導數的定義_導數的定義式

　　導數是微積分的初步知識,是研究函式,解決實際問題的有力工具。以下是小編分享給大家的關於導數的定義以及導數的定義式，希望能給大家帶來幫助!

　　導數的定義：

　　如果函式f***x***在***a,b***中每一點處都可導，則稱f***x***在***a,b***上可導，則可建立f***x***的導函式，簡稱導數，記為f'***x***

　　如果f***x***在***a,b***內可導，且在區間端點a處的右導數和端點b處的左導數都存在，則稱f***x***在閉區間[a,b]上可導，f'***x***為區間[a,b]上的導函式，簡稱導數。

　　導數的定義式：

　　1、應用

　　如果一個函式f***x***在某個區間I上有f''***x******即二階導數***>0恆成立，那麼對於區間I上的任意x,y，總有：

　　f***x***+f***y***≥2f[***x+y***/2]，如果總有f''***x***<0成立，那麼上式的不等號反向。

　　2、意義

　　***1***斜線斜率變化的速度

　　***2***函式的凹凸性。

　　二階導數是比較理論的、比較抽象的一個量，它不像一階導數那樣有明顯的幾何意義，因為它表示的是一階導數的變化率。在圖形上，它主要表現函式的凹凸性，直觀的說，函式是向上突起的，還是向下突起的。

　　幾何的直觀解釋：如果如果一個函式f***x***在某個區間I上有f''***x******即二階導數***>0恆成立，那麼在區間I上f***x***的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函式圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。

　　導數的分類：

　　一、基本函式的導函式

　　C'=0***C為常數***

　　***x^n***'=nx^***n-1*** ***n∈R***

　　***sinx***'=cosx

　　***cosx***'=-sinx

　　***e^x***'=e^x

　　***a^x***'=***a^x****lna***a>0且a≠1***

　　[logax***]' = 1/x****logae******a>0且a≠1***

　　[lnx]'= 1/x

　　二、和差積商函式的導函式

　　[f***x*** + g***x***]' = f'***x*** + g'***x***

　　[f***x*** - g***x***]' = f'***x*** - g'***x***

　　[f***x***g***x***]' = f'***x***g***x*** + f***x***g'***x***

　　[f***x***/g***x***]' = [f'***x***g***x*** - f***x***g'***x***] / [g***x***^2]

　　三、複合函式的導函式

　　設 y=u***t*** ，t=v***x***，則 y'***x*** = u'***t***v'***x*** = u'[v***x***] v'***x***

　　例 ：y = t^2 ，t = sinx ，則y'***x*** = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定義

　　設函式在點x。的某個鄰域內有定義，當自變數在處取得增量Δx***點仍在該鄰域內***時，相應地函式取得增量Δy;如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱函式在點處可導，並稱這個極限為函式在點x。處的導數，記為，即，也可記作f′***x***〡x=x.，或f′***x.***。

　　若將一點擴充套件成函式******在其定義域包含的某開區間內每一個點，那麼函式******在開區間內可導，這時對於內每一個確定的值，都對應著******的一個確定的導數，如此一來每一個導數就構成了一個新的函式，這個函式稱作原函式******的導函式，記作：'或者f′***x***。

　　導函式的定義表示式為：

　　值得注意的是，導數是一個數，是指函式******在點0處導函式的函式值。但通常也可以說導函式為導數，其區別僅在於一個點還是連續的點。

　　幾何意義

　　1.代表函式上某一點在該點處切線的斜率。

　　如右圖所示，設0為曲線上的一個定點，為曲線上的一個動點。當沿曲線逐漸趨向於點0時，並且割線0的極限位置0存在，則稱0為曲線在0處的切線。

　　若曲線為一函式 = ******的影象，那麼割線0的斜率為：

　　當0處的切線0，即0的極限位置存在時，此時，，則0的斜率tanα為：

　　上式與一般定義中的導數定義是完全相同，則'***0*** = tanα，故導數的幾何意義即曲線 = ******在點0***0,***0******處切線的斜率。