數學樂園手抄報

　　在社會的發展程序中,作為文化現象的數學,受到人們的重視,近年來,數學文化及其相關研究得到了較大發展。在確認數學是一種文化之後,應該進一步理解數學文化的內涵,在數學世界中，數學經歷了三次危機，大家知道嗎?

　　：數學程序中的三次危機

　　數學中過去的錯誤或者未解決的困難，是為它未來的發展提供了契機。——E.T.Bell

　　數學的永遠令人神往的美貌之一就是，它的艱難的悖論是以栩栩生輝的方式使之得到美妙的結果。——P.J.Davis
 

關於數學的手抄報圖片

　　：第三次數學危機

　　數學素以精確嚴密的科學著稱，可是在數學發展的歷史長河中，仍然不斷地出現矛盾以及解決矛盾的鬥爭。從某種意義下講，數學就是要解決一些問題，問題不過矛盾的一種形式。有些問題得到了解決，比如任何正整數都可以表示為四個平方數之和;有些問題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數都再可以表表示為兩個素數之和。我們還很難說這個命題是對還是不對，因為隨便給一個偶數，經過有很多次試驗總可以得出結論，但是偶數有無窮多個，你窮畢生精力也不會驗證完。也許你能碰到到一個很大的偶數，找不到兩個素數之和等於它，不過即使這樣，你也難以斷言這種例外偶數是否有限多個，也就是某一個大偶數之後，上述歌德巴赫猜想成立。

　　這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。藉助於計算機完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結成有限的情形，沒有有限，計算機也是無能為力的。因此看出數學永遠迴避不了有限與無窮這對矛盾。只要無窮存在，你就要應付它。這可以說是數學矛盾的根源之一。在處理出現矛盾的過程中，數學家不可能不進行“創造”，這首先表現在產生新概念上，我們不妨先不管自然數。
 

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　　為了解決實際問題、人們必須發明出“零”來，然後要造出負數、有理數、無理數乃至虛數。所謂虛，就是不實，憑空想象出來的意思，不過解代數方程有必要把它請進來，請進來後又覺得它不實在、不太放心。後來它用處很大，能解決非它不可的問題，於是轟也轟不走了。複數擠進數學王國之後，跟著四元數、八元數、超複數……都來了，它們可沒有複數都麼大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢?這也使數學家處於為難的境地。數學家經常處於這種矛盾的過程中。

　　“什麼是存在?”，這是數學的一個基本問題。什麼東西可以擠進數學王國?直覺主義者規定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構造出來;而形式主義者規定一個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什麼叫沒有矛盾?當然邏輯沒有矛盾，其實就是遵守形式邏輯規律。可是形式邏輯是從人類有限經驗推出來的，對於無窮情形還靈不靈?這當然存在問題，可是不許推廣，那數學還能剩下多少靠得住的東西呢?

　　在數學史上這種矛盾也是屢見不鮮的。無窮小量剛出現時，漏洞百出、無法自圓其說，可是行之有效、解決問題。所以達朗貝爾說：“前進，你就能恢復信心!”，這可以說是一種實用主義態度。十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時也扔掉了無窮小，這裡無矛盾性佔了上風。1961年，羅濱遜發明非標準分析，又把無窮小量請了回來，仍然沒有矛盾。不過它是建立在模型論基礎上，要承認非可數無窮基數的存在。

　　承認無窮集合，承認無窮基數，就好象開啟潘朵拉的盒子，一切災難都出來了。這就是第三次數學危機的實質。儘管悖論可以消除，矛盾可以迴避，數學的確定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因寫了一本《數學—確定性的喪失》一書，就是講的這件事。現代公理集合論的一大堆公理簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒消除掉，它們跟整個數學可是血肉相連的。所以第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續看。矛盾既然是固有的，它的激烈衝突—危機也會給數學帶來許多新內容，新認識，有時也帶來革命性的變化。

　　把二十世紀的數學同前整個數學相比，內容不知豐富了多少，認識也不知深入了多少。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論。數理邏輯也興旺發達，成為數學有機整體的—部分。古代的代數幾何、微分幾何、複分析現在已經推廣到高維，代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之後，新成果層出不窮，從未間斷。教學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們在同數學中矛盾鬥爭的產物。