高中數學幾何中求引數取值範圍的方法
幾何是數學中學習的重要的內容，在數學幾何中求引數取值範圍的方法有幾種，下面是小編給大家帶來的有關於這些的方法介紹 ，希望能夠幫助到大家。
介紹
一、利用曲線方程中變數的範圍構造不等式
曲線上的點的座標往往有一定的變化範圍,如橢圓 x2a2 + y2b2 = 1上的點P***x,y***滿足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用這些範圍來構造不等式求解,另外,也常出現題中有多個變數,變數之間有一定的關係,往往需要將要求的引數去表示已知的變數或建立起適當的不等式,再來求解.這是解決變數取值範圍常見的策略和方法.
例1 已知橢圓 x2a2 + y2b2 = 1 ***a>b>0***, A,B是橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交於點P***x0 , 0***
求證:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求線段AB的垂直平分線方程,求出x0與A,B橫座標的關係,再利用橢圓上的點A,B滿足的範圍求解.
解: 設A,B座標分別為***x1,y1*** ,***x2,y2***,***x1≠x2***代入橢圓方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 ?x2+x1 y2+y1
又∵線段AB的垂直平分線方程為
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 ***x-x1+x22 ***
令y=0得 x0=x1+x22 ?a2-b2a2
又∵A,B是橢圓x2a2 + y2b2 = 1 上的點
∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如圖,已知△OFQ的面積為S,且OF?FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF與FQ的夾角θ的取值範圍.
分析:須通過題中條件建立夾角θ與變數S的關係,利用S的範圍解題.
解: 依題意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3對於拋物線y2=4x上任一點Q,點P***a,0***都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值範圍是 *** ***
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接設Q點座標,利用題中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 設Q*** y024 ,y0*** 由|PQ| ≥a
得y02+*** y024 -a***2≥a2 即y02***y02+16-8a*** ≥0
∵y02≥0 ∴***y02+16-8a*** ≥0即a≤2+ y028 恆成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值為2 ∴a≤2 選*** B ***
二、利用判別式構造不等式
在解析幾何中,直線與曲線之間的位置關係,可以轉化為一元二次方程的解的問題,因此可利用判別式來構造不等式求解.
例4設拋物線y2 = 8x的準線與x軸交於點Q,若過點Q的直線L與拋物線有公共點,則直線L的斜率取值範圍是 *** ***
A [-12 ,12 ] B [-2,2] C [-1,1] D [-4,4]
分析:由於直線l與拋物線有公共點,等價於一元二次方程有解,則判別式△≥0
解:依題意知Q座標為***-2,0*** , 則直線L的方程為y = k***x+2***
由 得 k2x2+***4k2-8***x+4k2 = 0
∵直線L與拋物線有公共點
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故選 ***C***
例5 直線L: y = kx+1與雙曲線C: 2x2-y2 = 1的右支交於不同的兩點A、B，求實數k的取值範圍.
分析:利用直線方程和雙曲線方程得到x的一元二次方程,由於直線與右支交於不同兩點,則△>0,同時,還需考慮右支上點的橫座標的取值範圍來建立關於k的不等式.
解：由 得 ***k2-2***x2 +2kx+2 = 0
∵直線與雙曲線的右支交於不同兩點，則
解得 -2<-2< p>
三、利用點與圓錐曲線的位置關係構造不等式
曲線把座標平面分成三個區域，若點P***x0,y0***與曲線方程f***x,y***=0關係：若P在曲線上，則f***x0,y0***=0;若P在曲線內，則f***x0,y0***<0;若P在曲線外，則f***x0,y0***>0;可見，平面內曲線與點均滿足一定的關係。故可用這些關係來構造不等式解題.
例6已知橢圓2x2 + y2 = a2 ***a>0***與連結兩點A***1,2***、B***2,3***的線段沒有公共點，求實數a的取值範圍.
分析:結合點A,B及橢圓位置,可得當AB兩點同時在橢圓內或同時在橢圓外時符合條件.
解：依題意可知，當A、B同時在橢圓內或橢圓外時滿足條件。
當A、B同時在橢圓內，則
解得a >17
當A、B同時在橢圓外，則
解得0<6< p>
綜上所述，解得0<6 或a>17
例7若拋物線y2=4mx ***m≠0***的焦點在圓***x-2m***2+***y-1***2=4的內部，求實數m的取值範圍.
分析:由於焦點***m,0***在圓內部,則把***m,0***代入可得.
解：∵拋物線的焦點F***m,0***在圓的內部，
∴***m-2m***2+***0-1***2<4 即m2<3
又∵m≠0
∴-3 <0或0<3< p>
四、利用三角函式的有界性構造不等式
曲線的引數方程與三角函式有關，因而可利用把曲線方程轉化為含有三角函式的方程，後利用三角函式的有界性構造不等式求解。
例8 若橢圓x2+4***y-a***2 = 4與拋物線x2=2y有公共點,
求實數a的取值範圍.
分析: 利用橢圓的引數方程及拋物線方程,得到實數a與引數θ的關係,再利用三角函式的有界性確定a的取值情況.
解：設橢圓的引數方程為 ***θ為引數***
代入x2=2y 得
4cos2θ= 2***a+sinθ***
∴a = 2cos2θ-sinθ=-2***sinθ+ 14 ***2+ 178
又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178
例9 已知圓C：x2 +***y-1***2= 1上的點P***m,n***，使得不等式m+n+c≥0恆成立，求實數c的取值範圍
分析:把圓方程變為引數方程,利用三角函式的有界性,確定m+n的取值情況,再確定c的取值範圍.
解：∵點P在圓上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ***β為引數***
∵m+n = cosβ+1+sinβ = 2 sin***β+ π4 ***+1
∴m+n最小值為1-2 ，
∴-***m+n***最大值為2 -1
又∵要使得不等式c≥-***m+n*** 恆成立
∴c≥2 -1
五、利用離心率構造不等式
我們知道，橢圓離心率e∈***0,1***，拋物線離心率e = 1，雙曲線離心率e>1，因而可利用這些特點來構造相關不等式求解.
例10已知雙曲線x2-3y2 = 3的右焦點為F，右準線為L，直線y=kx+3通過以F為焦點,L為相應準線的橢圓中心，求實數k的取值範圍.
分析:由於橢圓中心不在原點,故先設橢圓中心,再找出橢圓中各量的關係,再利用橢圓離心率0<1,建立相關不等式關係求解.< p>
解：依題意得F的座標為***2,0***，L:x = 32
設橢圓中心為***m,0***，則 m-2 =c和 m-32 = a2c
兩式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2
∵0<1，∴0<1,解得m>2，
又∵當橢圓中心***m,0***在直線y=kx+3上，
∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,
∴- 3k >2，解得-32 <0< p>