例談直覺思維在中學數學解題中的應用

    數學直覺思維是人們在分析解決問題時快速動用自己所有經驗和知識，在對物件作過總體上的觀察分析之後，直接觸及事物本質，作出假設，然後再對假設作出檢驗或證明的一種思維方法。它主要表現在對數學物件的敏銳洞察，從而直接猜斷和總體把握在我們找到解答和證明之前，直覺先已幫助我們對結論或解題思路產生預見然而，在目前中學數學教學中往往偏重於演繹推理的訓練，強化形式論證的邏輯的嚴密性，忽視了直覺思維在解題中預知導向和頓悟作用，也失去了數學思維形成過程中直觀生動的一面這在一定範圍上限制了學生思維素質的提高，與現代素質教育要求背道而馳，所以在中學培養學生的直覺思維是中學數學教學的目標之一。
  1. 聯想和猜想。聯想是由當前感知的事物回憶起有關另一事物的心理過程。在數學思維活動中，聯想可以溝通數學物件和有關知識間的聯絡。而聯想思維是人們在認識事物的過程中，根據事物之間的某種聯絡，由一事物聯想到另一事物的心理過程。它是一種由此及彼的思維活動。聯想思維在認識活動過程中起著橋樑和紐帶的作用。對於一些未知的數學知識，通過已知知識和未知知識之間的聯絡，從而使一些有未知知識的數學問題得以解決。在數學的具體解題過程中，通過對題設中的條件、圖形特徵以及求解目標分析，從而聯想到有關已知的定義、定理、法則等，最終找到解題的思路和方法。本文將對在數學中運用的聯想思維進行研究，包括其作用以及如何培養。
  愛因斯坦認為：科學研究真正可貴的因素是直覺思維，同樣，數學解題中聯想靈感迸發也離不開直覺思維。對問題在作全面的思考之後，不經詳盡的推理步驟，直接觸及物件的本質，迅速得出預感性判斷。可以說聯想是靈感誘發而產生的。特別地，在一些若干問題往往無從下手，著不到邊。這時就需由聯想來產生解題靈感。使本來困難、受阻的題目，迎刃而解。
  例1：若a，b，c，d∈R，且a2+b2=1，c2+d2=1
  求證：-1≤ac+bd≤1，sin2α+cos2α=1
  分析：聯想a=sinβ，b=cosβ，c=sinγ，d=cosγ
  則可以令           。
  從而從問題很容易得到解決。
  通過以上的理論和例子我們發現，聯想思維在具體的解題過程中，有著非常重要的作用。其思維方式不僅可以使很多數學題目,特別是著手較難的數學題目，可以通過這種思維形式得到輕而易舉的解決。而這樣的聯想思維是在具體的學習過程中逐步培養起來的。而數學是一門有著與現實生活密切聯絡的學科。在日常的生活、工作以及學習中培養這種思維是無意識，也是潛意識。 
 聯想是產生直覺的先導。猜想則是直覺的結果，所謂直覺，資訊加工的原理來看，就是將零散、孤立的資訊快速聯絡和重組，從中產生新的有價值資訊，聯絡和重組的能力依賴於每個人的聯想空間，因此不時地引導學生對面臨的問題進行聯想。
  O.K.吉霍米曾說過：在心理中，思維被看作解題活動雖然思維並不是總等於解題，但可以斷言，形成最有效辦法是通過解題來實現。而聯想靈感是創造性思維中最富有創造性特徵的重要組成部分，所以聯想靈感在解題中有著不可低估的作用。再者，在中學數學的教學中對聯想思維的培養是很重要的，中學數學教師在授課的同時要注重對這些思維的培養。
  2. 經驗和規律。數學直覺思維在解題中應用較多都是利用長期積累經驗和掌握的規律，它是一種理性直覺，雖然有時拋棄了常規的推理和論證，但它又有跡可尋，決非空穴來風有時又不受任何模式限制, 思維空間的廣度和深度較大較深，它就要我們具備豐富的經驗和掌握常見數學規律、大膽的預測，探索解題的方向。下面再舉個例子來繼續探討。
  例2：過拋物線y=ax2（ａ＞０）的焦點F作一直線交拋物線於P、Q兩點，若線段PF、FQ的長度分別是p、q。則■+■=（  ）。
A. 2a  B. ■  C. 4a  D. ■
  本題是圓錐曲線中最典型的焦點弦問題，看似很難，其實只要看下答案，四個答案都是定值。經驗告訴我們一個直覺：結論與直線的位置無關，所以只要取PQ垂直x軸這一特殊情況就可以啦。通過這個例子，說明在解決數學題時，有時經驗也是可以幫上忙的。當然，這個經驗的獲得可能需要經過大量的實踐才能獲得。