高三年級數學必修一知識點

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【一】

1.數列的定義

按一定次序排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數都叫做數列的項.

***1***從數列定義可以看出，數列的數是按一定次序排列的，如果組成數列的數相同而排列次序不同，那麼它們就不是同一數列，例如數列1，2，3，4，5與數列5，4，3，2，1是不同的數列.

***2***在數列的定義中並沒有規定數列中的數必須不同，因此，在同一數列中可以出現多個相同的數字，如：-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構成數列：-1，1，-1，1，….

***4***數列的項與它的項數是不同的，數列的項是指這個數列中的某一個確定的數，是一個函式值，也就是相當於f***n***，而項數是指這個數在數列中的位置序號，它是自變數的值，相當於f***n***中的n.

***5***次序對於數列來講是十分重要的，有幾個相同的數，由於它們的排列次序不同，構成的數列就不是一個相同的數列，顯然數列與數集有本質的區別.如：2，3，4，5，6這5個數按不同的次序排列時，就會得到不同的數列，而{2，3，4，5，6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合.

2.數列的分類

***1***根據數列的項數多少可以對數列進行分類，分為有窮數列和無窮數列.在寫數列時，對於有窮數列，要把末項寫出，例如數列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有窮數列，如果把數列寫成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示無窮數列.

***2***按照項與項之間的大小關係或數列的增減性可以分為以下幾類：遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列.

3.數列的通項公式

數列是按一定次序排列的一列數，其內涵的本質屬性是確定這一列數的規律，這個規律通常是用式子f***n***來表示的，

這兩個通項公式形式上雖然不同，但表示同一個數列，正像每個函式關係不都能用解析式表達出來一樣，也不是每個數列都能寫出它的通項公式;有的數列雖然有通項公式，但在形式上，又不一定是的，僅僅知道一個數列前面的有限項，無其他說明，數列是不能確定的，通項公式更非.如：數列1，2，3，4，…，

由公式寫出的後續項就不一樣了，因此，通項公式的歸納不僅要看它的前幾項，更要依據數列的構成規律，多觀察分析，真正找到數列的內在規律，由數列前幾項寫出其通項公式，沒有通用的方法可循.

再強調對於數列通項公式的理解注意以下幾點：

***1***數列的通項公式實際上是一個以正整數集N它的有限子集{1，2，…，n}為定義域的函式的表示式.

***2***如果知道了數列的通項公式，那麼依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出這個數列的各項;同時，用數列的通項公式也可判斷某數是否是某數列中的一項，如果是的話，是第幾項.

***3***如所有的函式關係不一定都有解析式一樣，並不是所有的數列都有通項公式.

如2的不足近似值，精確到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所構成的數列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就沒有通項公式.

***4***有的數列的通項公式，形式上不一定是的，正如舉例中的：

***5***有些數列，只給出它的前幾項，並沒有給出它的構成規律，那麼僅由前面幾項歸納出的數列通項公式並不.

4.數列的圖象

對於數列4，5，6，7，8，9，10每一項的序號與這一項有下面的對應關係：

序號：1234567

項：45678910

這就是說，上面可以看成是一個序號集合到另一個數的集合的對映.因此，從對映、函式的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整集N或它的有限子集{1，2，3，…，n}***的函式，當自變數從小到大依次取值時，對應的一列函式值.這裡的函式是一種特殊的函式，它的自變數只能取正整數.

由於數列的項是函式值，序號是自變數，數列的通項公式也就是相應函式和解析式.

數列是一種特殊的函式，數列是可以用圖象直觀地表示的.

數列用圖象來表示，可以以序號為橫座標，相應的項為縱座標，描點畫圖來表示一個數列，在畫圖時，為方便起見，在平面直角座標系兩條座標軸上取的單位長度可以不同，從數列的圖象表示可以直觀地看出數列的變化情況，但不精確.

把數列與函式比較，數列是特殊的函式，特殊在定義域是正整數集或由以1為首的有限連續正整陣列成的集合，其圖象是無限個或有限個孤立的點.

5.遞推數列

一堆鋼管，共堆放了七層，自上而下各層的鋼管數構成一個數列：4，5，6，7，8，9，10.①

數列①還可以用如下方法給出：自上而下第一層的鋼管數是4，以下每一層的鋼管數都比上層的鋼管數多1。

【同步練習題】

1.已知數列{an}中，an=n2+n，則a3等於******

A.3B.9

C.12D.20

答案：C

2.下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是******

A.1，12，13，14，…

B.-1，-2，-3，-4，…

C.-1，-12，-14，-18，…

D.1，2，3，…，n

解析：選C.對於A，an=1n，n∈N它是無窮遞減數列;對於B，an=-n，n∈N它也是無窮遞減數列;D是有窮數列;對於C，an=-***12***n-1，它是無窮遞增數列.

3.下列說法不正確的是******

A.根據通項公式可以求出數列的任何一項

B.任何數列都有通項公式

C.一個數列可能有幾個不同形式的通項公式

D.有些數列可能不存在項

解析：選B.不是所有的數列都有通項公式，如0,1,2,1,0，….

4.數列23，45，67，89，…的第10項是******

A.1617B.1819

C.2021D.2223

解析：選C.由題意知數列的通項公式是an=2n2n+1，

∴a10=2×102×10+1=2021.故選C.

5.已知非零數列{an}的遞推公式為an=nn-1?an-1***n>1***，則a4=******

A.3a1B.2a1

C.4a1D.1

解析：選C.依次對遞推公式中的n賦值，當n=2時，a2=2a1;當n=3時，a3=32a2=3a1;當n=4時，a4=43a3=4a1.

【二】

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關係是普遍存在的，我們用數學符號連線兩個數或代數式以表示它們之間的不等關係，含有這些不等號的式子，叫做不等式.

2.比較兩個實數的大小

兩個實數的大小是用實數的運算性質來定義的，

有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?.

另外，若b>0，則有>1?;=1?;<1?.

概括為：作差法，作商法，中間量法等.

3.不等式的性質

***1***對稱性：a>b?;

***2***傳遞性：a>b，b>c?;

***3***可加性：a>b?a+cb+c，a>b，c>d?a+cb+d;

***4***可乘性：a>b，c>0?ac>bc;a>b>0，c>d>0?;

***5***可乘方：a>b>0?***n∈N，n≥2***;

***6***可開方：a>b>0?***n∈N，n≥2***.

複習指導

1.“一個技巧”作差法變形的技巧：作差法中變形是關鍵，常進行因式分解或配方.

2.“一種方法”待定係數法：求代數式的範圍時，先用已知的代數式表示目標式，再利用多項式相等的法則求出引數，最後利用不等式的性質求出目標式的範圍.

3.“兩條常用性質”

***1***倒數性質：①a>b，ab>0?<;②a<0

③a>b>0,0;④0

***2***若a>b>0，m>0，則

①真分數的性質：<;>***b-m>0***;

②假分數的性質：>;<***b-m>0***.

【三】

1.滿足二元一次不等式***組***的x和y的取值構成有序數對***x，y***，稱為二元一次不等式***組***的一個解，所有這樣的有序數對***x，y***構成的集合稱為二元一次不等式***組***的解集。

2.二元一次不等式***組***的每一個解***x，y***作為點的座標對應平面上的一個點，二元一次不等式***組***的解集對應平面直角座標系中的一個半平面***平面區域***。

3.直線l：Ax+By+C=0***A、B不全為零***把座標平面劃分成兩部分，其中一部分***半個平面***對應二元一次不等式Ax+By+C>0***或≥0***，另一部分對應二元一次不等式Ax+By+C<0***或≤0***。

4.已知平面區域，用不等式***組***表示它，其方法是：在所有直線外任取一點***如本題的原點***0，0******，將其座標代入Ax+By+C，判斷正負就可以確定相應不等式。

5.一個二元一次不等式表示的平面區域是相應直線劃分開的半個平面，一般用特殊點代入二元一次不等式檢驗就可以判定，當直線不過原點時常選原點檢驗，當直線過原點時，常選***1，0***或***0，1***代入檢驗，二元一次不等式組表示的平面區域是它的各個不等式所表示的平面區域的公共部分，注意邊界是實線還是虛線的含義。“線定界，點定域”。

6.滿足二元一次不等式***組***的整數x和y的取值構成的有序數對***x，y***，稱為這個二元一次不等式***組***的一個解。所有整數解對應的點稱為整點***也叫格點***，它們都在這個二元一次不等式***組***表示的平面區域內。

7.畫二元一次不等式Ax+By+C≥0所表示的平面區域時，應把邊界畫成實線，畫二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面區域時，應把邊界畫成虛線。

8.若點P***x0，y0***與點P1***x1，y1***在直線l：Ax+By+C=0的同側，則Ax0+By0+C與Ax1+Byl+C符號相同;若點P***x0，y0***與點P1***x1，y1***在直線l：Ax+By+C=0的兩側，則Ax0+By0+C與Ax1+Byl+C符號相反。

9.從實際問題中抽象出二元一次不等式***組***的步驟是：

***1***根據題意，設出變數;

***2***分析問題中的變數，並根據各個不等關係列出常量與變數x，y之間的不等式;

***3***把各個不等式連同變數x，y有意義的實際範圍合在一起，組成不等式組。