高中數學解題基本方法

　　多做題才是學習數學的王道!題目中包含多個知識點，做題可以將知識點進行鞏固，同時能夠讓公式得到熟練的運用!數學成績的提高與多做題是分不開的.今天，小編為你帶來了。

　　是什麼

　　一、配方法

　　配方法是對數學式子進行一種定向變形***配成"完全平方"***的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當預測，並且合理運用"裂項"與"添項"、"配"與"湊"的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為"湊配法"。

　　最常見的配方是進行恆等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函式、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。

　　二、換元法

　　解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究物件，將問題移至新物件的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。

　　換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯絡起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯絡起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。

　　它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函式、數列、三角等問題中有廣泛的應用。

　　三、待定係數法

　　要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恆等，也就是利用了多項式f***x***g***x***的充要條件是：對於一個任意的a值，都有f***a***g***a***;或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。

　　待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定係數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的係數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定係數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表示式，如果具有，就可以用待定係數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函式式、求複數、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定係數法求解。

　　使用待定係數法，它解題的基本步驟是：

　　第一步，確定所求問題含有待定係數的解析式;

　　第二步，根據恆等的條件，列出一組含待定係數的方程;

　　第三步，解方程組或者消去待定係數，從而使問題得到解決。

　　如何列出一組含待定係數的方程，主要從以下幾方面著手分析：

　　①利用對應係數相等列方程;

　　②由恆等的概念用數值代入法列方程;

　　③利用定義本身的屬性列方程;

　　④利用幾何條件列方程。

　　比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定係數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的係數;再把幾何條件轉化為含所求方程未知係數的方程或方程組;最後解所得的方程或方程組求出未知的係數，並把求出的係數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。

　　四、定義法

　　所謂定義法，就是直接用數學定義解題。數學中的定理、公式、性質和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質屬性來明確概念。

　　定義是千百次實踐後的必然結果，它科學地反映和揭示了客觀世界的事物的本質特點。簡單地說，定義是基本概念對數學實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。

　　五、數學歸納法

　　歸納是一種有特殊事例匯出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分物件具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部物件後歸納得出結論來。

　　數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是一個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1***或n***時成立，這是遞推的基礎;第二步是假設在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定"對任何自然數***或n≥n且n∈N***結論都正確"。由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬於完全歸納。

　　運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。

　　運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恆等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。

　　六、引數法

　　引數法是指在解題過程中，通過適當引入一些與題目研究的數學物件發生聯絡的新變數***引數***，以此作為媒介，再進行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的引數方程都是用引數法解題的例證。換元法也是引入引數的典型例子。

　　辨證唯物論肯定了事物之間的聯絡是無窮的，聯絡的方式是豐富多采的，科學的任務就是要揭示事物之間的內在聯絡，從而發現事物的變化規律。引數的作用就是刻畫事物的變化狀態，揭示變化因素之間的內在聯絡。引數體現了近代數學中運動與變化的思想，其觀點已經滲透到中學數學的各個分支。運用引數法解題已經比較普遍。

　　引數法解題的關鍵是恰到好處地引進引數，溝通已知和未知之間的內在聯絡，利用引數提供的資訊，順利地解答問題。

　　七、反證法

　　與前面所講的方法不同，反證法是屬於"間接證明法"一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而匯出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪***Hadamard***對反證法的實質作過概括："若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾"。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，並把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。

　　反證法所依據的是邏輯思維規律中的"矛盾律"和"排中律"。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的"矛盾律";兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說"A或者非A"，這就是邏輯思維中的"排中律"。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據"矛盾律"，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以"否定的結論"必為假。再根據"排中律"，結論與"否定的結論"這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，於是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的。

　　反證法的證題模式可以簡要的概括我為"否定→推理→否定"。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是"否定之否定"。應用反證法證明的主要三步是：否定結論→推匯出矛盾→結論成立。實施的具體步驟是：

　　第一步，反設：作出與求證結論相反的假設;

　　第二步，歸謬：將反設作為條件，並由此通過一系列的正確推理匯出矛盾;

　　第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

　　在應用反證法證題時，一定要用到"反設"進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那麼只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫"歸謬法";如果結論的方面情況有多種，那麼必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫"窮舉法"。

　　高中數學選擇題解題技巧

　　方法一：直接法

　　所謂直接法，就是直接從題設的條件出發，運用有關的概念、定義、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理與計算來得出題目的結論，然後再對照題目所給的四個選項來“對號入座”.其基本策略是由因導果，直接求解.

　　方法二：特例法

　　特例法的理論依據是：命題的一般性結論為真的先決條件是它的特殊情況為真，即普通性寓於特殊性之中，所謂特例法，就是用特殊值***特殊圖形、特殊位置***代替題設普遍條件，得出特殊結論，對各個選項進行檢驗，從而作出正確的判斷.常用的特例有取特殊數值、特殊數列、特殊函式、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.這種方法實際是一種“小題小做”的解題策略，對解答某些選擇題有時往往十分奏效.

　　注意：

　　在題設條件都成立的情況下，用特殊值***取得越簡單越好***進行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規律，是解答本類選擇題的較佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結合特例法來解答的約佔30%.因此，特例法是求解選擇題的好招.

　　方法三：排除法

　　數學選擇題的解題本質就是去偽存真，捨棄不符合題目要求的選項，找到符合題意的正確結論.篩選法***又叫排除法***就是通過觀察分析或推理運算各項提供的資訊或通過特例，對於錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結論.

　　注意：

　　排除法適應於定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多於一個時，先根據某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據另一些條件在縮小選項的範圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中佔有很大的比重.

　　方法四：數形結合法

　　數形結合，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支援作用，實現抽象概念與具體形象的聯絡和轉化，化難為易，化抽象為直觀.

　　方法五：估演算法

　　在選擇題中作準確計算不易時，可根據題幹提供的資訊，估算出結果的大致取值範圍，排除錯誤的選項.對於客觀性試題，合理的估算往往比盲目的準確計算和嚴謹推理更為有效，可謂“一葉知秋”.

　　方法六：綜合法

　　當單一的解題方法不能使試題迅速獲解時，我們可以將多種方法融為一體，交叉使用，試題便能迎刃而解.根據題幹提供的資訊，不易找到解題思路時，我們可以從選項裡找解題靈感.

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