數學與形而上學的起源論文

　　形而上學在不同的語境下意義不同，主要包括兩個。一個是指哲學中探究宇宙萬物根本原理的那一部分。而另一個則是黑格爾開始使用，馬克思也沿用的術語，指的是與辯證法對立的，用孤立、靜止、片面的觀點觀察世界的思維方式。以下是小編為大家精心準備的：數學與形而上學的起源相關論文。內容僅供參考閱讀。

　　數學與形而上學的起源全文如下：

　　內容提要：哲學的衝動與經歷某種“邊緣形勢”有關，而要使這些衝動形成一門能傳承的學問，必依靠某種遊戲機制。古希臘的數學是形成西方形而上學傳統的關鍵機制，通過畢達哥拉斯而直接影響到巴門尼德和柏拉圖，再傳至亞里士多德。本文探討了“數是本原”的具體含義，它的成功與失敗之處，以及後來的哲學家們如何吸收與改造它。同時提及這種“數形而上學”在今天的新活力。

　　關鍵詞：數學，形而上學，畢達哥拉斯，數本原，結構。

　　論文正文：

　　按一般的講法，形而上學***metaphysics***作為一門哲學學問***“關於存在的科學”***出自亞里士多德的同名書;而它的問題只能上溯到巴門尼德。所以，專門討論形而上學的書，或者以巴氏的“存在”開頭，[1] 或者就直接從亞氏的《形而上學》談起。[2] 我的看法卻是：形而上學之所以能在西方***古希臘***出現併成為傳統哲學中的顯學，首先要歸於西方數學的激發與維持。概念形而上學的“真身”是在數學。所以，談論形而上學，尤其是它的起源，絕不可只從巴門尼德開始，而是應該上溯到畢達哥拉斯這位主張“數是萬物本原”的數理哲學家。

　　首先讓我們想一下，沒有畢達哥拉斯，能夠有巴門尼德和柏拉圖嗎?而如果沒有這兩位，能有亞里士多德嗎?我想回答都只能是“不能”。實際上，巴門尼德和柏拉圖都是某種特殊型別的或改進型的畢達哥拉斯主義者，這從他們的個人經歷和學說特點都可以看得很清楚。於是我們就有了下一個問題：為什麼西方意義上的數學能夠激發哲學?我們分兩步來回答。

　　首先，我們應該注意到：一個能夠持續存在的並有突出的獨特文化含義的哲學傳統是很難出現的，它不能從人類的自然傾向中產生。亞里士多德說哲學起於人的好奇和閒暇，[3] 而與之似乎相反的一種看法則認為：智慧之因是苦澀的。古希臘悲劇大師埃斯庫羅斯在《阿伽門農》中嘆道：“智慧自苦難中得來。”[4] 猶太-基督教的《聖經·創世紀》中講：人類的祖先正是吃了“知識之果”，才被神逐出了無憂無慮的伊甸園，世世代代要受苦受難。釋迦牟尼宣講的“四諦***四個最基本的真理***”的第一諦，就是讓人明白人生從根子上是“苦”，由此才能走向智慧。孟子則相信，那些膺天之大任者“必先苦其心志”。

　　我覺得亞氏的哲學起於“安樂與好奇說”肯定不成立，因為人類歷史上有好奇心和閒暇者甚多，但因此而做哲學思索者太少太少。“苦難起源說”雖然也有類似問題，但它蘊含著一個重要的啟發，即智慧、包括哲學智慧與人類經歷的某種“邊緣形勢”有關，而痛苦與絕望往往是造成現實人生中的邊緣形勢的最有力者。邊緣形勢的特點是：平日正常狀態中現成可用的方法與手段統統失效，人被逼得要麼想出新辦法對付這危機局面，要麼就被它壓倒。

　　然而，“邊緣”意味著“不穩定”、“不正常”和“難於重複”，所以只靠邊緣形勢激發出的流星野火般的智慧幾乎不可能形成一個持久的傳統。要將“野狐禪”***人在邊緣形勢中的自發思索***變為一門能承傳下去的學問，必須發明某種巧妙的方法或結構，使“邊緣”與“正常態”奇蹟般地結合起來，以使邊緣的探索能夠有所依憑地、但又不被這“依憑”完全腐化收編地獨立進行下去。所以，這個結構必須是一種高妙的遊戲機制，它裡面的規則不只是為了控制，而更是為了創造有自由度的遊戲空間，因而能源源不斷地產生和誘發出意義、趣味和思想熱情來。

　　我們可以設想，這個機制必須滿足這樣的要求：***1***它必須是比較獨立的，可以只靠或基本上靠自身的機制就見出效果、分出優劣。***2***它必須是足夠“公正”或“客觀”的，以使得整個局面不被某一種實體——不管它是哪種意義上的——控制。***3***它必須是足夠豐富的，以便容納充分的變化可能、不可測性，或者說是讓天才和創新出現的奇變可能。因此，這種可變性必須是質的，容納新的維度出現的可能，“驚喜”與“狂熱”出現的可能。

　　第二，古希臘的純數學、而不是巴比倫和古埃及的實用數學，滿足了這三個要求，尤其是第三個要求。它是可自身推演的、可自身判定的和容納無窮奇變可能的***甚至讓畢達哥拉斯學派本身嚐到了“不可通約”的苦果***。而畢達哥拉斯將它用到了解決世界與人生的邊緣問題上來，使在他之前出現的探討“本原”的傳統獲得了一個清晰的、嚴格得有些嚴酷的遊戲結構。沒有它，概念的精準與自身中包含絕對可判定的真理的信心不可能出現，因而形而上學也就不可能出現。

　　處在開創期的畢達哥拉斯，有著這個草創時期英雄的一切幼稚、天才和超前的敏感。他比誰都更強烈地感到了“數”結構的魔力，因而要在充分展示這個結構的多重和諧、呼應可能的同時證明它能夠用來直接解釋世界與人生的本質。

　　為了論證“數是本原”，畢達哥拉斯學派提出萬物***這裡可理解為表述萬物的語言的意義***與數是“相似”的，而他們用以論證這種相似的最根本理由是結構性的，即認為數中的比率或和諧結構***比如在樂音中***證明萬物必與它們相似，以獲得存在的能力。亞里士多德這樣敘述這一派的觀點：“他們又見到了音律[諧音]的變化與比例可由數來計算——因此，他們想到自然間萬物似乎莫不可由數範成，數遂為自然間的第一義;他們認為數的要素即萬物的要素，而全宇宙也是一數，並應是一個樂調。”[5] 這種“以結構上的和諧為真”的看法浸透於這一派人對數的特點和高貴性的理解之中。

　　比如，“10”對於他們是最完滿的數，因為10是前四個正整數之和，而且這四個數構成了名為四元體***tetraktys，四面體***的神聖三角：“ ”[注意它的多重對稱、相似與諧和]。而且，用這四個數就可以表示三個基本和諧音***4/3，3/2，2/1***和一個雙八度和諧音***4/1***。這些和音的比率可以通過擊打鐵砧的錘子的重量、琴絃的長度、瓶子中水面的高度，甚至是宇宙星球之間的距離而表現，但它們的“本質”是數的比率。[6] 此外，此組成10的四個基本數或四元體還表現為：1為點，2為線，3為面，4為體;而且是點或1的流動或移動產生了線，線的流動產生了平面，平面的運動產生了立體，這樣就產生了可見的世界。所以畢達哥拉斯派的最有約束力的誓言之一是這樣的：“它[四元體]蘊含了永恆流動的自然的根本和源泉”。[7] 此外，四元體還意味著火、氣、水、土四個元素;人、家庭、市鎮和城邦這社會的四元素;春夏秋冬四季;有生命物的四維***理性靈魂、暴躁的靈魂、貪慾的靈魂、作為靈魂寓所的軀體***;四種認識功能***純思想、學識、意見、感覺***;等等。[8]

　　除了通過四元體之外，對10的完美性和神聖性還可以以更多的方式或花樣來認識，比如數從10以後開始迴圈，還有就是認為10包含了偶數與奇數的平衡。所以，儘管畢達哥拉斯派認為奇數***有限***比偶數***無限***更真實高貴，10卻如同1那樣，佔據了一個超域奇偶對立的終極地位。於是我們讀到畢達哥拉斯派的這樣一段話：“首先，[10]必須是一個偶數，才能夠是一個相等於多個偶數和多個奇數之和的數，避免二者之間的不平衡。……10之數中包含著一切比例關係：相等、大於、小於、大於一部分、等等”。[9] 由此可見，數的本原性有數理本身的結構根據。10之所以完美，之所以被視為“永恆的自然的根源”，是由於在它那裡，可以從多個角度形成某種包含對立、對稱與比例的花樣或“和諧”。一位著名的畢達哥拉斯主義者菲羅勞斯這麼講：“人們必須根據存在於‘十’之中的能力研究‘數’的活動和本質，因為它[‘十’]是偉大的、完善的、全能的。……如果缺少了這個，萬物就將是沒有規定的、模糊的和難以辨別的”。[10]

　　對於畢達哥拉斯學派，數字與幾何形狀，特別是10以內的數字和某些形狀***比如圓形、四面體、十二面體***都具有像“1”、“2”、“4”、“10”那樣的語義和思想含義，而且這些含義被表達得儘量與數、形本身的結構掛鉤。例如“3”意味著“整體”和“現實世界”，因為它可以指開端、中間和終結，又可以指長、寬、高;此外，三角形是幾何中第一個封閉的平面圖形，基本的多面體的每一面是三角形，而這種多面體構成了水、火、土等元素，再構成了萬物。所以，“世界及其中的一切都是由數目‘三’所決定的”。[11] 這似乎有些《老子》講的“一生二，二生三，三生萬物”的味道。“5”對於畢達哥拉斯派是第一個奇數***“3”***與第一個偶數***“2”***相加而得出的第一個數，所以，它是婚姻之數。

　　此外，十二面體的每一面是正5邊形，把正5邊形的5個頂點用直線連起來，就做出5個等腰三角形，組成一個5角星，這5角星的中腹又是一個顛倒的正5邊形。而且，這種正5邊形對角線***頂點連線***與邊之比等於黃金分割的比率：1.618。再者，這5角星圍繞中心點5次自轉而返回原狀。等等。因此，這種5邊形和5角星也是有某種魔力的。[12] 再比如，7是10之內的最大素數，意味著過時不候的“機會”，由此就有“時間”、“命運”的含義。諸如此類的對“數”的結構意義的把握及其語義賦值和哲理解釋是典型的畢達哥拉斯派的風格。

　　從這些討論可以看出，在畢達哥拉斯學派、也可以說是在西方傳統形而上學的主流唯理論***rationalism***的開端這裡，也有一種結構推演的精神在發揮關鍵性作用。“本原”意味著推演花樣的最密集豐滿處，也就是在這個意義上的最可理解處，最有理性處。所以，這裡也有一個避不開的問題，即有自身推演力的符號系統[對於畢達哥拉斯是數學符號系統]與它的語言與思想內容的關係的問題，簡言之，就是數與言的關係問題。對這個問題處理得成功與否，或在什麼意義上成功與失敗，決定著畢達哥拉斯派在哲學史上的地位，實際上也決定了西方傳統哲學主流後來的發展方向。

　　首先，應該說，就西方的整個學術思想走向，特別是它的近現代科學走向而言，對於數學符號系統的思想和語義賦值，以及反過來，科學思想和語言的數學化，都是相當成功的，或起碼取得了重大進展，影響到整個人類的生存方式。數學成為科學的楷模，理性的化身，同時也是傳統西方哲學在追求最高知識中的既羨又妒的情敵。在西方傳統哲學中，畢達哥拉斯派論述過的前三個數字和某些圖形，比如三角形、圓形，也獲得了思想與語言的生命，尤其是，畢達哥拉斯派的“數本原”說中包含的追求可變現象後面的不變本質的傾向，幾乎成了西方傳統哲學主流中的一以貫之的“道統”。然而，畢達哥拉斯派對於數、形所做的思想和語言賦值的大部分具體工作都失敗了，這些努力被後世的哲學家們視為幼稚、牽強、神祕，甚至是荒誕。原因何在?

　　在我看來，最重要的一個原因是畢達哥拉斯派固守十進位制的數字結構和幾何形狀結構，使得這種意義上的“數”與“言***表達哲學思想的自然語言***”的有機聯絡無法在稍微複雜一點的層次上建立起來。這個似乎只是技術上的問題造成了這樣一些不利的後果：

　　***1***哪怕以阿拉伯數字為例，十進位制數字也要在10個[算上零的話]不同形態的符號後才出現“位置”的含義和“迴圈”，這就使得整個符號結構很不經濟，很不輕巧，冗員雜多，跨度過大，大大削弱了它的直接顯示結構意義的能力，也就是“成象”的能力。後來只有兩、三個數字和圖形獲得了重要的哲學含義這個事實暗示著：哲學思維可以與數字或圖象有關係，但只能與結構上非常簡易者打交道。

　　***2***這種包含過多、過硬的自家符號和迴圈方式的表達系統很難與其他符號系統及解釋符號系統的方式***比如從空間方向、時間階段、不同的次序與位置出發的解釋***溝通和耦合，於是失去了從結構上多維互連而觸類旁通的能力。這樣，對數、形的各種語義解釋就顯得牽強，缺少暗示力和對各種複雜的人生局面的顯示力。

　　***3***為了取得數字的象性，畢達哥拉斯派做了大量工作，主要是通過數點排列及其運動使之與幾何圖形掛鉤。然而，絕大多數幾何圖形離語言和哲學思想還是太遠，缺少生存的方向、時間與境域的顯示力。而且，畢達哥拉斯派自己就發現了“無理數”，比如正方形對角線與邊之比值，由此而動搖了在這個方向上的努力。

　　***4***為了從根本上改變數、形與語言缺少聯通渠道的局面，這一派提出了“對立是本原”。它確實能夠極大地簡化符號系統的結構，增強數、形的直接表現力和構意能力，如果畢達哥拉斯派能夠將它的數理表現與赫拉克拉特式的對於對立的更徹底和流動的理解結合起來的話。然而，在畢達哥拉斯派那裡，這種對立不僅仍然潛在地以十進位制數字和幾何圖形為前提，未能獲得符號的結構層次上的意義，而且，如上所述，它對立得還不夠真實原發，以致於每個對子的兩方的意義未能充分地相互需要，一方可以從“本質”上壓制和統治另一方，因而大大限制了這種對立的變通能力和構造能力。

　　總之，在大多數畢達哥拉斯派之數與哲理語言之間很難出現居中的、溝通兩者的象，再加上西方文字的拼音特點，致使畢達哥拉斯派的數與言的溝通努力大多流產。但他之後的希臘哲學家，比如巴門尼德、柏拉圖、亞里士多德等，還是在保留其基本精神的前提下另闢蹊徑，試圖在人們普遍使用的語言中找出或構造出最接近數學結構的東西。於是，他們發現了或不如說是發明了一種概念化的自然語言。

　　這種語言似乎具有數學語言的“是其所是”的先天確定性和數學運算那樣的推演力，比如巴門尼德***Parmenides***在其《殘篇》第2節中講到：“存在是存在的，它不能不存在***THAT IT IS, and it is not possible for IT NOT TO BE***，這是可靠的路徑，因為它通向真理。”這就是一種有意識地去爭得數學那樣的確定性的語言遊戲，幾乎就是重言式，[13] 卻為兩千多年的西方哲學確立了“存在”或“是”這個形而上學的大問題。所以巴門尼德拋棄了絕大部分畢達哥拉斯之數，只保留了1和圓形，作為“存在***是***”這一自然語言中的範疇的對應物，由此而開創了西方哲學兩千年之久的“存在論”傳統。當然，在“圓形”的、“靜止”的“1”被突出到無以復加的程度的同時，畢達哥拉斯派通過推演結構來演繹思想和語言的良苦用心就在很大程度上被忽視了。

　　後來柏拉圖講的“辯證法”和亞里士多德的“邏輯”與“形而上學”***但不包括他對“實踐智慧”的考慮***，都是在追求這種數學化哲學的推演理想，其結果就是為整個傳統西方哲學建立了一整套概念化語言和運作機制，用當今一位美國哲學家庫恩的術語來講，就是建立起了傳統西方哲學的“正規化”***paradigm***。在其中，儘管表面上也有不同的傾向，比如亞里士多德的實踐哲學方面、中世紀的唯名論和近現代的經驗主義，但那***尤其是後兩者***不過是在既定的大格局裡的分叉而已。最後，這種通過概念化獲得數學式的確定性和討論哲學問題所需要的終極性的理想在黑格爾那裡達到了一次輝煌和悲壯的體現。

　　當然，這種觀念化或範疇化的轉換也付出了沉重的代價，“範疇演繹”和“辯證邏輯”一直缺少數學系統所具有的那種有自身內在依據的推演機制。所以，成為像數學或數學化的物理學那樣的嚴格科學，同時又具有解釋世界與人生現象的語義功能，這一直是西方哲學的夢想。但情況似乎是：畢達哥拉斯派的哲學夢破碎之處，其他的西方哲學家也極少能夠將其補足。不過，畢竟還有某種希望：前兩三個數字進入了哲學這一事實似乎表明：數、形並非都與思想語言完全異質。

　　基數越小，越有可能與自然語言溝通。而且，如果這“小”不只意味著數量的“少”，而可以意味著進位制的“小”和圖形的“簡易”的話，就有可能出現新的數與言之間的更緊密的關係。於是我們看到近代的萊布尼茲提出了二進位制數學，以及這種簡易型的數理精神在當代數字化革命中扮演的中心角色。這種改變人類生存方式的簡易數理依然是形而上學的。也就是說，它依然是在用一套人工符號的超越框架來規範人生，而不是“道法自然”。只不過，它在兩千年的概念形而上學之後又回覆到了畢達哥拉斯，讓我們又一次感到“數是萬物的本原”的深刻而又令人戰慄的力量。

　　註釋：

　　[1] 參見D. A. Drennen, ed., A Modern Introduction to Metaphysics, New York: Free Press of Glencoe, 1962。此書是一本從巴門尼德到懷特海的著作選集，按形而上學中的問題分類。

　　[2] 參見R. G. Collingwood, An Essay on Metaphysics, Oxford: Clarendon Press, 1940。此書正文的第一句話是：“要討論形而上學，唯一正派的、當然也是聰明的方式就是從亞里士多德開始。”

　　[3] 《形而上學》，982b14-28。

　　[4] 引自《古希臘悲劇經典》，羅念生譯，北京：作家出版社，1998年，49頁。

　　[5] 亞里士多德：《形而上學》，985b-986a，昊壽彭譯，北京：商務印書館，1981年，12-13頁。

　　[6] 參見若-弗·馬泰伊：《畢達哥拉斯和畢達哥拉斯學派》，管震湖譯，北京：商務印書館，1997年，90頁以下;《古希臘哲學》，苗力田主編，中國人民大學出版社，***，78頁;汪子嵩等：《希臘哲學史》第1卷，人民出版社，1997年，290頁以下。

　　[7] 《古希臘哲學》，78頁。

　　[8] 《畢達哥拉斯和畢達哥拉斯學派》，115頁以下。

　　[9] 同上書，125頁。譯文稍有改動。

　　[10] 《希臘哲學史》第1卷，290頁。

　　[11] 亞里士多德：《論天》，引自〈希臘哲學史〉第1卷，283頁。