初二數學勾股定理知識點解析

　　勾股定理是一個基本的初等幾何定理，直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²，***a,b,c***叫做勾股陣列。今天小編將與大家分享：初二數學。具體內容如下：
 

初二數學《勾股定理》知識點解析
 

　　勾股定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一個最著名的例子。

　　如果 ，則△ABC是鈍角三角形。

　　如果 ，則△ABC是銳角三角形。

　　《幾何原本》：“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

　　利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用，通常是在一個直角三角形中，已知兩條邊的長度，求第三邊。對於這類問題，可以直接代入公式進行計算，比較容易。在許多題目中，都可能出現這一小步驟來解決許多大題。
 

　　一、利用勾股定理進行計算

　　1.求面積

　　例1:如圖1,在等腰△ABC中,腰長AB=10cm,底BC=16cm,試求這個三角形面積。

　　析解:若能求出這個等腰三角形底邊上的高,就可以求出這個三角形面積。而由等腰三角形"三線合一"性質,可聯想作底邊上的高AD,此時D也為底邊的中點,這樣在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以這個三角形面積為 ×BC×AD= ×16×6=48 cm2。

　　2.求邊長

　　例2:如圖2,在△ABC中,∠C=135?,BC= ,AC=2,試求AB的長。

　　析解:題中沒有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考慮過點B作BD⊥AC,交AC的延長線於D點,構成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因為∠ACB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC= ,根據勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD= AC+ CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2= AD2+BD2=32+12=10,所以AB= 。

　　點評:這兩道題有一個共同的特徵,都沒有現成的直角三角形,都是通過新增適當的輔助線,巧妙構造直角三角形,藉助勾股定理來解決問題的,這種解決問題的方法裡蘊含著數學中很重要的轉化思想,請同學們要留心。
 

　　二、利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形

　　例3:已知a,b,c為△ABC的三邊長,且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。

　　析解:由於所給條件是關於a,b,c的一個等式,要判斷△ABC的形狀,設法求出式中的a,b,c的值或找出它們之間的關係***相等與否***等,因此考慮利用因式分解將所給式子進行變形。因為a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+ b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+ b2-24b+144+ c2-26c+169=0,所以***a-5***2+ ***b-12***2+ ***c-13***2=0。因為***a-5***2≥0,***b-12***2≥0,***c-13***2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因為52+122=132,所以a2+ b2= c2,即△ABC是直角三角形。

　　點評:用代數方法來研究幾何問題是勾股定理的逆定理的"數形結合思想"的重要體現。
 

　　三、利用勾股定理說明線段平方和、差之間的關係

　　例4:如圖3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中點,DE⊥AB於E點,試說明:BC2=BE2-AE2。

　　析解:由於要說明的是線段平方差問題,故可考慮利用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可連結BD來解決。因為∠C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2= DE2+AE2。又D是AC的中點,所以AD=CD。故BC2+CD2= BC2+ A D2= BC2+ DE2+AE2= BE2+ DE2,所以BE2= BC2+ AE2,所以BC2=BE2-AE2。

　　點評:若所給題目的已知或結論中含有線段的平方和或平方差關係時,則可考慮構造直角三角形,利用勾股定理來解決問題。