高考數學必修一重點題型

　　高中數學的必修一中有許多重點題型。接下來就跟著小編一起去看看吧。

　　函式是每年高考的熱點，而抽象函式性質的運用又是函式的難點之一。抽象函式是指沒有給出具體的函式解析式或影象，但給出了函式滿足的一部分性質或運演算法則。此類函式試題既能全面地考查學生對函式概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解和接受能力，以及對一般和特殊關係的認識。因此備受命題者的青睞，在近幾年的高考試題中不斷地出現。然而，由於這類問題本身的抽象性和其性質的隱蔽性，大多數學生在解決這類問題時，感到束手無策。下面通過例題來探討這類問題的求解策略。

　　例：設y=f***x***是定義在區間[-1，1]上的函式，且滿足條件：

　　***i***f***-1***=f***1***=0;

　　***ii***對任意的u,v∈[-1，1]，都有—f***u***-f***v***—≤—u-v—。

　　***Ⅰ***證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f***x***≤1-x;

　　***Ⅱ***證明：對任意的u,v∈[-1，1]，都有—f***u***-f***v***—≤1

　　解答

　　***Ⅰ***證明：由題設條件可知，當x∈[-1，1]時，有f***x***=f***x***-f***1***≤—x-1—=1-x,即x-1≤f***x***≤1-x.

　　***Ⅱ***證明：對任意的u,v∈[-1，1]，當—u-v—≤1時，有—f***u***-f***v***—≤1

　　當—u-v—>1，u·v<0,不妨設u<0，則v>0且v-u>1,其中v∈***0，1]，u∈[-1，0***

　　要想使已知條件起到作用，須在[-1，0***上取一點，使之與u配合以利用已知條件，結合f***-1***=f***1***=0知，這個點可選-1。同理，須在***0，1]上取點1，使之與v配合以利用已知條件。所以，—f***u***-f***v***—≤—f***u***-f***-1***—+—f***v***-f***1***—≤—u+1—+—v-1—=1+u+1-v=2-***v-u***<1

　　綜上可知，對任意的u,v∈[-1，1]都有—f***u***-f***v***—≤1.

　　點評：有關抽象函式問題中往往會給出函式所滿足的等式或不等式，因此在解決有關問題時，首先應對所要證明或求解的式子作結構上的變化，使所要證明或求解的問題的結構與已知的相同。如本題未給出函式y=f***x***的解析表示式，而給出了一組特定的對應關係f***-1***=f***1***=0，以及兩個變數之差的絕對值不小於對應的函式值之差的絕對值的一般關係。在***1***的證明中，利用f***1***=0,把f***x***改寫成—f***x***—=—f***x***-f***1***—;在***2***的證明中，利用f***-1***=f***1***=0，把—f***u***-f***v***—改寫成—f***u***-f***v***—≤—f***u***-f***-1***—+—f***v***-f***1***—，這些變形起了重要的作用，因為是這些變化創造了使用條件的機會，也創造瞭解決問題的捷徑。

　　另外，有關抽象函式問題中所給的函式性質往往是對定義域內的一切實數都成立的，因此根據題意，將一般問題特殊化，選取適當的特值***如令x=1，y=0等***，這是解決有關抽象函式問題的非常重要的策略之一。

　　總之，抽象函式問題求解，用常規方法一般很難奏效，但我們如果能通過對題目的資訊分析與研究，採用特殊的方法和手段求解，往往會收到事半功倍之功效，同時在運用這些策略時要做到密切配合，相得益彰。