重力沉降

[拼音]：moxing lilun

[英文]：model theory

直接在結構即原型上進行的實驗，稱為原型實驗；在按照原型設計的模型上進行的實驗，則稱為模型實驗。一般說來，前者比後者更為真實。但在進行研究或對新設計方案進行比較，或者由於種種原因而不能進行原型實驗時，模型實驗就成為重要的手段。使模型和原型相似所根據的理論，稱為模型理論，它的基礎是相似理論。

相似理論

相似現象的同一物理量之比，稱為相似係數，或稱相似比例。所有相似係數之間，存在著某種關係式，稱為相似指標。與此對應，相似現象各物理量之間，也存在某種關係式，稱為相似判據。

相似第一定理

相似現象用相同的方程式描述。彼此相似的現象，其相似指標等於1，其相似判據的數值相等。

相似第二定理

描述一個現象各物理量之間的關係式，都可以寫成相似判據方程式。

相似第三定理

單值條件相似，且從它匯出的相似判據的數值相等，是現象彼此相似的充分和必要條件。

單值條件包括：幾何條件、初始條件、邊界條件以及對所研究的現象有重大影響的物理條件等。對於常溫靜態彈性應力分析問題，主要考慮的是幾何條件、載荷條件、約束條件和泊松比條件。而對運動學和動力學的問題，則還要考慮初始條件和時間條件等。在複雜的模型實驗中，要求單值條件完全相似是有困難的，但應儘量保持相似。

以上是模型設計和獲得相似量必須遵循的法則。

確定相似判據的方法

相似判據是根據相似理論確定的，有下述兩種方法：

方程式分析法

適用於已有數學方程描述的現象。以常溫靜態實驗應力分析為例，按彈性力學，原型的靜力平衡方程為：

， (1)

式中σ為正應力；τ為剪應力;ρ為密度；x、y、z為座標。令

=σp/σm、Cl=lp/lm和Cρ=ρp/ρm分別為應力相似係數、幾何尺寸相似係數和密度相似係數，l為幾何量（長度等），腳標p和m分別代表原型和模型。因模型和原型相似，故依相似第一定理，其相似指標和相似判據分別為：

(2)

和

σ/lρ=π， (3)

式(3)同時適用於原型和模型。這裡π 是不變數。根據這些公式，可以得到在體積力作用下的應力轉換關係：

σp＝σm(lpρp/lmρm)。 (4)

採用光彈性法時，常以離心力場代替重力場來模擬模型的自重作用。若模型受到的離心力為ρmω2r，ω為轉速，r為旋轉半徑，則式(4)中的ρm被ρmω2r/g（g為重力加速度）代換後，得到：

σp＝σm(lpρpg/lmρmω2r)， (5)

ω2r為離心機的徑向加速度。

若不考慮體積力，則

/Cl為任意常數。相似指標為任意常數的情況，稱為自然模型化。在不考慮體積力的實驗應力分析模型中，只要模型和原型保持幾何相似、載荷相似、約束條件相似和泊松比相等，則兩者的應力情況相似。

用同樣的方法分析本問題的邊界條件方程，可得出在分佈載荷p作用下的應力轉換關係：

σp＝σm(pp/pm)。 (6)

對於集中載荷，外力P＝pl2，故有：

σp＝σm(Ppl娽/Pml婃)。 (7)

對於二維問題，因為沿板厚δ 的應力均勻分佈，所以平面尺寸l和厚度可選取不同的相似係數，這時式(7)變為：

σp＝σm(Pplmδm/Pmlpδp)。(8)

以上是分析彈性力學小位移基本方程得到的應力轉換關係。

量綱分析法

這是一種廣泛應用的方法，對於那些還沒有數學方程的問題尤為重要。仍以常溫靜態應力分析問題為例：

在此情況下，應力σ和l、P、E(彈性模量)、ν（泊松比）、ρ等有關。設l為結構中的某長度，則其他長度分別為n1l，n2l，…。n1，n2，…為有關的倍數。若某外力為P，則其他外力為níP，n勶P，…。ní，n勶，…為相應的倍數。更以v1，v2，…表示外力作用方向，則得：

σ＝φ(E，ν，l，n1l，n2l，…，P，níP，n勶P，…，

v1，v2，…，ρ)。 (9)選用E、l為基本單位，並用無量綱數表示，得：

(10)

然而相似現象的相似判據的數值相同，即

=π1，

＝π2，

=π3，ν=π4，

＝π5，

＝π6。故可用量綱公式確定各指數。以π1為例：

，

比較兩邊同類因子的指數，得到：

α2－2α1=－2和α1=1。

聯立解得α1=1，α2=0，故有：

π1=σ/E，

同樣可得：

π2=P/El2和π3=ρl/E，

而

π4=ν。

若選E和l作為基本單位，它們都等於1，則式(10)可寫成：

σ/E＝φ1(P/El2，ρl/E，ν，n1，n2，…，í$，勶$，…，

v1，v2，…)。(11)

這就是常溫靜態彈性結構應力分析問題中各物理量之間的關係式，它是相似判據方程的雛形。對於沒有方程式的物理現象，只要從這種雛形出發，就不難用模型實驗法找出其函式關係來。

按上述的相似判據，還可得到應力的轉換關係。對於不考慮 ρ的影響的模型實驗，在保證幾何相似、載荷相似、約束條件相似和νm=νp的前提下，依據相似理論，對於相似現象，π1和π2應同時適用於模型和原型，則得：

σp＝σm(Ep/Em) (12)

和

Ep/Em=Ppl娽/Pml婃。(13)

由上兩式得：

σp＝σm(Ppl娽/Pml婃)。(14)

式(14)和用方程式分析法得到的式(7)一樣。但是，在推導式(14)時，未限制變形的大小，故式(14)也適用於非線性彈性問題，只是必須同時滿足式(13)。這就是說，在選定模型材料和幾何相似係數後，載荷相似係數就不能任意選擇。上述的小變形問題，屬於線性問題，可用疊加原理，因為這時應力、變形都和載荷成正比，故應用式(14)時不受式(13)的限制，從而在進行模型實驗時，彈性模量、幾何和載荷相似係數都可以任意選取。但要保證或近似保證νm=νp，否則將在不同程度上破壞三維應力的相似。