數學手抄報版面圖

　　純數學這門科學再其現代發展階段，可以說是人類精神之最具獨創性的創造。下面小編給大家帶來：

　　數學手抄報資料：希爾伯特問題與20世紀數學

　　自從《21世紀100個科學難題》出版之後，希爾伯特的名字也逐漸為更多的人知道，由於數學，特別是現代數學，很難為一般人所理解，自然，數學在媒體上難得有什麼地位，而數學家的名字聽起來也格外陌生了。無論國外國內，稍有科學素養的人都知道牛頓和愛因斯坦。無疑，牛頓應該是有史以來最偉大的科學家，而愛因斯坦是20世紀最偉大的物理學家。

　　但是，談起20世紀的數學，我想，至少應該記住三個人的名字：龐加萊、希爾伯特和馮·諾伊曼，他們是20世紀最有影響的數學家。龐加萊是非線性數學***如現代時髦的渾沌理論***的奠基人以及當代數學女王——拓撲學的建立者。馮·諾伊曼被稱為“計算機之父”和現代計算數學的奠基人，而數理經濟學和對策論***一譯博奕論***也由他首先取得突破的。而對20世紀主流數學——結構數學有巨大影響的當屬希爾伯特。

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　　希爾伯特通過兩條途徑對20世紀數學施加影響：一條是通過自己遍及數論、代數、幾何、分析以及數學基礎的工作，一條是通過提出並研究數學前沿的問題指出未來數學發展的方向。他之所以能做到這點，除了他的天才和格廷根的優美環境之外，就要歸結為他的獻身精神——熱愛數學、學習數學的熱望，不斷地去深入理解數學的任何一個部門。總之，使數學成為生活中不可或缺的東西。筆者在格廷根的檔案館中發現他的記錄和筆記中，有一部分是他取得博士學位以後，訪問國內國外知名數學家的記錄;另有三大本筆記，詳細記錄他提出的各種問題以及對各種問題的思考;而他在1900年8月8日關於《數學問題》的報告顯然不是急就章，而是長年思考積累的結果。

　　希爾伯特的報告不是大會報告，而是數學史組的分組報告，從這個意義上來講，那時人們的確重視科學發展的歷史，而也正是這種重視歷史的心態，才使這些最偉大的數學家成就其歷史的偉業。從另外一個意義上來講，希爾伯特的23個問題是一個繼往開來的文獻，說它繼往，是它總結了19世紀幾乎所有未解決的重要問題;說它開來，是這些問題的確推動了20世紀數學的進步。因此各數學大國，美國、前蘇聯、日本以及法國、德國和英國的數學家或組織起來或單獨研究希爾伯特問題的歷史和現狀，並進一步提出新的問題。這裡我們也極簡單地概括一下，欲知其詳，則有待於專著的問世。

　　希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題;第7到第12問題是數論問題;第13到第18問題屬於代數和幾何問題;第19到第23問題屬於數學分析。從順序上講，顯然希爾伯特把自己的重點放在數學基礎上，他自己的工作也正為締造數學大廈牢固的基礎而努力。從19世紀末希爾伯特已致力把數學建立在少數公理的基礎上。他還是集合論最早的少數支持者之一，把數學建立在集合論基礎上成為他的夢想。這可以解釋他為什麼把集合論頭號問題——連續統假設列為自己的第1問題。

　　希爾伯特通過自己的工作包括他的基礎問題對於20世紀數理邏輯的發展起了決定性的影響。但是希爾伯持的綱領卻由於哥德爾1930年的不完全性定理而不能實現，從此數理邏輯走向獨特的發展道路。從新的觀點看，第1、第2以及第10問題屬於數理邏輯的範圍，第3、第4、第5、第6屬於較為具體的學科。從某種意義來講，這些問題可以說都在不同程度上得到解決。

　　數論這一塊是希爾伯特本人在1900年之前最為關注的領域，他本人的工作對這領域的發展也有決定性的影響。出乎他本人的預料，第7問題在他在世時已經解決，而第8問題的黎曼猜想卻至今還距離完全解決尚遠，成為未來世紀數學家的頭號難題。由第12問題衍生出的朗蘭茲***LangLands***綱領，更是遠未解決，而其它4個問題可以說已經基本解決。

　　20世紀的代數學已由方程論和不變式論發展為抽象代數學或近世代數學，這條發展路線雖然同希爾伯特問題關係不大，但的確是在希爾伯特本人工作的影響之下發展起來的。13、14和17這三個代數問題可以說基本解決，它們也給20世紀數學帶來新的方向。幾何的三個問題中，第15問題對於代數幾何學的嚴格化有重要影響，而代數幾何學在20世紀是一門對各方面都有巨大影響的主流學科，它的基礎已經建立在交換代數學的基礎上。與此相反，16問題前半的實代數幾何學進展不大，儘管希爾伯特的問題有很大進步。16問題後半的極限環問題經過一個世紀的努力可以說進展甚微，具體講每一個重要進展在多年之後都發現不對。18問題共有三問，前兩問已經圓滿解決，而第三問則發展成一個十分活躍的領域，特別是開普勒***就是發現行星運動的三定律的那位***猜想終於在本世紀結束之前完全證明。 

　　希爾伯特的5個分析問題，可以說都基本解決。希爾伯特從1900年起研究分析，特別是狄式原理和積分方程直接推動偏微分方程和泛函分析的發展。總之，希爾伯特23個問題有4個問題仍是下世紀的大問題***第8、第12、16B、18C***，而其他問題則應在基本解決的基礎上提出更多更新的問題。

　　回顧一個世紀數學的發展，我們的確可以看到希爾伯特通過他自己的工作和提出的問題，把20世紀數學帶上一條健康發展的道路。當然，即使像希爾伯特這樣的數學巨人，也自然會有他的侷限性。他基本上沒有涉及龐加萊的組合拓撲的工作，E·嘉當關於李代數的工作以及黎曼幾何與張量分析和群表示論的研究。但是，他的工作和他的問題同20世紀特別是上半世紀一半以上的數學研究有聯絡。

　　而到20世紀末，數學已發展成如此龐大的領域，已經找不到一個人來提出全面數學問題的清單，他的工作需要幾十人來代替。這些領袖人物雖然不像希爾伯特那樣廣博，但決不是狹窄領域的專家，他們都多少繼承希爾伯特的基因，在學科交叉上看到數學未來的前沿。而這正預示著下一世紀數學輝煌的前景，也是解決老問題，提出新問題的關鍵所在。