN交AC於D，CD=1cm，連線BD，則AC的長為　3　cm.

　　考點： 線段垂直平分線的性質.

　　分析： 根據線段垂直平分線的性質可得AD=BD，可得到∠CBD=30°，在Rt△CBD中可求得BD=2CD，可求得AD，可得到AC.

　　解答： 解：

　　∵MN是AB的垂直平分線，

　　∴AD=BD，

　　∴∠DBA=∠A=30°，

　　∴∠CDB=60°，

　　又∠C=90°，

　　∴∠CBD=30°，

　　∴AD=BD=2CD=2cm，

　　∴AC=AD+CD=2cm+1c m=3cm，

　　故答案為：3.

　　點評： 本題主要考查線段垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵.

　　8.若a+b =7，ab=12，則a2+b2的值為　25　.

　　考點： 完全平方公式.

　　分析： 根據完全平方公式得出a2+b2=***a+b***2﹣2ab，代入求出即可.

　　解答： 解：∵a+b=7，ab=12，

　　∴a2+b2

　　=***a+b***2﹣2ab

　　=72﹣2×12

　　=25.

　　故答案為：25.

　　點評： 本題考查了對完全平方公式的應用，注意：完全平方公式有：***a+b***2=a2+2ab+b2，***a﹣b***2=a2﹣2ab+b2.

　　9.如圖，在△ABC中，∠BAC= 120°，AD⊥BC於D，且AB+BD=DC，那麼∠C=　20　度.

　　考點： 等腰三角形的性質.

　　專題： 計算題.

　　分析： 由AB+BD=DC，易想到可作輔助線DE=D B，然後連線AE，從而可出現兩個等腰三角形，一個是△ABE，一個是△ACE，利用三角形外角的性質，易求∠B=2∠C，再利用三角形內角和定理可求∠C.

　　解答： 解：在DC上擷取DE=DB，連線AE，

　　設∠C=x，

　　∵AB+BD=DC，DE=DB，

　　∴CE=AB，

　　又∵AD⊥BC，DB=DE，

　　∴直線AD是BE的垂直平分線，

　　∴AB=AE，

　　∴CE=AE，

　　∴∠B=∠AEB，∠C=∠CAE，

　　又∵∠AEB=∠C+∠CAE，

　　∴∠AEB=2x，

　　∴∠B+∠C=3x=180°﹣120°=60°，

　　∴∠C=20°.

　　故答案是：20°.

　　點評： 本題考查了線段垂直平分線的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外角性質.

　　10.已知：a+ =5，則 =　24　.

　　考點： 分式的乘除法.

　　專題： 計算題.

　　分析： 本題可以從題設入手，然後將 化簡成含有a+ 的分式，再代入計算即可.

　　解答： 解： = ;

　　∵a+ =5，∴ = =52﹣1=24.

　　故答案為24.

　　點評： 本題化簡過程比較靈活，運用了提取公因式、配方法.

　　二、選擇題：***每小題2分，共20分***

　　11.下列計算正確的是***　　***

　　A. x2+x3=x5 B. x2•x3=x6 C. ***x2***3=x5 D. x5÷x3=x2

　　考點： 同底數冪的除法;合併同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.

　　分析： 根據合併同類項的法則：把同類項的係數相加，所得結果作為係數，字 母和字母的指數不變;同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加;冪的乘方法則：底數不變，指數相乘;同底 數冪的除法法則：底數不變，指數相減，分別進行計算，即可選出答案.

　　解答： 解：A、x2與x3不是同類項，不能合併，故此選項錯誤;

　　B、x2•x3=x2+3=x5，故此選項錯誤;

　　C、***x2***3=x6，故此選項錯誤;

　　D、x5÷x3=x2， 故此選項正確;

　　故選：D.

　　點評： 此題主要考查了同底數冪的除法，合併同類項，同底數冪的乘法，冪的乘方，很容易混淆，一定要記準法則才能做題.

　　12.下面有4個汽車標誌圖案，其中是軸對稱圖形的是***　　***

　　A. ②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③

　　考點： 軸對 稱圖形.

　　分析： 利用軸對稱圖形性質，關於某條直線對稱的 圖形叫軸對稱圖形得出即可.

　　解答： 解：只有第4個不是軸對稱圖形，其它3個都是軸對稱圖形.

　　故選：D.

　　點評： 此題主要考查了軸對稱圖形的性質，軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊圖象摺疊後可重合.

　　13.已知點P***1，a***與Q***b，2***關於x軸成軸對稱，則a﹣b的值為***　　***

　　A. ﹣1 B. 1 C. ﹣3 D. 3

　　考點： 關於x軸、y軸對稱的點的座標.

　　分析： 關於x軸對稱點的座標特點：橫座標不變，縱座標互為相反數可得a、b的值.

　　解答： 解：∵點P***1，a***與Q***b，2***關於x軸成軸對稱，

　　∴b=1，a=﹣2，

　　∴a﹣b=﹣3，

　　故選：C.

　　點評： 此題主要考查了關於x軸對稱點的座標，關鍵是掌握點的座標的變化規律.

　　14.如圖，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數為***　　***

　　A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°

　　考點： 全等三角形的性質.

　　分析： 根據三角形的內角和定理列式求出∠BAC，再根據全等三角形對應角相等可得∠DAE=∠BAC，然後根據∠EAC=∠DAE﹣∠DAC代入資料進行計算即可得解.

　　解答： 解：∵∠B=80°，∠C=30°，

　　∴∠BAC=180°﹣80°﹣30°=70°，

　　∵△ABC≌△ADE，

　　∴∠DAE=∠BAC=70°，

　　∴∠EAC=∠DAE﹣∠DAC，

　　=70°﹣35°，

　　=35°.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了全等三角形對應角相等的性質，熟記性質並準確識圖是解題的關鍵.

　　15.下列各式變形中，是因式分解的是***　　***

　　A. a2﹣2ab+b2﹣1=***a﹣b***2﹣1 B. 2x2+2x=2x2***1+ ***

　　C. ***x+2******x﹣2***=x2﹣4 D. x4﹣1=***x2+1******x+1******x﹣1***

　　考點： 因式分解的意義.

　　分析： 根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案.

　　解答： 解：A a2﹣2ab+b2﹣1=***a﹣b***2﹣1中不是把多項式轉化成幾個整式積的形式，故A錯誤;

　　B 2x2+2x=2x2***1+ ***中 不是整式，故B錯誤;

　　C ***x+2******x﹣2***=x2﹣4是整式乘法，故C錯誤;

　　D x4﹣1=***x2+1******x2﹣1***=***x2+1******x+1******x﹣1***，故D正確 .

　　故選：D.

　　點評： 本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，注意B不是整式的積，A、C不是積的形式.

　　16.若分式 的值為零，則x等於***　　***

　　A. ﹣1 B. 1 C. ﹣1或1 D. 1或2

　　考點： 分式的值為零的條件.

　　專題： 計算題.

　　分析： 分式的值為0的條件是：***1***分 子=0;分母≠0.兩個條件需同時具備，缺一不可 .據此可以解答本題.

　　解答： 解：依題意得|x|﹣1=0，且x 2﹣3x+2≠0，

　　解得x=1或﹣1，x≠1和2，

　　∴x=﹣1.

　　故選A.

　　點評： 此題考查的是對分式的值為0的條件的理解和因式分解的方法的運用，該型別的題易忽略分母不為0這個條件.

　　17.等腰三角形的一個角是48°，它的一個底角的度數是***　　***

　　A. 48° B. 48°或42° C. 42°或66° D. 48°或66°

　　考點： 等腰三角形的性質.

　　專題： 分類討論.

　　分析： 分底角為48°和頂角48°，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求解即可.

　　解答： 解：當底角為48°時，則底角為48°;

　　當頂角為48°時，則底角= =66°;

　　綜上可知三角形的一個底角為48°或66°，

　　故選D.

　　點評： 本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關鍵.

　　18.下列命題中，正確的是***　　***

　　A. 三角形的一個外角大於任何一個內角

　　B. 三角形的一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形

　　C. 兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形全等

　　D. 三角形的三條高都在三角形內部

　　考點： 命題與定理.

　　分析： 根據三角形外角性質對A進行判斷;

　　根據三角形中線性質和三角形面積公式對B進行判斷;

　　根據三角形全等的判定對C進行判斷;

　　根據三角形高線定義對D進行判斷.

　　解答： 解：A、三角形的一個外角大於任何一個不相鄰的一個內角，所以A選項錯誤;

　　B、三角形的一條中線將三角形分成兩個面積相等的三角形，所以B選項正確;

　　C、兩邊和它們的夾角分別對應相等的兩個三角形全等，所以C選項錯誤;

　　D、鈍角 三角形的高有兩條在三角形外部，所以D選項錯誤.

　　故選B.

　　點評： 本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題;正確的命題稱為真命題;錯誤的命題稱為假命題.

　　19.不能用尺規作出唯一三角形的是***　　***

　　A. 已知兩角和夾邊 B. 已知兩邊和夾角

　　C. 已知兩角和其中一角的對邊 D. 已知兩邊和其中一邊的對角

　　考點： 全等三角形的判定.

　　分析： 把尺規作圖的唯一性轉化成全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法逐項判定即可.

　　解答： 解：A、已知兩角和夾邊，滿足ASA，可知該三角形是唯一的;

　　B、已知兩邊和夾角，滿足SAS，可知該三角形是唯一的;

　　C、已知兩角和其中一角的對邊，滿足AAS，可知該三角形是唯一的;

　　D、已知兩邊和其中一邊的對角，滿足SSA，不能確定三角形是唯一的.

　　故選D.

　　點評： 本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL，注意AAA和SSA不能證明三角形全等.

　　20.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC於P點，若AB=5cm，BC=3cm，則△PBC的周長等於***　　***

　　A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm

　　考點： 線段垂直平分線的性質;等腰三角形的性質.

　　分析： 先根據等腰三角形的性質得出AC=AB=5cm，再根據線段垂直平分線的性質得出AP=BP，故AP+PC=AC，由此即可得出結論.

　　解答： 解：∵△ABC中，AB=AC，AB=5cm，

　　∴AC=5cm，

　　∵AB的垂直平分線交AC於P點，

　　∴BP+PC=AC，

　　∴△PBC的周長=***BP+PC***+BC=AC+BC=5+3=8cm.

　　故選C.

　　點評： 本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵.

　　三.解答題***本題7小題，共60分***

　　21.計算：

　　***1******﹣2xy2***2÷*** xy***

　　+b﹣4a2b÷b.

　　考點： 整式的混合運算.

　　分析： ***1***先算乘方，再算除法;

　　先利用 平方差公式和整式的乘除計算，再進一步合併同類項即可.

　　解答： 解：***1***原式=***4x2y4***÷*** xy***

　　=12xy3;

　　原式=4a2﹣b2+2ab+b2﹣4a2

　　=2ab.

　　點評： 此題考查整式的混合運算，掌握計算公式和計算方法是解決問題的關鍵.

　　22.因式分解：

　　***1***2﹣***x+2y***2

　　***a﹣b***2+4ab.

　　考點： 因式分解-運用公式法.

　　分析： ***1***用平方差公式進行因式分解即可;

　　先利用完全平方公式展開***a﹣b***2+4ab，再利用完全平方公式因式分解即可.

　　解答： 解：***1***2﹣***x+2y***2

　　=[+***x+2y***][﹣***x+2y***]

　　=***3x+3y******x﹣y***

　　=3***x+y******x﹣y***;

　　***a﹣b***2+4ab

　　=a2﹣2ab+b2+4ab

　　=a2+2ab+b2

　　=***a+b***2.

　　點評： 本題考查了因式分解，公式法分解因式，熟練掌握完全平方公式和平方差公式的結構特點是解題的關鍵.

　　23.先化簡代數式 ，再從﹣2，2，0三個數中選一個恰當的數作為a的值代入求值.

　　考點： 分式的化簡求值.

　　專題： 計算題.

　　分析： 原式括號中兩項通分並利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除以一個數等於乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結果，將a=0代入計算即可求出值.

　　解答： 解：原式= ÷

　　= •

　　= ，

　　當a=0時，原式= =2.

　　點評： 此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母;分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式.

　　24.解方程：

　　考點： 解分式方程.

　　專題： 計算題.

　　分析： 觀察可得方程最簡公分母為***x﹣2******x+1***，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解.

　　解答： 解：去分母，

　　得：***x+1***2+x﹣2=***x﹣2******x+1***

　　整理得：4x=﹣1，x=﹣ .

　　經檢驗x=﹣ 是原方程的解.

　　所以原方程的解為x=﹣ .

　　點評： ***1***解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解.

　　解分式方程一定注意要驗根.

　　25.如圖，在平面直角座標系XOY中，A***﹣1，5***，B***﹣1，0***，C***﹣4，3***.

　　***1***請畫出△ABC關於y軸對稱的△A′B′C′***其中A′，B′，C′分別是A，B，C的對應點，不寫畫法***;

　　直接寫出A′，B′，C′三點的座標：A′***　　***，B′***　　***，C′***　　***

　　***3***計算△ABC的面積.

　　考點： 作圖-軸對稱變換.

　　分析： ***1***分別找到y軸右側與y軸左側的點在同一水平線上，且到y軸的距離相等的點，順次連線即可;

　　根據點所在的象限及距離y軸，x軸的距離分別寫出各點座標即可;

　　***3***易得此三角形的底邊為5，高為3，利用三角形的面積公式計算即可.

　　解答： 解：***1***

　　;

　　A′***1，5***，B′***1，0***，C′***4，3***;

　　***3***∵A***﹣1，5***，B***﹣1，0***，C***﹣4，3***，

　　∴AB=5，AB邊上的高為3，

　　∴S△ABC= .

　　點評： 用到的知識點為：兩點關於某條直線對稱，那麼這兩點的連線被對稱軸垂直平分;三角形的面積等於底×高÷2.

　　26.如圖***1***，Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足為D.AF平分∠CAB，交CD於點E，交CB於點F

　　***1***求證：CE=CF.

　　將圖***1***中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其它條件不變，如圖所示.試猜想：BE′與CF有怎樣的數量關係?請證明你的結論.

　　考點： 全等三角形的判定與性質;等腰三角形的判定與性質;平移的性質.

　　專題： 幾何綜合題;壓軸題.

　　分析： ***1***根據平分線的定義可知∠CAF=∠EAD，再根據已知條件以及等量代換即可證明CE=CF，

　　根據題意作輔助線過 點E作EG⊥AC於G，根據平移的性質得出D′E′=DE，再根據已知條件判斷出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根據等量代換可知BE′=CF.

　　解答： ***1***證明：∵AF平分∠CAB，

　　∴∠CAF=∠EAD，

　　∵∠ACB=90°，

　　∴∠CAF+∠CFA=90°，

　　∵CD⊥AB於D，

　　∴∠EAD+∠AED=90°，

　　∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，

　　∴∠CFA=∠CEF，

　　∴CE=CF;

　　猜想：BE′=CF.

　　證明：如圖，過點E作EG⊥AC於G，連線EE′，

　　又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG ⊥AC，

　　∴ED=EG，

　　由平移的性質可知：D′E′=DE，

　　∴D′E′=GE，

　　∵∠ACB=90°，

　　∴∠ACD+∠DCB=90°

　　∵CD⊥AB於D，

　　∴∠B+∠DCB=90°，

　　∴∠ACD=∠B，

　　在△CEG與△BE′D′中，

　　，

　　∴△CEG≌△BE′D′***AAS***，

　　∴CE=BE′，

　　由***1***可知CE=CF，

　　∴BE′=CF.

　　點評： 本題主要考查了平分線的定義，平移的性質以及全等三角形的判定與性質，難度適中.

　　27.某商店第一次用600元購進2B鉛筆若干支，第二次又用600元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的 倍，購進數量比第一次少了30支 .

　　***1***求第一 次每支鉛筆的進價是多少元?

　　若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢後獲利不低於420元，問每支售價至少是多少元?

　　考點： 分式方程的應用;一元一次不等式組的應用.

　　專題： 計算題.

　　分析： ***1***設第一次每支鉛筆進價為x元，則第二次每支鉛筆進價為 x元，根據題意可列出分式方程解答;

　　設售價為y元，求出利潤表示式，然後列不等式解答.

　　解答： 解：***1***設第一次每支鉛筆進價為x元，

　　根據題意列方程得， ﹣ =30，

　　解得x=4，

　　經檢驗：x=4是原分式方程的 解.

　　答：第一 次每支鉛筆的進價為4元.

　　設售價為y元，第一次每支鉛筆的進價為4元，則第二次每支鉛筆的進價為4× =5元

　　根據題意列不等式為：

　　×***y﹣4***+ ×***y﹣5***≥420，

　　解得y≥6.

　　答：每支售價至少是6元.

　　點評： 本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，弄清題意並找出題中的數量關係並列出方程是解題的關鍵.最後不要忘記檢驗.