函式概念教學的幾點思考
摘 要：函式的概念及相關內容是高中和職業類教材中非常重要的部分，許多學生認為這些內容比較抽象、難懂、影象多，方法靈活多樣。以致部分學生對函式知識產生恐懼感。就教學過程中學生的反應和自己的反思，淺淡幾點自己的看法。
關鍵詞：函式；對應；對映；數形結合
1 要把握函式的實質
17世紀初期，笛卡爾在引入變數概念之後，就有了函式的思想，把函式一詞用作數學術語的是萊布尼茲，尤拉在1734年首次用f***x***作為函式符號。關於函式概念有“變數說”、“對應說”、“集合說”等。變數說的定義是：設x、y是兩個變數，如果當變數x在實數的某一範圍內變化時，變數y按一定規律隨x的變化而變化。我們稱x為自變數，變數y叫變數x的函式，記作y=f***x***。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變數x、y，並且對於x在某個範圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那麼y就是x的函式，x叫自變數，x的取值範圍叫函式的定義域，和x的值對應的y的值叫函式值，函式值的集合叫函式的值域。它的優點是自然、形像和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函式的實質——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函式是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函式，這與函式是反映變數間的關係相悖，究竟函式是指f ，還是f***x***，還是y=f***x***?使學生不易區別三者的關係。
迪裡赫萊（P.G .Dirichlet）注意到了“對應關係”，於1837年提出：對於在某一區間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那麼y叫x的一個函式。19世紀70年代集合論問世後，明確把集合到集合的單值對應稱為對映，並把：“一切非空集合到數集的對映稱為函式”，函式是對映概念的推廣。對應說的優點有：①它抓住了函式的實質——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽像的知識以模型並賦予生活化，比如：某班每一位同學與身高（實數）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數的對應等都是函式。函式由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函式的實質。
對於集合說是考慮到集合是數學中一個最原始的概念，而函式的定義裡的“對應”卻是一個外加的形式，，似乎不是集合語言，1914年豪斯道夫（F.Hausdorff）採用了純集合論形式的定義：如果集合 f С{***x，y***|x∈A，y∈B}且滿足條件，對於每一個x∈A，若***x，y1*** ∈f，***x，y2*** ∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函式。這裡f為直積A×B={***x，y***|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）＝{{x}，{x，y}}.定義過於形式化，它捨棄了函式關係生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數學語言只能在計算機中應用。
2 加強數形結合
數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽像概括、形成方法和理論，並進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函式主要是冪函式、指數函式、對數函式和三角函式，對每一類函式都是利用其影象來研究其性質的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函式影象就相當於佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函式性質就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函式觀念和數形結合在數列及平面幾何中也有廣泛的應用。如函式y=log0.5|x2-x-12|單調區間，令t=|x2-x-12|=|***x-?***2-12.25|，t=0時，x=-3或x=4，知t函式的影象是變形後的拋物線，其對稱軸為x=?與x軸的交點是x=-3或x=4並開口向上，其x∈***-3，4***的部分由x軸下方翻轉到x軸上方，再考慮對數函式性質即可。又如：判定方程3x2+6x =1 x的實數根的個數，該方程實根個數就是兩個函式y=3x2+6x與y=1／x影象的交點個數，作出影象交點個數便一目瞭然。
3 將對映概念下放
就前面三種函式概念而言，能提示函式實質的只有“對應說”，如果在初中階段把“變數說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優點：⑴體現數學知識的系統性，也顯示出時代資訊，為學生今後的學習作準備。⑵凸顯數學內容的生活化和現實性，函式是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型。⑶變抽像內容形像化，替換後學生會感到函式概念不再那麼抽像難懂，好像伸手會觸控到一樣，身邊到處都有函式。學生就會感到函式不再那麼可怕，它無非是一種對映。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易於接受，學生就不會提出“到底什麼是函式？”這樣的問題。
4 區分函式與方程
儘管函式和方程都是反映量與量之間的關係，可函式反映的是變數和變數之間的關係，強調的是一個變數隨另一個變數的變化情況，從函式的角度來看，考慮的是x和y在各自取值範圍內，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關係，等式F（x，y）=0是一個方程，只有在一定條件下才能確定為一個函式，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數值時才能使等式成立，另一方面，如果變數x和y的函式關係可以用解析式y=f***x***表示，那就得到一個方程y-f***x***=0，它們是可以互相轉化的，有時用方程知識去研究函式，也常用函式知識去研究方程。