不定方程的發明介紹

　　不定方程***丟番圖方程***是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些限制***如要求是有理數、整數或正整數等***的方程或方程組。以下是小編為你精心整理的，希望你喜歡。

　　不定方程簡介

　　不定方程***indeterminate equation***是數論的一個分支，它有著悠久的歷史與豐富的內容。所謂不定方程是指解的範圍為整數、正整數、有理數或代數整數的方程或方程組，其未知數的個數通常多於方程的個數。

　　古希臘數學家丟番圖於三世紀初就研究過若干這類方程，所以不定方程又稱丟番圖方程，是數論的重要分支學科，也是歷史上最活躍的數學領域之一。不定方程的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論等等都有較為密切的聯絡。1969年，莫德爾較系統地總結了這方面的研究成果。

　　不定方程歷史

　　不定方程是數論中最古老的分支之一。

　　古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程。Diophantus，古代希臘人，被譽為代數學的鼻祖，流傳下來關於他的生平事蹟並不多。今天我們稱整係數的不定方程為「Diophantus方程」，內容主要是探討其整數解或有理數解。他有三本著作，其中最有名的是《算術》，當中包含了189個問題及其答案，而許多都是不定方程組***變數的個數大於方程的個數***或不定方程式***兩個變數以上***。丟番圖只考慮正有理數解，而不定方程通常有無窮多解的。

　　研究不定方程要解決三個問題：①判斷何時有解。②有解時決定解的個數。③求出所有的解。中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的《張丘建算經》中的百雞問題標誌中國對不定方程理論有了系統研究。秦九韶的大衍求一術將不定方程與同餘理論聯絡起來。百雞問題說：“雞翁一，直錢五，雞母一，直錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何?”。設x，y，z分別表雞翁、母、雛的個數，則此問題即為不定方程組的非負整數解x，y，z，這是一個三元不定方程組問題。

　　不定方程常見型別

　　⑴求不定方程的整數解;

　　⑵判定不定方程是否有解;

　　⑶判定不定方程的解的個數***有限個還是無限個***。

　　一次不定方程

　　二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c。其中 a，b，c 是整數，ab ≠ 0。此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除c。設、是該方程的一組整數解，那麼該方程的所有整數解可表示為.

　　S***≥2***元一次不定方程的一般形式為a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n為整數，且a1…as≠0。此方程有整數解的充分必要條件是a1，…，as的最大公約數整除n。

　　埃拉託塞尼篩法產生的素數普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希臘數學家歐幾里得就發現了數論的本質是素數，他自己證明了有無窮多個素數，公元前250年古希臘數學家埃拉託塞尼發明了一種篩法：

　　一“要得到不大於某個自然數N的所有素數，只要在2---N不大於√N的素數的倍數全部劃去即可”。

　　二後來人們將上面的內容等價轉換：“如果N是合數，則它有一個因子d滿足1上海科技出版社***..

　　三再將二的內容等價轉換：“若自然數N不能被不大於***根號***√N的任何素數整除，則N是一個素數”。見***代數學辭典[上海教育出版社]1985年。屜部貞世朗編。259頁***。

　　四上面這句話的漢字可以等價轉換成為用英文字母表達的公式：

　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。⑴

　　其中p1，p2，.....，pk表示順序素數2，3，5，，，，，。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N

　　字母后面的數字或者i與k都是腳標] ，則N是一個素數。

　　五可以把***1***等價轉換成為用同餘式組表示：

　　N≡a1***modp1***， N≡a2***modp2***，.....，N≡ak***modpk***。⑵

　　例如，29，29不能夠被根號29以下的任何素數2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1***mod2***，29≡2***mod3***， 29≡4***mod5***。29小於7的平方49，所以29是一個素數。

　　以後平方用“*”表示，即：㎡=m*。

　　由於⑵的模p1，p2，....，pk 兩兩互素，根據孫子定理***中國剩餘定理***知，⑵在p1p2.....pk範圍內有唯一解。

　　例如k=1時，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了***3，3****區間的全部素數。

　　k=2時，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19; N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了***5，5****區間的全部素數。

　　k=3時，

　　---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

　　---------------------|---------|----------|--------|---------|

　　n=2m+1=3m+1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----|

　　n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

　　------------------------------------------------------------

　　求得了***7，7****區間的全部素數。仿此下去可以求得任意大的數以內的全部素數。

　　多元一次

　　關於整數多元一次不定方程，可以有矩陣解法、程式設計等相關方法輔助求解。

　　二次

　　二元二次不定方程本質上可以歸結為求二次曲線***即圓錐曲線***的有理點或整點問題。

　　一類特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整數解稱商高數或勾股數或畢達哥拉斯數，中國《周髀算經》中有“勾廣三，股修四，經隅五”之說，已經知道 ***3，4，5***是一個解。劉徽在注《九章算術》中又給出了***5，12，13***，***8，15，17***， ***7，24，25***，***20，21，29***幾組勾股數。它的全部正整數解已在16世紀前得到。這類方程本質上就是求橢圓上的有理點。

　　另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2-Dy2=1，D是非平方的正整數。利用連分數理論知此方程永遠有解。這類方程就是求雙曲線上的有理點。

　　最後一類就是平方剩餘問題，即求x^2-py=q的整數解，用高斯的同餘理論來描述，就是求x^2≡q***mod p***的剩餘類解。高斯發現的著名二次互反律給出了次方程是否有解的判定方法。這類方程就相當於求拋物線上的整點。

　　圓錐曲線對應的不定方程求解可以看做橢圓曲線算術性質的一種特例。

　　高次

　　對高於二次的不定方程，相當複雜。當n>2時，x^n+y^n=z^n沒有非平凡的整數解，即著名的費馬大定理，歷經3個世紀，已由英國數學家安德魯 ·維爾斯證明完全可以成立。

　　有一些高次方程同樣無解：

　　多元高次不定方程

　　多元高次不定方程沒有一般的解法，任何一種解法都只能解決一些特殊的不定方程，如利用二次

　　域來討論一些特殊的不定方程的整數解.常用的解法

　　⑴代數恆等變形：如因式分解、配方、換元等;

　　⑵不等式估演算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變數的範圍，進而求解;

　　⑶同餘法：對等式兩邊取特殊的模***如奇偶分析***，縮小變數的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解;