數學高二函式的奇偶性知識點

　　函式奇偶性是數學學科知識之一，同學們在考試過程中也會常常碰到相關的題目，下面是小編給大家帶來的，希望對你有幫助。

　　函式的奇偶性基礎定義

　　一般地，對於函式f***x***

　　⑴如果對於函式f***x***定義域內的任意一個x，都有f***x***=f***-x***或f***x***/f***-x***=1那麼函式f***x***就叫做偶函式。關於y軸對稱，f***-x***=f***x***。

　　⑵如果對於函式f***x***定義域內的任意一個x，都有f***-x***=-f***x***或f***x***/f***-x***=-1，那麼函式f***x***就叫做奇函式。關於原點對稱，-f***x***=f***-x***。

　　⑶如果對於函式定義域內的任意一個x，都有f***x***=f***-x***和f***-x***=-f***x***，***x∈R，且R關於原點對稱。***那麼函式f***x***既是奇函式又是偶函式，稱為既奇又偶函式。

　　⑷如果對於函式定義域內的存在一個a，使得f***a***≠f***-a***，存在一個b，使得f***-b***≠-f***b***，那麼函式f***x***既不是奇函式又不是偶函式，稱為非奇非偶函式。

　　定義域互為相反數，定義域必須關於原點對稱

　　特殊的，f***x***=0既是奇函式，又是偶函式。

　　說明：①奇、偶性是函式的整體性質，對整個定義域而言。

　　②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱，如果一個函式的定義域不關於原點對稱，則這個函式一定不具有奇偶性。

　　***分析：判斷函式的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f***x***比較得出結論***

　　③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義。

　　④如果一個奇函式f***x***在x=0處有意義，則這個函式在x=0處的函式值一定為0。並且關於原點對稱。

　　⑤如果函式定義域不關於原點對稱或不符合奇函式、偶函式的條件則叫做非奇非偶函式。例如f***x***=x³【-∞，-2】或【0，+∞】***定義域不關於原點對稱***

　　⑥如果函式既符合奇函式又符合偶函式，則叫做既奇又偶函式。例如f***x***=0

　　注：任意常函式***定義域關於原點對稱***均為偶函式，只有f***x***=0是既奇又偶函式

　　函式的奇偶性證明方法

　　⑴定義法：函式定義域是否關於原點對稱，對應法則是否相同

　　⑵影象法：f***x***為奇函式<=>f***x***的影象關於原點對稱點***x,y***→***-x,-y***f***x***為偶函式<=>f***x***的影象關於Y軸對稱點***x,y***→***-x,y***

　　⑶特值法：根據函式奇偶性定義，在定義域內取特殊值自變數，計算後根據因變數的關係判斷函式奇偶性。

　　⑷性質法：利用一些已知函式的奇偶性及以下準則***前提條件為兩個函式的定義域交集不為空集***：兩個奇函式的代數和***差***是奇函式;兩個偶函式的和***差***是偶函式;奇函式與偶函式的和***差***既非奇函式也非偶函式;兩個奇函式的積***商***為偶函式;兩個偶函式的積***商***為偶函式;奇函式與偶函式的積***商***是奇函式。

　　函式的奇偶性相關性質

　　1、大部分偶函式沒有反函式***因為大部分偶函式在整個定義域內非單調函式***，一個函式與它的反函式在相應區間上單調性一致。

　　2、偶函式在定義域內關於y軸對稱的兩個區間上單調性相反，奇函式在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相同。

　　3、奇±奇=奇偶±偶=偶奇X奇=偶偶X偶=偶奇X偶=奇***兩函式定義域要關於原點對稱***。

　　4、對於F***x***=f[g***x***]：若g***x***是偶函式且f***x***是偶函式，則F[x]是偶函式。

　　若g***x***奇函式且f***x***是奇函式，則F***x***是奇函式。

　　若g***x***奇函式且f***x***是偶函式，則F***x***是偶函式。

　　5、奇函式與偶函式的定義域必須關於原點對稱。