高中數學解析幾何中求引數取值範圍的方法

　　近幾年來，與解析幾何有關的引數取值範圍的問題經常出現在高考考試中，這類問題不僅涉及知識面廣，綜合性大，是歷年來高考命題的熱點和重點。以下是小編整理了，希望對你的學習有幫助。

　　幾何中求引數取值範圍的四大方法：

　　幾何中求引數取值範圍方法一、利用曲線方程中變數的範圍構造不等式

　　曲線上的點的座標往往有一定的變化範圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P***x,y***滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些範圍來構造不等式求解,另外,也常出現題中有多個變數,變數之間有一定的關係,往往需要將要求的引數去表示已知的變數或建立起適當的不等式,再來求解.這是解決變數取值範圍常見的策略和方法.

　　例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 ***a>b>0***, A,B是橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交於點P***x0 , 0***

　　求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

　　分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫座標的關係,再利用橢圓上的點A,B滿足的範圍求解.

　　解: 設A,B座標分別為***x1,y1*** ,***x2,y2***,***x1≠x2***代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1

　　又∵線段AB的垂直平分線方程為

　　y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 ***x-x1+x22 ***

　　令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2

　　又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點

　　∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a

　　∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a

例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值範圍.

　　分析:須通過題中條件建立夾角θ與變數S的關係,利用S的範圍解題.

　　解: 依題意有

　　∴tanθ=2S

∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4

　　又∵0≤θ≤π

∴π4 <θ

　　例3對於拋物線y2=4x上任一點Q,點P***a,0***都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值範圍是 *** ***

A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2

　　分析:直接設Q點座標,利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.

　　解: 設Q*** y024 ,y0*** 由|PQ| ≥a

　　得y02+*** y024 -a***2≥a2 即y02***y02+16-8a*** ≥0

　　∵y02≥0 ∴***y02+16-8a*** ≥0即a≤2+ y028 恆成立

　　又∵ y02≥0

　　而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選*** B ***

　　幾何中求引數取值範圍方法二、利用判別式構造不等式

　　在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關係,可以轉化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來構造不等式求解.

　　例4設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交於點Q,若過點Q的直線L與拋物線有公共點,則直線L的斜率取值範圍是 *** ***

　　A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]

　　分析:由於直線l與拋物線有公共點,等價於一元二次方程有解,則判別式△≥0

　　解:依題意知Q座標為***-2,0*** , 則直線L的方程為y = k***x+2***

　　由得 k2x2+***4k2-8***x+4k2 = 0

　　∵直線L與拋物線有公共點

　　∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 ***C***

　　例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交於不同的兩點A、B，求實數k的取值範圍.

　　分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由於直線與右支交於不同兩點,則△>0,同時,還需考慮右支上點的橫座標的取值範圍來建立關於k的不等式.

　　解：由得 ***k2-2***x2 +2kx+2 = 0

　　∵直線與雙曲線的右支交於不同兩點，則

解得 -2<-2

　　幾何中求引數取值範圍方法三、利用點與圓錐曲線的位置關係構造不等式

曲線把座標平面分成三個區域，若點P***x0,y0***與曲線方程f***x,y***=0關係：若P在曲線上，則f***x0,y0***=0;若P在曲線內，則f***x0,y0***<0;若P在曲線外，則f***x0,y0***>0;可見，平面內曲線與點均滿足一定的關係。故可用這些關係來構造不等式解題.

　　例6已知橢圓2x2 + y2 = a2 ***a>0***與連結兩點A***1,2***、B***2,3***的線段沒有公共點，求實數a的取值範圍.

　　分析:結合點A,B及橢圓位置,可得當AB兩點同時在橢圓內或同時在橢圓外時符合條件.

　　解：依題意可知，當A、B同時在橢圓內或橢圓外時滿足條件。

　　當A、B同時在橢圓內，則

　　解得a >17

　　當A、B同時在橢圓外，則

解得0<6

綜上所述，解得0<6 或a>17

　　例7若拋物線y2=4mx ***m≠0***的焦點在圓***x-2m***2+***y-1***2=4的內部，求實數m的取值範圍.

　　分析:由於焦點***m,0***在圓內部,則把***m,0***代入可得.

　　解：∵拋物線的焦點F***m,0***在圓的內部，

∴***m-2m***2+***0-1***2<4 即m2<3