高中導數公式大全_高中導數常用公式

　　導數是微積分中的重要基礎概念，大家對於高中導數常用公式瞭解多少呢？為此小編為大家推薦了一些高中導數公式，歡迎大家參閱。

　　導數的定義

　　當自變數的增量Δx=x-x0，Δx→0時函式增量Δy=f***x***- f***x0***與自變數增量之比的極限存在且有限,就說函式f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數***或變化率***.

　　函式y=f***x***在x0點的導數f'***x0***的幾何意義：表示函式曲線在P0[x0，f***x0***] 點的切線斜率***導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率***。

　　一般地，我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性***單調性***的法則：設y=f***x ***在***a，b***內可導。如果在***a，b***內，f'***x***>0,則f***x***在這個區間是單調增加的***該點切線斜率增大，函式曲線變得“陡峭”，呈上升狀***。如果在***a，b***內，f'***x***<0,則f***x***在這個區間是單調減小的。所以，當f'***x***=0時，y=f***x ***有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值

　　求導數的步驟

　　求函式y=f***x***在x0處導數的步驟：

　　① 求函式的增量Δy=f***x0+Δx***-f***x0*** ② 求平均變化率 ③ 取極限，得導數。

　　導數公式：

　　① C'=0***C為常數函式***; ② ***x^n***'= nx^***n-1*** ***n∈Q****;熟記1/X的導數 ③ ***sinx***' = cosx; ***cosx***' = - sinx; ***tanx***'=1/***cosx***^2=***secx***^2=1+***tanx***^2 -***cotx***'=1/***sinx***^2=***cscx***^2=1+***cotx***^2 ***secx***'=tanx•secx ***cscx***'=-cotx•cscx ***arcsinx***'=1/***1-x^2***^1/2 ***arccosx***'=-1/***1-x^2***^1/2 ***arctanx***'=1/***1+x^2*** ***arccotx***'=-1/***1+x^2*** ***arcsecx***'=1/***|x|***x^2-1***^1/2*** ***arccscx***'=-1/***|x|***x^2-1***^1/2*** ④ ***sinhx***'=hcoshx ***coshx***'=-hsinhx ***tanhx***'=1/***coshx***^2=***sechx***^2 ***coth***'=-1/***sinhx***^2=-***cschx***^2 ***sechx***'=-tanhx•sechx ***cschx***'=-cothx•cschx ***arsinhx***'=1/***x^2+1***^1/2 ***arcoshx***'=1/***x^2-1***^1/2 ***artanhx***'=1/***x^2-1*** ***|x|<1*** ***arcothx***'=1/***x^2-1*** ***|x|>1*** ***arsechx***'=1/***x***1-x^2***^1/2*** ***arcschx***'=1/***x***1+x^2***^1/2*** ⑤ ***e^x***' = e^x; ***a^x***' = a^xlna ***ln為自然對數*** ***Inx***' = 1/x***ln為自然對數*** ***logax***' =***xlna***^***-1***,***a>0且a不等於1*** ***x^1/2***'=[2***x^1/2***]^***-1*** ***1/x***'=-x^***-2***

　　高中導數常用公式

　　1.y=f[g***x***],y'=f'[g***x***]•g'***x***『f'[g***x***]中g***x***看作整個變數，而g'***x***中把x看作變數』

　　2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

　　3.y=f***x***的反函式是x=g***y***，則有y'=1/x'

　　證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

　　2.這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用複合函式的求導給予證明。

　　3.y=a^x,

　　⊿y=a^***x+⊿x***-a^x=a^x***a^⊿x-1***

　　⊿y/⊿x=a^x***a^⊿x-1***/⊿x

　　如果直接令⊿x→0，是不能匯出導函式的，必須設一個輔助的函式β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函式可以知道：⊿x=loga***1+β***。

　　所以***a^⊿x-1***/⊿x=β/loga***1+β***=1/loga***1+β***^1/β

　　顯然，當⊿x→0時，β也是趨向於0的。而limβ→0***1+β***^1/β=e,所以limβ→01/loga***1+β***^1/β=1/logae=lna。

　　把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x***a^⊿x-1***/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

　　可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。

　　4.y=logax

　　⊿y=loga***x+⊿x***-logax=loga***x+⊿x***/x=loga[***1+⊿x/x***^x]/x

　　⊿y/⊿x=loga[***1+⊿x/x***^***x/⊿x***]/x

　　因為當⊿x→0時，⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞，所以lim⊿x→0loga***1+⊿x/x***^***x/⊿x***=logae,所以有

　　lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

　　可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。

　　這時可以進行y=x^n y'=nx^***n-1***的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln***x^n***=e^nlnx,

　　所以y'=e^nlnx•***nlnx***'=x^n•n/x=nx^***n-1***。

　　5.y=sinx

　　⊿y=sin***x+⊿x***-sinx=2cos***x+⊿x/2***sin***⊿x/2***

　　⊿y/⊿x=2cos***x+⊿x/2***sin***⊿x/2***/⊿x=cos***x+⊿x/2***sin***⊿x/2***/***⊿x/2***

　　所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos***x+⊿x/2***•lim⊿x→0sin***⊿x/2***/***⊿x/2***=cosx

　　6.類似地，可以匯出y=cosx y'=-sinx。

　　7.y=tanx=sinx/cosx

　　y'=[***sinx***'cosx-sinx***cos***']/cos^2x=***cos^2x+sin^2x***/cos^2x=1/cos^2x

　　8.y=cotx=cosx/sinx

　　y'=[***cosx***'sinx-cosx***sinx***']/sin^2x=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx

　　x=siny

　　x'=cosy

　　y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx

　　x=cosy

　　x'=-siny

　　y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx

　　x=tany

　　x'=1/cos^2y

　　y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

　　12.y=arccotx

　　x=coty

　　x'=-1/sin^2y

　　y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

　　導數的應用

　　1.函式的單調性

　　***1***利用導數的符號判斷函式的增減性 利用導數的符號判斷函式的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想. 一般地，在某個區間***a，b***內，如果f'***x***>0，那麼函式y=f***x***在這個區間內單調遞增;如果f'***x***<0，那麼函式y=f***x***在這個區間內單調遞減. 如果在某個區間內恆有f'***x***=0，則f***x***是常數函式. 注意：在某個區間內，f'***x***>0是f***x***在此區間上為增函式的充分條件，而不是必要條件，如f***x***=x3在R內是增函式，但x=0時f'***x***=0。也就是說，如果已知f***x***為增函式，解題時就必須寫f'***x***≥0。 ***2***求函式單調區間的步驟***不要按圖索驥 緣木求魚 這樣創新何言?1.定義最基礎求法2.複合函式單調性*** ①確定f***x***的定義域; ②求導數; ③由***或***解出相應的x的範圍.當f'***x***>0時，f***x***在相應區間上是增函式;當f'***x***<0時，f***x***在相應區間上是減函式.

　　2.函式的極值

　　***1***函式的極值的判定 ①如果在兩側符號相同，則不是f***x***的極值點; ②如果在附近的左右側符號不同，那麼，是極大值或極小值.

　　3.求函式極值的步驟

　　①確定函式的定義域; ②求導數; ③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點，即求方程及的所有實根; ④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那麼f***x***在這個根處取得極大值;如果左負右正，那麼f***x***在這個根處取得極小值.

　　4.函式的最值

　　***1***如果f***x***在[a,b]上的最大值***或最小值***是在***a，b***內一點處取得的，顯然這個最大值***或最小值***同時是個極大值***或極小值***，它是f***x***在***a，b***內所有的極大值***或極小值***中最大的***或最小的***，但是最值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念. ***2***求f***x***在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f***x***在***a，b***內的極值; ②將f***x***的各極值與f***a***，f***b***比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

　　5.生活中的優化問題

　　生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優化問題，優化問題也稱為最值問題.解決這些問題具有非常現實的意義.這些問題通常可以轉化為數學中的函式問題，進而轉化為求函式的最大***小***值問題.

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