如何突破數學命題難點
學習高二的數學要不斷的突破數學的難點。下面是小編整理了,供你參考。
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一: 定位整體
新課程標準對“常用邏輯用語”的定位為:“正確使用邏輯用語是現代社會公民應該具備的基本素質,無論是進行思考、交流,還是從事各項工作,都需要正確的運用邏輯用語表達自己的思想.在本模組中,同學們將在義務教育的基礎上,學習常用邏輯用語,體會邏輯用語在表述和論證中的作用,利用這些邏輯用語準確地表達數學內容,更好地進行交流.” 因此,學習邏輯用語,不僅要了解數理邏輯的有關知識,還要體會邏輯用語在表述或論證中的作用,使以後的論證和表述更加準確、清晰和簡潔.
二: 明確重點
“常用邏輯用語”分成三大節,分別為:命題及其關係,簡單的邏輯聯結詞,全稱量詞與存在量詞.
“命題及其關係”分兩小節:一、“四種命題”,此節重點在於四種命題形式及其關係,互為逆否命題的等價性;二、“充分條件和必要條件”,此節重點在於充分條件、必要條件、充要條件的準確理解以及正確判斷.
“簡單的邏輯聯結詞”重點在於“且”、 “或”、 “非”這三個邏輯聯結詞的理解和應用.
“全稱量詞與存在量詞”重點在於理解全稱量詞與存在量詞的意義,以及正確做出含有一個量詞的命題的否定.
三: 突破難點
1. “四種命題”的難點在於分清命題的條件和結論以及判斷命題的真假
例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,並判斷它們的真假.
***1*** 全等三角形的面積相等;
***2*** m>時,方程mx2-x+1=0無實根;
***3*** 若sinα≠,則α≠30°.
解析 ***1*** 條件為兩個三角形全等,結論為它們的面積相等.因此,原命題即為“若兩個三角形全等,則它們的面積相等”,逆命題為“若兩個三角形面積相等,則它們全等”,否命題為“若兩個三角形不全等,則它們的面積不相等”,逆否命題為“若兩個三角形面積不相等,則它們不全等”.根據平面幾何知識,易得原命題和逆否命題為真命題,逆命題和否命題為假命題.
***2*** 原命題即為“若m>,則方程mx2-x+1=0無實根”,逆命題為“若方程mx2-x+1=0無實根,則m>”,否命題為“若m≤,則方程mx2-x+1=0有實根”,逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實根,則m≤”.根據判別式Δ=1-4m的正負可知,原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.
***3*** 原命題即為“若sinα≠,則α≠30°”,逆命題為“若α≠30°,則sinα≠”,否命題為“若sinα=,則α=30°”,逆否命題為“若α=30°,則sinα=”.直接判斷原命題與逆命題真假有些困難,但考慮到原命題與逆否命題等價,逆命題與否命題等價,因此可以先考慮逆否命題和否命題;由三角函式的知識,可知原命題和逆否命題為真命題,逆命題和否命題為假命題.
突破 對於判斷命題的真假,我們需要先弄清何為條件、何為結論,然後根據相應的知識進行判斷,當原命題不容易直接判斷時,可以先判斷其逆否命題的真假性,從而得到原命題的真假性.
2. “充分條件和必要條件”的難點在於充要性的判斷
例2 在下列命題中,判斷p是q的什麼條件.***在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種***
***1*** p:|p|≥2,p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有實根.
***2*** p:圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切;q:c2=***a2+b2***r2,其中a2+b2≠0,r≠0.
***3*** 設集合M={x|x>2},N={x|x<3},p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.
解析 ***1*** 當|p|≥2時,例如p=3,此時方程x2+px+p+3=0無實根,因此“若p則q”為假命題;當方程x2+px+p+3=0有實根時,根據判別式有p≤-2或p≥6,此時|p|≥2成立,因此“若q則p”為真命題.故p是q的必要不充分條件.
***2*** 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切,則圓心***0,0***到直線ax+by+c=0的距離等於r,即r=,化簡可得c2=***a2+b2***r2,因此“若p則q”為真命題;反過來,由c2=***a2+b2***r2,可得r=,即圓心***0,0***到直線ax+by+c=0的距離等於r,由解析幾何知識得圓與直線相切,因此“若q則p”為真命題.故p是q的充要條件.
***3*** M∩N=***2,3***,M∪N=R,若x∈***2,3***,此時顯然有x∈R,因此“若p則q”為真命題;反過來,若x∈R,例如x=5,此時x?埸***2,3***,因此“若q則p”為假命題.故p是q的充分不必要條件.
突破 ①從邏輯的觀點理解:判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性,若“若p則q”為真命題,則p是q的充分條件;若“若q則p”為真命題,則p是q的必要條件;若兩者都是真命題,則p是q的充要條件;若兩者都是假命題,則p是q的既不充分也不必要條件.②從集合的觀點理解:建立命題p,q相應的集合. p:A={x|p***x***成立},q:B={x|q***x***成立}.那麼:若A?哿B,則p是q的充分條件;若B?哿A,則p是q的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件.若A?芫B且B?芫A,則p是q的既不充分也不必要條件.