蘇科版八年級上冊數學期末試卷
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蘇科版八年級上冊數學期末試題
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填塗在答題卡相應位置上
1.在﹣3，﹣1，0，2這四個數中，最小的數是*** ***
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.2
2.已知∠α=32°，則∠α的餘角為*** ***
A.58° B.68° C.148° D.168°
3.使式子 有意義的x的範圍是*** ***
A.x≠2 B.x≤﹣2 C.x≥2 D.x≤2
4.下列運算不正確的是*** ***
A.x6÷x3=x3 B.***﹣x3***4=x12 C.x2•x3=x5 D.x3+x3=x6
5.化簡 + 的結果是*** ***
A.x+2 B.x﹣1 C.﹣x D.x
6.下列根式中，屬於最簡二次根式的是*** ***
A.﹣ B. C. D.
7.下列四組資料中，“不能”作為直角三角形的三邊長的是*** ***
A.3，4，6 B.5，12，13 C.6，8，10 D. ， ，2
8.如圖，△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，則∠A的度數是*** ***
A.30° B.36° C.45° D.20°
9.若順次連線四邊形ABCD各邊中點所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD必然是*** ***
A.菱形 B.對角線相互垂直的四邊形
C.正方形 D.對角線相等的四邊形
10.已知a﹣b=3，b+c=﹣4，則代數式ac﹣bc+a2﹣ab的值為*** ***
A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3
二、填空題：本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上
11.數0.000001用科學記數法可表示為 .
12.分解因式：x2y﹣4y= .
13.一次體檢中，某班學生視力結果如下表：
0.7以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
5% 8% 15% 20% 40% 12%
從表中看出全班視力資料的眾數是 .
14.計算：***﹣2a﹣2b3***÷***a3b﹣1***3= .
15.已知一直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則斜邊上中線的長度是 .
16.如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB於點D，交邊AC於點E，AC的長為12cm，則△BCE的周長等於 cm.
17.若點P***1﹣m，2+m***關於x軸對稱的點的座標在第一象限，則m的取值範圍是 .
18.a、b為實數，且ab=1，設P= ，Q= ，則P Q***填“>”、“<”或“=”***.
三、解答題：本大題共10小題，共64分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
19.計算：
***1******﹣ ***﹣1﹣ +***1﹣ ***0﹣| ﹣2|
***2***[***x+2y******x﹣2y***﹣***x+4y***2]÷4y.
20.解方程組： .
21.已知a﹦ *** + ***，b﹦ *** ﹣ ***，求a2﹣ab+b2的值.
22.先化簡，再求值：*** ﹣x+1*** ，其中x為﹣1≤x≤2的整數.
23.如圖，梯子AB斜靠在一豎直的牆上，梯子的底端A到牆根O的距離AO為2米，梯子的頂端B到地面的距離BO為6米，現將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到牆根O的距離A′O等於3米，同時梯子的頂端B下降至B′.求梯子頂端下滑的距離BB′.
24.如圖，在▱ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF.
求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
25.如圖，在3×3的正方形網格***每個小正方形的邊長均為1***中有四個格點A，B，C，D，以其中一點為原點，網格線所在直線為座標軸***水平線為橫軸***，建立平面直角座標系，使其餘三個點中存在兩個點關於一條座標軸對稱.
***1***原點是 ***填字母A，B，C，D ***;
***2***若點P在3×3的正方形網格內的座標軸上，且與四個格點A，B，C，D，中的兩點能構成面積為1的等腰直角三角形，則點P的座標為 ***寫出可能的所有點P的座標***
26.某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市後果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元.
***1***該商家購進的第一批襯衫是多少件?
***2***若兩批襯衫按相同的標價銷售，最後剩下50件按八折優惠賣出，如果兩批襯衫全部售完後利潤不低於25%***不考慮其他因素***，那麼每件襯衫的標價至少是多少元?
27.如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA=PE.
***1***求證：PC=PE;
***2***求∠CPE的度數;
***3***如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數量關係，並說明理由.
28.如圖，矩形AOBC，點A、B分別在x、y軸上，對角線AB、OC交於點D，點C*** ，1***，點M是射線OC上一動點.
***1***求證：△ACD是等邊三角形;
***2***若△OAM是等腰三角形，求點M的座標;
***3***若N是OA上的動點，則MA+MN是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值;若不存在，請說明理由.
參考答案
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填塗在答題卡相應位置上
1.在﹣3，﹣1，0，2這四個數中，最小的數是*** ***
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.2
【考點】有理數大小比較.
【分析】畫出數軸，在數軸上標出各點，再根據數軸的特點進行解答即可.
【解答】解：這四個數在數軸上的位置如圖所示：
由數軸的特點可知，這四個數中最小的數是﹣3.
故選A.
【點評】本題考查的是有理數的大小比較，利用數形結合比較出有理數的大小是解答此題的關鍵•.
2.已知∠α=32°，則∠α的餘角為*** ***
A.58° B.68° C.148° D.168°
【考點】餘角和補角.
【分析】根據餘角：如果兩個角的和等於90°***直角***，就說這兩個角互為餘角.即其中一個角是另一個角的餘角可得答案.
【解答】解：∠α的餘角是：90°﹣32°=58°.
故選A.
【點評】此題主要考查了餘角，關鍵是掌握互為餘角的兩個角的和為90度.
3.使式子 有意義的x的範圍是*** ***
A.x≠2 B.x≤﹣2 C.x≥2 D.x≤2
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】根據二次根式的被開方數是非負數可得x﹣2≥0，再解即可.
【解答】解：由題意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故選：C.
【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式的被開方數是非負數.
4.下列運算不正確的是*** ***
A.x6÷x3=x3 B.***﹣x3***4=x12 C.x2•x3=x5 D.x3+x3=x6
【考點】同底數冪的除法;合併同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據同底數冪的除法底數不變指數相減;積的乘方等於乘方的積;同底數冪的乘法底數不變指數相加;合併同類項係數相加字母及指數不變，可得答案.
【解答】解：A、同底數冪的除法底數不變指數相減，故A正確;
B、積的乘方等於乘方的積，故B正確;
C、同底數冪的乘法底數不變指數相加，故C正確;
D、合併同類項係數相加字母及指數不變，故D錯誤;
故選：D.
【點評】本題考查了同底數冪的除法，熟記法則並根據法則計算是解題關鍵.
5.化簡 + 的結果是*** ***
A.x+2 B.x﹣1 C.﹣x D.x
【考點】分式的加減法.
【分析】先把異分母轉化成同分母，再把分子相減即可.
【解答】解： + = ﹣ = = =x;
故選D.
【點評】此題考查了分式的加減運算，在分式的加減運算中，如果是同分母分式，那麼分母不變，把分子直接相加減即可;如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然後再相加減.
6.下列根式中，屬於最簡二次根式的是*** ***
A.﹣ B. C. D.
【考點】最簡二次根式.
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.
【解答】解：A、被開方數含分母，故A錯誤;
B、被開方數不含分母;被開方數不含能開得盡方的因數或因式，故B正確;
C、被開方數含能開得盡方的因數或因式，故C錯誤;
D、被開方數含能開得盡方的因數或因式，故D錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查最簡二次根式的定義.根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母;被開方數不含能開得盡方的因數或因式.
7.下列四組資料中，“不能”作為直角三角形的三邊長的是*** ***
A.3，4，6 B.5，12，13 C.6，8，10 D. ， ，2
【考點】勾股定理的逆定理.
【分析】判斷是否可以作為直角三角形的三邊長，則判斷兩小邊的平方和是否等於最長邊的平方即可.
【解答】解：A、42+32≠62，不是直角三角形，故此選項正確;
B、122+52=132，是直角三角形，故此選項錯誤;
C、62+82=102，是直角三角形，故此選項錯誤;
D、*** ***2+*** ***2=22，是直角三角形，故此選項錯誤;
故選：A.
【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關鍵是掌握勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形.
8.如圖，△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC，則∠A的度數是*** ***
A.30° B.36° C.45° D.20°
【考點】等腰三角形的性質.
【分析】由已知條件開始，通過線段相等，得到角相等，再由三角形內角和求出各個角的大小.
【解答】解：設∠A=x°.
∵BD=AD，
∴∠A=∠ABD=x°，
∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠BCD=2x°，
在△ABC中x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠A=36°.
故選B.
【點評】此題考查了等腰三角形的性質;熟練掌握等於三角形的性質，以及三角形內角和定理，得到各角之間的關係式解答本題的關鍵.
9.若順次連線四邊形ABCD各邊中點所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD必然是*** ***
A.菱形 B.對角線相互垂直的四邊形
C.正方形 D.對角線相等的四邊形
【考點】矩形的判定;三角形中位線定理.
【分析】此題要根據矩形的性質和三角形中位線定理求解;首先根據三角形中位線定理知：所得四邊形的對邊都平行且相等，那麼其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那麼鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線必互相垂直，由此得解.
【解答】解：已知：如右圖，四邊形EFGH是矩形，且E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，求證：四邊形ABCD是對角線垂直的四邊形.
證明：由於E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，
根據三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG;
∵四邊形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD;故選B.
【點評】本題主要利用了矩形的性質和三角形中位線定理來求解.
10.已知a﹣b=3，b+c=﹣4，則代數式ac﹣bc+a2﹣ab的值為*** ***
A.4 B.﹣4 C.3 D.﹣3
【考點】因式分解的應用.
【分析】先利用已知條件計算出a+c=﹣2，然後利用分組分解的方法把ac﹣bc+a2﹣ab因式分解，再利用整體代入的方法計算.
【解答】解：∵ac﹣bc+a2﹣ab
=c***a﹣b***+a***a﹣b***
=***a﹣b******c+a***，
∵a﹣b=3，b+c=﹣4，
∴a+c=﹣1，
∴ac﹣bc+a2﹣ab=3×***﹣1***=﹣3;
故選：C.
【點評】本題考查了因式分解的應用：用因式分解解決求值問題;利用因式分解解決證明問題;利用因式分解簡化計算問題.本題的關鍵是把所求代數式分解因式.
二、填空題：本大題共8小題，每小題2分，共16分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上
11.數0.000001用科學記數法可表示為 1×10﹣6 .
【考點】科學記數法—表示較小的數.
【分析】絕對值小於1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
【解答】解：0.000 001=1×10﹣6.
故答案為：1×10﹣6.
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.
12.分解因式：x2y﹣4y= y***x+2******x﹣2*** .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】先提取公因式y，然後再利用平方差公式進行二次分解.
【解答】解：x2y﹣4y，
=y***x2﹣4***，
=y***x+2******x﹣2***.
故答案為：y***x+2******x﹣2***.
【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式進行二次分解因式是解本題的難點，也是關鍵.
13.一次體檢中，某班學生視力結果如下表：
0.7以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0以上
5% 8% 15% 20% 40% 12%
從表中看出全班視力資料的眾數是 1.0 .
【考點】眾數.
【分析】眾數是一組資料中出現次數最多的資料，注意眾數可以不只一個.
【解答】解：眾數是一組資料中出現次數最多的資料，1.0佔全班人數的40%，故1.0是眾數.
故答案為：1.0.
【點評】本題屬於基礎題，考查了確定一組資料的眾數的能力.解題時注意仔細觀察，難度不大.
14.計算：***﹣2a﹣2b3***÷***a3b﹣1***3= ﹣ .
【考點】負整數指數冪.
【分析】根據積的乘方等於乘方的積，可得單項式的除法，根據單項式的除法，可得負整數指數冪，根據負整數指數冪與正整數指數冪互為倒數，可得答案.
【解答】解：原式=***﹣2a﹣2b3***÷***a9b﹣3***
=﹣2a﹣2﹣9b3﹣***﹣3***
=﹣2a﹣11b6
=﹣ .
故答案為：﹣ .
【點評】本題考查了負整數指數冪，利用同底數冪的除法得出負整數指數冪是解題關鍵，注意負整數指數冪與正整數指數冪互為倒數.
15.已知一直角三角形的兩直角邊長分別為6和8，則斜邊上中線的長度是 5 .
【考點】勾股定理;直角三角形斜邊上的中線.
【專題】計算題.
【分析】直角三角形中，斜邊長為斜邊中線長的2倍，所以求斜邊上中線的長求斜邊長即可.
【解答】解：在直角三角形中，兩直角邊長分別為6和8，
則斜邊長= =10，
∴斜邊中線長為 ×10=5，
故答案為 5.
【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，本題中正確的運用勾股定理根據2直角邊求斜邊是解題的關鍵.
16.如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB於點D，交邊AC於點E，AC的長為12cm，則△BCE的周長等於 20 cm.
【考點】線段垂直平分線的性質.
【分析】由AB的垂直平分線交AB於點D，交邊AC於點E，根據線段垂直平分線的性質，可得AE=BE，繼而可得△BCE的周長=BC+AC.
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∵BC=8cm，AC的長為12cm，
∴△BCE的周長=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=20cm.
故答案為：20.
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質.注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.
17.若點P***1﹣m，2+m***關於x軸對稱的點的座標在第一象限，則m的取值範圍是 m<﹣2 .
【考點】關於x軸、y軸對稱的點的座標.
【分析】首先確定P點所在象限，再根據第四象限內點的座標符號可得不等式組 ，再解不等式組即可.
【解答】解：∵點P***1﹣m，2+m***關於x軸對稱點在第一象限，
∴點P在第四象限，
∴ ，
解得：m<﹣2.
∴m的取值範圍是：m<﹣2，
故答案為m<﹣2.
【點評】此題主要考查了座標系中各象限內點的座標符號，以及關於x軸對稱點的座標特點，關鍵是掌握各象限內點的座標符號.
18.a、b為實數，且ab=1，設P= ，Q= ，則P = Q***填“>”、“<”或“=”***.
【考點】分式的加減法.
【專題】計算題.
【分析】將兩式分別化簡，然後將ab=1代入其中，再進行比較，即可得出結論.
【解答】解：∵P= = ，把ab=1代入得： =1;
Q= = ，把ab=1代入得： =1;
∴P=Q.
【點評】解答此題關鍵是先把所求代數式化簡再把已知代入即可.
三、解答題：本大題共10小題，共64分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
19.計算：
***1******﹣ ***﹣1﹣ +***1﹣ ***0﹣| ﹣2|
***2***[***x+2y******x﹣2y***﹣***x+4y***2]÷4y.
【考點】實數的運算;整式的混合運算;零指數冪;負整數指數冪.
【專題】計算題;實數.
【分析】***1***原式第一項利用負整數指數冪法則計算，第三項利用零指數冪法則計算，最後一項利用絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果;
***2***原式中括號中利用平方差公式及完全平方公式化簡，去括號合併後利用多項式除以單項式法則計算即可得到結果.
【解答】解：***1***原式=﹣2﹣ +1﹣2+ =﹣3;
***2***原式=***x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2***÷4y=***﹣20y2﹣8xy***÷4y=﹣5y﹣2x.
【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.
20.解方程組： .
【考點】解二元一次方程組.
【專題】計算題;一次方程***組***及應用.
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可.
【解答】解： ，
②﹣①得：y=﹣2，
把y=﹣2代入②得：x=﹣1，
則方程組的解為 .
【點評】此題考查瞭解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.
21.已知a﹦ *** + ***，b﹦ *** ﹣ ***，求a2﹣ab+b2的值.
【考點】二次根式的化簡求值.
【分析】本題需先把a2﹣ab+b2進行整理，化成***a﹣b***2+ab的形式，再把得數代入即可求出結果.
【解答】解：a2﹣ab+b2，
=***a﹣b***2+ab，
∵a﹦ *** + ***，b﹦ *** ﹣ ***，
∴a2﹣ab+b2，
=[ ﹣ *** ﹣ ***]2+[ × *** ﹣ ***]，
=3+ ，
=3.5
【點評】本題主要考查了二次根式的化簡求值問題，在解題時要找出簡便方法，再把得數代入即可.
22.先化簡，再求值：*** ﹣x+1*** ，其中x為﹣1≤x≤2的整數.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先計算括號內的分式，把除法轉化為乘法，然後進行約分，然後找出適合分式的x值，代入化簡後的式子求值即可.
【解答】解：原式= •
= •
=
∵x為﹣1≤x≤2的整數，
∴x=0，
∴原式=1.
【點評】此題考查分式的化簡求值，掌握分式的化簡與計算方法是解決問題的關鍵.
23.如圖，梯子AB斜靠在一豎直的牆上，梯子的底端A到牆根O的距離AO為2米，梯子的頂端B到地面的距離BO為6米，現將梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到牆根O的距離A′O等於3米，同時梯子的頂端B下降至B′.求梯子頂端下滑的距離BB′.
【考點】勾股定理的應用.
【分析】在△RtAOB中依據勾股定理可知AB2=40，在Rt△A′OB′中依據勾股定理可求得OB′的長，從而可求得BB′的長.
【解答】解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2.
∵AB=A′B′，
∴A′O2+OB′2=40.
∴OB′= = .
∴BB′=6﹣ .
【點評】本題主要考查的是勾股定理的應用，根據梯子的長度不變列出方程是解題的關鍵.
24.如圖，在▱ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF.
求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
【考點】平行四邊形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形對邊平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可證得DE=BF，然後根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可證得四邊形BFDE是平行四邊形.
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD﹣AE=BC﹣CF，
∴ED=BF，
又∵AD∥BC，
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
【點評】此題考查了平行四邊形的性質與判定，注意熟練掌握定理與性質是解決問題的關鍵.
25.如圖，在3×3的正方形網格***每個小正方形的邊長均為1***中有四個格點A，B，C，D，以其中一點為原點，網格線所在直線為座標軸***水平線為橫軸***，建立平面直角座標系，使其餘三個點中存在兩個點關於一條座標軸對稱.
***1***原點是 B ***填字母A，B，C，D ***;
***2***若點P在3×3的正方形網格內的座標軸上，且與四個格點A，B，C，D，中的兩點能構成面積為1的等腰直角三角形，則點P的座標為 ***﹣2，0***或***0，0***或***0，﹣2*** ***寫出可能的所有點P的座標***
【考點】座標與圖形性質;等腰直角三角形.
【分析】***1***以每個點為原點，確定其餘三個點的座標，找出滿足條件的點，得到答案;
***2***根據等腰直角三角形的特點以及點P在座標軸上即可作出判斷.
【解答】解：***1***當以點B為原點時，A***﹣1，﹣1***，C***1，﹣1***，則點A和點C關於y軸對稱，
故答案為：B.
***2***符合題意的點P的位置如圖所示.
根據圖形可知點P的座標為***﹣2，0***或***0，0***或***0，﹣2***.
故答案為：***﹣2，0***或***0，0***或***0，﹣2***.
【點評】本題主要考查的是座標與圖形的性質，依據軸對稱圖形的性質和等腰直角三角形的性質確定出原點的位置和點P的位置是解題的關鍵.
26.某商家預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進了一批這種襯衫，面市後果然供不應求，商家又用28800元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了10元.
***1***該商家購進的第一批襯衫是多少件?
***2***若兩批襯衫按相同的標價銷售，最後剩下50件按八折優惠賣出，如果兩批襯衫全部售完後利潤不低於25%***不考慮其他因素***，那麼每件襯衫的標價至少是多少元?
【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.
【分析】***1***可設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，根據第二批這種襯衫單價貴了10元，列出方程求解即可;
***2***設每件襯衫的標價y元，求出利潤表示式，然後列不等式解答.
【解答】解：***1***設該商家購進的第一批襯衫是x件，則購進第二批這種襯衫是2x件，依題意有
+10= ，
解得x=120，
經檢驗，x=120是原方程的解，且符合題意.
答：該商家購進的第一批襯衫是120件.
***2***3x=3×120=360，
設每件襯衫的標價y元，依題意有
***360﹣50***y+50×0.8y≥***13200+28800***×***1+25%***，
解得y≥150.
答：每件襯衫的標價至少是150元.
【點評】本題考查了分式方程的應用和一元一次不等式的應用，弄清題意並找出題中的數量關係並列出方程是解題的關鍵.
27.如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA=PE.
***1***求證：PC=PE;
***2***求∠CPE的度數;
***3***如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數量關係，並說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;正方形的性質.
【分析】***1***先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由於PA=PE，得PC=PE;
***2***由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最後∠CPF=∠EDF=90°得到結論;
***3***藉助***1***和***2***的證明方法容易證明結論.
【解答】***1***證明：在正方形ABCD中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP***SAS***，
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE;
***2***解：由***1***知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠CPB=∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB=180°，
∴∠PEB+∠PCB=180°，
∴∠ABC+∠EPC=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EPC=90°;
***3***∠ABC+∠EPC=180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP***SAS***，
∴∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠CPB=∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB=180°，
∴∠PEB+∠PCB=180°，
∴∠ABC+∠EPC=180°.
【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，等邊對等角的性質，熟記正方形的性質確定出∠ABP=∠CBP是解題的關鍵.
28.如圖，矩形AOBC，點A、B分別在x、y軸上，對角線AB、OC交於點D，點C*** ，1***，點M是射線OC上一動點.
***1***求證：△ACD是等邊三角形;
***2***若△OAM是等腰三角形，求點M的座標;
***3***若N是OA上的動點，則MA+MN是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值;若不存在，請說明理由.
【考點】一次函式綜合題.
【專題】綜合題;一次函式及其應用.
【分析】***1***利用點C座標，即可求出相應角度，利用矩形性質，即可求出三角形CDA兩個內角度數為60°，即可證明三角形是等邊三角形.
***2***由等腰三角形性質，對三角形OAM三邊關係進行討論，分別求出三種情況下點M的座標即可;
***3***做點A關於直線OC對稱點，利用對稱性可以求出最小值.
【解答】解：***1***∵C*** ，1***，
∴AC=1，OA= ，
∴OC=2，
∴∠COA=30°，∠OCA=60°，
∵矩形AOBC，
∴∠ABC=∠OCB=30°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等邊三角形;
***2***△OAM是等腰三角形，
當OM=MA時，此時點M與點D重合，
∵C*** ，1***，點D為OC中點，
∴M*** ， ***.
當OM1=OA時，做M1E⊥OA，垂足為E，如下圖：
∴OM1=OA= ，
由***1***知∠M1OA=30°，
∴M1E= ，OE= ，
∴M1*** ， ***.
當OA=OM2時，做M2F⊥OA，垂足為F，如上圖：
AM2= ，
由***1***知∠COA=∠AM2O=30°，
∴∠M2AF=60°，
∴AF= ，M2F= ，
M2*** ， ***.
綜上所述：點M座標為M*** ， ***、*** ， ***、*** ， ***.
***3***存在，做點A關於直線OC對稱點為G，如下圖：
則AG⊥OC，且∠GOA=60°OG=OA= ，
∴ON= ，GN= ，
∵點A、G關於直線OC對稱，
∴MG=MA，
∴MA+MN=MG+MN，
∵N是OA上的動點，
∴當GN⊥x軸時，MA+MN最小，
∴存在MA+MN存在最小值，最小值為 .
【點評】題目考查了一次函式綜合應用，考查知識點包括：等腰三角形、線段最值、動點問題，解決此類題目關鍵是找到圖形變換的規律，題目整體較難.適合學生壓軸訓練.